培优04 命题与证明（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 培优04命题与证明 划重点·冲高分 命题识别类：判断语句是否为命题 命题结构分析类：分解命题的题设与结论 命题与证明 命题真假判断类：判断命题的真假并证明 证明题：补全证明过程或独立证明 题型1命题识别类：判断语句是否为命题 解题大招 “陈述句+可判断真假”是关键： 1. 判断语句是否为陈述句（排除祈使句、疑问句、感叹句）； 2.判断语句是否可以判断真假（排除含变量的不确定语句）。 1.(25-26八年级上·浙江杭州期末)下列句子中，是命题的是() A.正数大于一切负数吗？ B.两个锐角的和大于直角 C.作一条直线和已知直线垂直 D.在线段AB上任取一点 2.（24-25七年级下·全国·课后作业)下列说法中，错误的是（) A.基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B,定义是命题，并且是真命题 C.“两点之间，线段最短”是基本事实 D.“两点之间，线段最短”是定理 3.（25-26八年级上山东潍坊·期末)下列语句是命题的是（) A.过点A作一条射线 B.连接AB,并延长至点C C.ABC是锐角三角形吗 D.等角的补角相等 4.(25-26八年级上贵州毕节·期末)下列语句中，不是命题的是() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.两个锐角的和一定小于平角 B.过直线外一点作已知直线的平行线 C.若a=√b,b=c,则a=c D.三角形的外角大于任何一个内角 5.(25-26七年级下，全国月考)下列属于定义的是() A.垂线段最短 B.你吃饭了 C.正方形的四条边相等 D.含有未知数的等式叫做方程 6.(25-26八年级上·贵州期末)下列语句中是命题的是() A.作线段AB的垂直平分线 B.三角形三个内角的和等于180 C.美丽的月亮湖 D.你的寒假想好怎么过了吗？ 题型2命题结构分析类：分解命题的题设与结论 解题大超 “改写+提取”两步法： |1.改写：将命题改写为“如果…那么…”的形式(“如果”后跟题设，“那么”后跟结论)； |2.提取：从改写后的命题中提取题设（已知事项）和结论（推出的事项）。 1. (24-25七年级下·河南许昌期中)命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 (1)请将此命题改写成“如果...那么..”的形式： (②)证明该命题.（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 2.(23-24七年级下·江苏南京·期中)命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图 形，写出该命题的已知、求证，并证明 3.(24-25七年级下·山东临沂期中)如图，点D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点， 给定以下三个条件：①DE∥BA;②∠FDE=∠A;③DF∥CA.请从这三个条件中选择两个作为条件 (放在已知处)，另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明. 已知： 求证： 证明： 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D 4.(23-24七年级下·江苏南京·月考)大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问 题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行. 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直. 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证， 并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明. 下面请你一起完成数学老师所说的任务. 5.(23-24八年级上山东青岛期末)如图，△ABC中，点D,F在边AB上，点G,E分别在边AC, BC上，连接DG,DC,EF.①EF⊥AB,CD⊥AB;②∠DGA=∠BCA；③DG平分∠ADC;④ ∠B=∠BEF,请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加 以证明， 你选择的条件； ,结论：（填序号）. D 6.(24-25七年级下·全国·单元测试)已知：如图，在ABC中，D,E是边BC上的两点，G是边AB上的 一点，连接EG并延长，交CA的延长线于点F.从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论， 构成一个真命题，并加以证明：①AD平分∠BAC;②EF∥AD;③∠AGF=∠F. B E D 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件： ,结论： (填序号) 证明： 题型3命题真假判断类：判断命题的真假并明 解题大招 “知识+反例”法： 真命题：需用几何知识（如平行线的性质、对顶角的性质）证明题设推出结论； 2 假命题：需举反例（满足题设但不满足结论的例子）说明。 1.(25-26八年级上·安徽池州期末)下列命题是假命题的是() A.对顶角相等 B.如果a=b,那么a2=b2 C.正数大于负数 D.同旁内角互补 2.(25-26八年级上·广东深圳期末)下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若x2>0,则x>0;④若a≠b,b≠c,则a≠c,其中真命 题有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26七年级上湖南长沙期末)下列命题中，真命题的个数有() ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短： ③过一点有且只有一条直线与己知直线平行；④过一点有且只有一条直线与己知直线垂直： A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(25-26八年级上广东茂名期末)下列命题是真命题的有（) ①对顶角相等；②同旁内角互补；③若a2=b2,则a=b.④两直线平行，内错角相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26八年级上陕西西安期末)下列四个命题中，是真命题的是() A.同旁内角相等，两直线平行 B.两锐角之和一定是钝角 C.同角（或等角）的补角相等 D.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 6.(25-26八年级上·广东佛山期末)如图，点E、F分别在线段AB、CD上（不含端点）.连接 EC、BF,EC、BF分别交AD于点G、H.有四个信息：①∠A=∠D,②∠B=∠C,③AB∥CD,④ 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 EC∥BF.从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题. (1)你选择的条件是 ,结论是 (填序号) (②)证明你构造的命题是真命题. 题型4明题：补全证明过程域独立证明 解题大招 “画图→写已知→推理”三步骤： 11 画图：根据题意画出准确的几何图形（如平行线、相交线）； 12 写己知/求证：将己知事项和求证结论用数学语言写出； 13. 推理证明：利用平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识，逐步推导结论（每一步需注明依据） 1. (24-25七年级下·吉林·月考)【感知】如图，已知LA=∠C,若AB∥CD,则BC∥AD.请补全证明 过程 证明：：AB∥CD(已知)， LABE=∠C ( :∠A=∠C(已知)， .∠ABE= (等量代换)， .BC∥AD( 【延伸】若前提“∠A=∠C”不变，将题设中的“AB∥CD”与结论“BC∥AD”调换，命题是真命题还是 假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例. 2.(24-25七年级下·江苏泰州期末)已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，①∠B+∠1=180°， ②∠2=∠3，③AB∥EF;请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出证明过程. B E 3 (I)条件：，结论：；（填序号） (2)证明： 3.(24-25八年级下，宁夏银川开学考试)证明三角形内角和定理时，张老师提出了这样一个问题：是否可 以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P?唐唐认为可以实现，并且他给出了部分证明过程： O à12 证明：过点P作PQ∥AC,交AB于点Q,作PR∥AB,交AC于点R :PQ∥AC(已知) .∠C=∠1（两直线平行，同位角相等） :PR∥AB(己知) ·∠B=∠2（两直线平行，同位角相等) 请你帮他将证明过程补充完整. 4.(24-25七年级上江苏连云港期末)【阅读领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图 的基础上添加直线或线段，比如要证明直线Q、b是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线c), 把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系.我们称直线C为“辅助线”. 【实践体悟】如图2，己知LABE=LDCF,∠E=∠F,求证：AB∥CD 图2 备用图 (1)小明同学想到通过连接BC,作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接BC. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为∠E=∠F(己知)， 所以 (内错角相等，两直线平行) 所以 (两直线平行，内错角相等) 因为LABE=LDCF(已知)， 所以∠ABE+=∠DCF+ (等式性质)， 所以=（等量代换）， 所以AB∥CD(). (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程. 5.(23-24七年级下·河南周口·期中)如图，点D,E,F分别在ABC的边AB,BC,AC上，且 DE∥AC,EF∥AB.下面写出了证明“∠A+∠B+∠C=180°”的过程，请将证明过程补充完整. D 4 3 证明：：DE∥AC, .1=∠（)， ∠4=∠， .EF∥AB, .∠3=∠ .∠=∠()（等量代换） ∠1+∠2+∠3=180°， .∠A+∠B+∠C=180 6.（23-24七年级下江苏盐城月考)学着说点理：补全证明过程 如图，已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分别为D、F,∠2+∠3=180°，试说明：LGDC=∠B,请补充证 明过程，并在括号内填上相应的理由. / 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 D 证明：：AD⊥BC,EF⊥BC(已知)， .∠ADB=90°，∠EFB=90°() .∠ADB=∠EFB( .AD∥EF( .∠2+=180°( :∠2+∠3=180°（已知）， ∠1=∠3( :.AB( ∠GDC=LB( 培优04 命题与证明 题型1 命题识别类：判断语句是否为命题 “陈述句+可判断真假”是关键： 1. 判断语句是否为陈述句（排除祈使句、疑问句、感叹句）； 2. 判断语句是否可以判断真假（排除含变量的不确定语句）。 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）下列句子中，是命题的是（   ） A．正数大于一切负数吗？ B．两个锐角的和大于直角 C．作一条直线和已知直线垂直 D．在线段上任取一点 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，掌握命题是可以判断真假的陈述句是解题的关键． 根据命题的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是疑问句，不是陈述句，不属于命题，不符合题意； B．是可以判断真假的陈述句，属于命题，符合题意； C．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； D．是祈使句，无真假可判断，不属于命题，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）下列语句是命题的是（    ） A．过点A作一条射线 B．连接，并延长至点C C．是锐角三角形吗 D．等角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，解题的关键是理解命题是能够判断真假的陈述句；根据命题的定义逐一分析各选项，判断其是否为可以判断真假的陈述句，从而确定正确选项． 【详解】解：A、“过点A作一条射线”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； B、“连接，并延长至点C”是作图指令，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； C、“是锐角三角形吗”是疑问句，不是判断真假的陈述句，不是命题，此选项不符合题意； D、“等角的补角相等”是可以判断真假的陈述句，是命题，此选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列语句中，不是命题的是（    ） A．两个锐角的和一定小于平角 B．过直线外一点作已知直线的平行线 C．若，，则 D．三角形的外角大于任何一个内角 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，关键是根据定义进行判断；命题是可以判断真假的陈述句，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵命题的定义是可以判断真假的陈述句， ∴A选项是可以判断真假的陈述句，是命题； B选项是祈使句，无法判断真假，不是命题； C选项是可以判断真假的陈述句，是命题； D选项是可以判断真假的陈述句，是命题； ∴不是命题的是B选项， 故答案选：B． 5．（25-26七年级下·全国·月考）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【分析】定义是对数学概念或术语的精确描述，选项D符合方程的定义，其他选项均为性质或非数学语句． 本题考查了定义的特性，熟练掌握定义的特性是解题的关键． 【详解】解：已知定义是描述概念本质的语句， A、是垂线段的性质，不符合题意； B、不是数学语句，不符合题意； C、是正方形的性质，不符合题意； D、是方程的定义，符合题意； 故选：D． 6．（25-26八年级上·贵州·期末）下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．根据命题是可以判断真假的陈述句的定义进行判断即可． 【详解】解：A．作线段的垂直平分线，为指令句，故不是命题； B．三角形三个内角的和等于，为陈述句，故是命题； C．美丽的月亮湖，为短语，故不是命题； D．你的寒假想好怎么过了吗？为疑问句，故不是命题； 故选：B． 题型2 命题结构分析类：分解命题的题设与结论 “改写+提取”两步法： 1. 改写：将命题改写为“如果……那么……”的形式（“如果”后跟题设，“那么”后跟结论）； 2. 提取：从改写后的命题中提取题设（已知事项）和结论（推出的事项）。 1．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 2．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 3．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 4．（23-24七年级下·江苏南京·月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 5．（23-24八年级上·山东青岛·期末）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 题型3 命题真假判断类：判断命题的真假并证明 “知识+反例”法： 1. 真命题：需用几何知识（如平行线的性质、对顶角的性质）证明题设推出结论； 2. 假命题：需举反例（满足题设但不满足结论的例子）说明。 1．（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题． 【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题； ∵如果，则，∴B是真命题； ∵正数总是大于负数，∴C是真命题； ∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若，则；④若，，则．其中真命题有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断命题真假：①为公理，是真命题；②为平行线判定定理，是真命题；③存在反例，是假命题；④存在反例，，，是假命题.，故真命题共2个，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两点之间线段最短，是真命题； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等则两直线平行，是真命题； ③取，则但，故是假命题； ④取，，，则且但，故是假命题； 故真命题有2个， 故选：B． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东茂名·期末）下列命题是真命题的有（    ） ①对顶角相等；②同旁内角互补；③若，则．④两直线平行，内错角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了真假命题的判断，对顶角相等，平行线的性质等知识，根据以上知识点逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，同旁内角互补，原说法是假命题； ③若，则，原说法是假命题； ④两直线平行，内错角相等，是真命题． ∴真命题有2个． 故选：B． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期末）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．两锐角之和一定是钝角 C．同角（或等角）的补角相等 D．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了真命题，正确理解几何基本概念及定理的条件和结论是判断命题真假的关键．根据平行线的条件、角的性质、补角及对顶角的定义，逐一判断每个选项是否为真命题即可． 【详解】解：A错误，因为同旁内角互补时两直线平行，而非相等； B错误，因为两锐角之和可能为锐角、直角或钝角； C正确，因为同角或等角的补角相等； D错误，因为两个角相等不一定是对顶角． 故选：C． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 题型4 证明题：补全证明过程或独立证明 “画图→写已知→推理”三步骤： 1. 画图：根据题意画出准确的几何图形（如平行线、相交线）； 2. 写已知/求证：将已知事项和求证结论用数学语言写出； 3. 推理证明：利用平行线的性质与判定、角平分线的定义等知识，逐步推导结论（每一步需注明依据）。 1．（24-25七年级下·吉林·月考）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【答案】[证明]两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 [延伸]是真命题，证明过程见解析 【分析】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解答此题的关键． [证明]直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； [延伸]将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； 【详解】解：[感知]（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）； [延伸]将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． (1)条件：_，结论：_；（填序号） (2)证明： 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）根据平行线的判定与性质定理写出是真命题的条件和结论即可； （2）利用了平行线的判定与性质定理证明即可． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③；（或条件：②③，结论：①；或条件：①③，结论：②） （2）证明：选条件：①②，结论：③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 选条件：①③，结论：② ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 选条件：②③，结论：① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 3．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）证明三角形内角和定理时，张老师提出了这样一个问题：是否可以把三角形的三个角“凑”到边上的一点P？唐唐认为可以实现，并且他给出了部分证明过程： 证明：过点P作，交于点Q，作，交于点R ∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ．．．．．． 请你帮他将证明过程补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据题意，通过平行线的性质将转化到平角上即可得证． 【详解】证明：过点P作，交于点Q，作，交于点R ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 又∵（平角的定义）， ∴， 即三角形的内角和为． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）【阅读•领会】在几何图形学习过程中，为了帮助解题，可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线、是否平行，可添加“第三条直线”（即图1中的截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线为“辅助线”． 【实践•体悟】如图2，已知，．求证：． (1)小明同学想到通过连接，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程： 证明：连接． 因为（已知）， 所以______（内错角相等，两直线平行） 所以______（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以____________（等式性质）， 所以____________（等量代换）， 所以（______）． (2)请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程． 【答案】(1)，内错角相等，两直线平行； (2)证明见解析过程． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、相交线及平行线，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意，将小明的证明过程补充完整即可． （2）延长交直线于点M，再利用平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：，内错角相等，两直线平行． （2）解：延长交直线于点M， ， ， ． ， ， ． 5．（23-24七年级下·河南周口·期中）如图，点，，分别在的边，，上，且，．下面写出了证明“”的过程，请将证明过程补充完整． 证明：∵， ∴______（______）， ______， ∵， ∴______（______）， ______（______）， ∴______＝（______）（等量代换） ∵， ∴． 【答案】，两直线平行，同位角相等，；；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等；，． 【分析】本题考查了平行线的性质，先由，，根据平行线的性质得出，，由，根据两直线平行，内错角相等得出，由，得出，等量代换得出，进而得到，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） ∵， ∴， 故答案为：，两直线平行，同位角相等，；；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等；，． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）学着说点理：补全证明过程． 如图，已知，，垂足分别为D、F，，试说明：.请补充证明过程，并在括号内填上相应的理由． 证明：，（已知）， ∴,（       ）. ∴（                 ）. （                       ）. ∴_____（             ）. （已知）， （                     ）. ∴_____（                    ）. （                   ）. 【答案】垂直的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据，，推出，得出，进而得出，则，即可得出结论． 【详解】解：，（已知）， ∴,（垂直的定义） （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补） （已知）． （同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠1；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． / 学科网（北京）股份有限公司 $