培优03 平行线的判定与性质综合（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优03 平行线的判定与性质综合 题型1 平行线判定与性质的直接综合应用 “判定→性质”或“性质→判定”的逻辑链： 1. 识别题目中的已知角度关系或已知平行关系； 2. 若已知角度关系，用判定定理推出平行； 3. 若已知平行关系，用性质定理推出角度关系； 4. 结合其他条件（如垂直、角平分线），重复上述步骤，最终实现目标（如求角度、证明平行）。 1．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则__________时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 3．（24-25六年级下·全国·单元测试）如图所示，，那么图形中的平行线有___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握内错角相等，两直线平行这一判定方法是解题的关键． 根据已知角相等的条件，利用内错角相等，两直线平行的判定定理，分别判断两组直线的平行关系． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．若____________（添加一个条件即可），则能得到． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ， ， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 6．（2026·广东广州·一模）如图，直线，直线c与a，b分别相交于点，．若，则__________． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴． 题型2 添加辅助线的平行线综合问题 核心逻辑：对于“折线”或“多拐点”问题，过拐点作已知平行线的平行线，将大角拆分为两个小角，分别与已知角建立联系（如“∠AEC=∠A+∠C”的证明）。 步骤： 1. 找到题目中的拐点； 2. 过拐点作已知平行线的平行线； 3. 利用平行线的传递性； 4. 利用性质定理； 5. 合并角度。 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 2．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）如图，已知，，则的度数是 ________ ． 【答案】/72度 【分析】设，则，，根据平行线的性质得到，进而得到﹒根据平角的定义得到，求出，即可求出﹒ 【详解】解：如图， ∵， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴， ∴﹒ 5．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 【答案】/64度 【分析】根据对顶角相等，可知的大小，进而根据平行线的性质，可知的大小． 【详解】解：∵直线、被直线所截，，， ， ， ， ， ． 6．（25-26七年级上·吉林长春·期末）【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型3 折叠问题中的平行线综合 核心逻辑：折叠前后的对应角相等，结合平行线的内错角相等，建立方程求解。 步骤： 1. 利用折叠的对称性，写出对应角相等； 2. 利用平行线的性质，将已知角与折叠后的角联系起来； 3. 利用平角定义，列方程求解。 1．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，角的计算，平行线的性质．先求得，利用平行线的性质求得，再由折叠的性质得，作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， 作， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东德州·月考）将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的计算，解题的关键是理解折痕是角平分线．利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由翻折可知：， ， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图中，则图中的度数为_______． 【答案】/24度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，图2，根据折叠结合平行线的性质，得到，进而求出的度数，图3中，进行求解即可． 【详解】解：在图2中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在图3中，． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）将如图①的长方形纸片沿折叠得到图②，折叠后与相交于点P，如果，则的度数为_______． 【答案】/65度 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕为角平分线，以及平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：的长方形纸片沿折叠得到图②， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是_． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是_． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 6．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，点是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点作的平行线． 兴趣小组作法如下：如图2，过点沿折叠纸片，使于点；在图2的基础上，展平纸片，过点沿折叠纸片，使折痕于点，得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则． 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中的依据的有_（多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 任务二：如图5，在长方形纸片中，．将长方形纸片沿折叠．使落在处，再将纸片沿折叠，使得落在，且，，，在同一直线上． 求证：折痕． 图5 【答案】任务一：A，B，C；任务二：见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据平行线的判定定理进行判定即可 【详解】解：任务一：如图， ∵ ∴ 又 ∴ ∵, ∴， 故选项A正确； ∵ ∴， 故选项B正确； ∵ ∴， 故选项C正确； D.平行于同一条直线的两条直线互相平行，说法错误； E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行说法错误； 所以，能作为判定上述材料中的依据的有A，B，C； 故答案为：A，B，C； 任务二：∵ ∴ 由折叠得， ∴ 又 ∴ 由折叠得， ∴， ∴， ∴． 题型4 三角板放置问题中的平行线综合 核心逻辑：识别三角板的特殊角（如直角、60°、45°），结合平行线的同位角/内错角相等，将三角板的角度与平行线的角度关联。 步骤： 1. 确定三角板的放置方式（如直角顶点在平行线上，斜边与平行线相交）； 2. 利用平行线的性质，写出对应角相等； 3. 利用三角板的特殊角，计算目标角度。 1．（25-26七年级上·海南儋州·期末）一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”，再根据角之间的和差关系即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，， 则， ， ． 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西太原·月考）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）一副直角三角板如图1摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图2保持三角板不动，将三角板绕点旋转（旋转角）．在旋转过程中，当三角板的一边平行于时，此时_______． 【答案】75或120或165 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，解题的关键在于数形结合，分类讨论．分情况讨论：当时，当时，当时，结合图形，根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：如图，当时， 此时与重合， ∴； 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ∵， ∴； 综上，或或． 故答案为：75或120或165． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）两块含角的三角板如图所示叠放，现固定三角板不动，将三角板绕顶点顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则所有可能的度数为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分四种情况：①，②，③，④，根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：由题意可知，，，． ①如图1，当点在上时， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴此时； ②如图2，当时， ∴， ∴； ③如图3，当时， ∴； ④如图4，当时， ∴； 综上，所有可能的度数为或或或， 故答案为：或或或． 5．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的_°； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)15 (2)①  ② (3)30，75，120 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角板和平行线的性质得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①在中，， ， ， ； ②． 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值是； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上，在旋转的过程中，当或 75 或 120 时，三角板的边与三角板的一条边平行． 6．（25-26八年级上·河南郑州·月考）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， 或； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 题型5 跨学科应用中的平行线综合 核心逻辑：将实际问题抽象为几何模型（如光的反射→平行线的同位角相等，道路转弯→平行线的判定），利用平行线的判定与性质解决。 步骤： 1. 分析实际问题，提取几何元素（如光线、道路、平行线）； 2. 建立几何模型（如光的反射→两条平行线被第三条直线所截，同位角相等）； 3. 利用平行线的判定与性质，求解模型中的角度或线段关系； 4. 将结果还原为实际问题的答案（如道路转弯的角度和）。 1．（2025·辽宁丹东·二模）光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射．如图，光从空气斜射入水中时，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图是一块太阳能电池板，共表层是用于减少反射的光伏玻璃．太阳光线射向光伏玻璃，在玻璃表面点处发生反射和折射现象，反射光线为，折射光线在太阳能电池板表面的点处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点处射出，形成光线．已知，若，，则的度数为_____． 【答案】/133度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质，依次求出，，再计算． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为________°． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则________°． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 4．（24-25七年级上·山西临汾·期末）在科学实验课上，小明做了两个富有趣味的实验，结果发现：1．光线在不同介质中的传播速度是不一样的，而且当光线从一种介质射向另一种介质时，折射现象便会发生；2．经过反复实验，小明还发现凸透镜具有这样一种特性，那就是它能让与主光轴平行的光线汇聚在主光轴上的某一点．基于这些发现，小明精心设计了以下两个问题． (1)如图1，这是一块玻璃的两面，且．现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成为射线上的一点．已知，求的度数． (2)如图2，箭头所画的是光线的方向，是凸透镜的焦点，．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质，利用角的关系求解； （1）先根据平行线的性质求出，再根据邻补角的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求出，，再根据角的和差求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 5．（24-25七年级下·江西宜春·期末）综合与实践： 【问题情境】光经过凹透镜后的折射实验探究． 【实践操作】光明中学七年级3班好奇组在做光经过凹透镜的折射实验时发现：如图①，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线会交于主光轴上一点． 【实践探究】好奇组三位同学想弄清楚这两条平行线之间蕴含的数学知识，进行了以下探究： 探究一：（1）在图①中，，和三个角之间存在着怎样的数量关系，并说明理由． 探究二：（2）在图②中，已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、．若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 探究三：（3）在图③中，若点是上方一点，连接、；的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点作，首先得到，设，可得，由于，可证，然后可求的度数； （3）过点作，设，则，可得，设，得到，则，然后，由于平行的可得，最后求得，代入求解即可． 【详解】（1），   理由如下：过点作，如图①， ， ，， ， ．   （2）过点作，如图②所示： 平分，， ， 平分， 设， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ；    （3）过点作，如图③所示： ， 设，则， ， 由对顶角相等得：， 设， ， ， ， 由（1）得：， ， 即， ，， ， ，， ， ， ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 6．（24-25七年级下·江西赣州·期末）【阅读理解】光线照射到镜面会产生反射现象，我们称照射到镜面上的光线为入射光线，经过镜面以后反射出去的光线为反射光线，如图1，线和线分别为入射光线和反射光线．由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，即． 【初步探究】（1）如图2，已知镜子与镜子互相平行，当入射光线经过两次反射后的反射光线为，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； 【应用探究】（2）如图3，有一口古井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求的度数）； 【拓展提升】（3）如图4，直线为一块双面镜子（任何角度都能反射），一束固定光线与镜面成角照射在点处后反射光线为；另一束光线与光线平行，照射在镜子的处后反射光线为．其中光线以每秒的速度绕点顺时针转动，设时间为，光线转动角度在大于小于的范围内，是否存在，使得入射光线或其反射光线与反射光线平行？若存在，求出满足条件的时间． 【答案】（1）平行，理由见解析； （2）把镜子摆放的角度与水平线成； （3）存在，当时间为6秒、秒或秒时，入射光线或其反射光线与反射光线平行 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由平行线的性质得到，可得，根据，可得，即可证明． （2）根据，，可得，即把镜子摆放的角度与水平线成． （3）当光线转动到如解图1时，；当光线转动到如解图2时，；当光线转动到如解图3时，；分成三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）平行； 理由镜子和镜子平行， ， 由材料可得， ， ， ， ； （2）当光线垂直照射古井时， ， 即把镜子摆放的角度与水平线成； （3）存在． 根据阅读材料，， ①当光线转动到如解图1时，， 此时，即转动角度为 所以秒； ②当光线转动到如解图2时，， 此时，即转动角度为 所以秒； ③当光线转动到如解图3时，， 此时，即转动角度为 所以秒； 综上所述，当时间为6秒、秒或秒时，入射光线或其反射光线与反射光线平行． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优03平行线的判定与性质综合 重点·冲高分 J: 平行线判定与性质的直接综合应用 添加辅助线的平行线综合问题 平行线的判定与性质综合 折叠问题中的平行线综合 三角板放置问题中的平行线综合 跨学科应用中的平行线综合 题型1平行线判定与性质的直接综合应用 解题大8 “判定→性质”或“性质→判定”的逻辑链： 11. 识别题目中的已知角度关系或已知平行关系； 2. 若已己知角度关系，用判定定理推出平行： 13. 若已知平行关系，用性质定理推出角度关系； 4.结合其他条件（如垂直、角平分线），重复上述步骤，最终实现目标（如求角度、证明平行）。 一一。✉一=一=一。一。一=。 1.(25-26七年级下·全国周测)如图，已知直线AB,CD与直线MN相交于点E,F,GE⊥MN于点E ,若∠CFN=140°，则∠BEG= 时，AB∥CD. B D M -N 2.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，下列推理中正确的是 (请填写序号) 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①∠B=∠BEF,∴AB‖EF: ②：∠B=∠CDE,.AB∥CD; ③：∠DCE+∠AEF=180°，.AB‖EF: ④：∠A+∠AEF=180°，.AB‖EF. 3.(24-25六年级下·全国单元测试)如图所示，∠B=∠D=∠E,那么图形中的平行线有 B A D 一F 4.(25-26八年级上·宁夏银川期末)如图，为判断一段纸带的两边a,b是否平行，小明在纸带两边a,b 上分别取点A,B,并连接AB.若 (添加一个条件即可)，则能得到a∥b. 4 不4 B 5.(24-25七年级下.全国·课后作业)如图所示，直线a,b被直线c,d所截，下列条件能判定a∥b的 是·（填序号） ①∠1=∠3；②∠2+∠4=180°；③∠3+L4=180°；④∠1+∠5=180°. 3 6.(2026广东广州一模)如图，直线a∥b,直线c与a,b分别相交于点A,B.若∠1=50°，则∠2= 题型2添动加辅助线的平行线综合问题 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 w 解题大招 核心逻辑：对于“折线”或“多拐点”问题，过拐点作已知平行线的平行线，将大角拆分为两个小角，分 !别与已知角建立联系（如“∠AEC-∠A+∠C”的证明）。 1步骤： 11. 找到题目中的拐点； |2.过拐点作已知平行线的平行线： |3.利用平行线的传递性； 14. 利用性质定理： 5.合并角度。 1.(25-26七年级下，全国·单元测试)如图，AB∥CD,M为平行线之间一点，连接AM,CM,N为AB 上方一点，连接AN,CN,E为NA延长线上一点.若AM,CM分别平分∠BAE,∠DCN,则∠M与 ∠N的数量关系为() E -D A.∠M-∠C=90° B.2∠M-∠N=180 C.∠M+∠N=1809 D.∠M+2∠N=180 2.(25-26七年级上河南新乡期末)如图，a∥b,∠1=50°，则LACB+∠2= A a 2 -b B 3.(25-26七年级上·河南周口期末)如图，AB∥CD,∠A=120°∠C=100°，则∠AEC= B D 4.(25-26七年级上江苏苏州月考)如图，已知FC∥AB∥DE,∠：∠D:∠B=2:3:4,则∠a的度数是 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 5.(25-26七年级下.四川达州·开学考试)如图，直线a、b被直线c所截，若a川b,∠1=120°，∠2=56°， 则∠3=· 6 6.(25-26七年级上·吉林长春·期末)【问题情境】如图①，若AB∥CD,∠AEP=40°，∠PFD=130°， 过点P作PM∥AB,则∠EPF= ； 【问题迁移】如图②，AB∥CD,点P在AB的上方，点E,F分别在AB,CD上，连接PE,PF,试 探究∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若∠HEA=】∠PEA,∠GFD=}∠PFD,HE的反向 延长线与FG交于点G,则∠G与∠P的数量关系是 A E B B F ① ② ③ 题型3折叠问题中的平行线综合 1解题大招 核心逻辑：折叠前后的对应角相等，结合平行线的内错角相等，建立方程求解。 步骤： 11. 利用折叠的对称性，写出对应角相等； 12. 利用平行线的性质，将已知角与折叠后的角联系起来； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 「3.利用平角定义，列方程求解。 -一一-一一一-一-一一一一一一一一一一一一一 1.(25-26七年级上·四川绵阳期末)如图，在长方形纸片ABCD中，点E,F分别在AD,AB上，将∠AFE 沿EF折叠，点A刚好落在边CD上的点A处；再将∠BCF沿CF折叠，点B刚好落在射线FH上的点 B处，CB交AF于点G,∠A,FH=∠EFH.若∠DA,E=a,则LCGF=() D -B A.11230'-g B.1230-9 C.112°-0 D.112°- 4 2.(23-24七年级下山东德州·月考)将一张长方形纸片沿EF折叠，折叠后的位置如图所示，若 ∠EFB=65°，则LAED'的度数是() A.50 B.65 C.70 D.75 3.(24-25七年级下·辽宁沈阳·期中)如图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先 沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图2中∠AEF=112°，则图3中∠CFE的度数为 7 B (图1) (图2) (图3) 4.(24-25七年级下·浙江绍兴·月考)将如图①的长方形ABCD纸片沿EF折叠得到图②，折叠后DE与BF 相交于点P,如果∠BPE=130°，则∠PEF的度数为 E B D 图① 图② / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯月考)阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画 这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①-④，虚线部分表示折痕）. 从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，PE⊥AB,由图③中的折叠可知，PE⊥CD,则AB∥CD,依 据是· 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，∠1=90°，由图③中的折叠可知∠2=90°，则∠1=∠2，所以 AB∥CD,依据是_· 解决问题：如图⑤，AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠1.求证：AD平分∠BAC. P 2 B A ⑦ ② ③ ⑤ 6.(23-24七年级下山西吕梁期末)阅读下列材料，完成相应任务. 折纸中的数学 综合实践课上，老师出示如下问题：如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有A,B两点，连接AB, 点P是正方形纸片上一点，请同学们用折纸的方法过点P作AB的平行线. 兴趣小组作法如下：如图2，过点P沿PC折叠纸片，使PC⊥AB于点C;在图2的基础上，展平纸片， 过点P沿DE折叠纸片，使DE⊥折痕PC于点P,得到图3；将图3中的纸片展平，得到图4，则 DE∥AB. 图1 图2 图3 图4 任务一：下列选项中，能作为判定上述材料中DE∥AB的依据的有_（多选） A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一条直线的两条直线互相平行 E.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 任务二：如图5，在长方形纸片ABCD中，AB∥CD.将长方形纸片沿EF折叠.使AD落在A'D'处，再 将纸片沿GH折叠，使得BC落在B'C',且B,E,G,D在同一直线上. 求证：折痕EF∥GH. D 图5 题型4三角板放置问题中的平行线综合 解题大招 核心逻辑：识别三角板的特殊角（如直角、60°、45°），结合平行线的同位角/内错角相等，将三角板「 |的角度与平行线的角度关联。 步骤： 确定三角板的放置方式（如直角顶点在平行线上，斜边与平行线相交）； 12 利用平行线的性质，写出对应角相等： 3.利用三角板的特殊角，计算目标角度。 1. (25-26七年级上海南儋州期末)一把直尺和一块三角板(30°，60°角)如图所示摆放，直尺一边与 三角板的两直角边分别交于A,D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E,F两点，∠CEF=45°， 则∠BAD的大小为() A.10° B.15 C.25 D.30° 2.（24-25七年级下山西太原·月考)将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上， 其中含30°角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含45°角的直角三角板的一个顶点与含30°角的直角 三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含45°角的直角三角板的另一个顶点 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 恰好落在纸片的另一边上，那么∠1的度数是() A.10° B.15 C.30 D.45° 3.(24-25七年级下·江苏泰州期中)一副直角三角板如图1摆放在直线MN上，（直角三角板ABC和直 角三角板EDC,∠EDC=90°，∠DEC=60°，LABC=90°，LBAC=45°)，如图2保持三角板EDC不 动，将三角板ABC绕点C旋转（旋转角≤180°）·在旋转过程中，当三角板ABC的一边平行于DE时， 此时∠ACE= D M B B 图1 图2 4,(24-25七年级下·全国·单元测试)两块含30°角的三角板如图所示叠放，现固定三角板ABC不动，将三 角板DEC绕顶点C顺时针转动，使两块三角板至少有一组边互相平行，则∠BCD所有可能的度数为 B D 5.(24-25七年级下，广西南宁期末)【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验.用三角板ABC模拟可任意伸 展方向的机械臂，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∠ACB=30°；用另一块三角板DEF模拟固定关节底座， ∠DEF=90°，∠EDF=∠EFD=45°.他用直线PQ和直线MN模拟机器人机械手臂安装的基准线，其 中PQ∥MN,将三角板DEF平稳放置，使边DF在直线MN上，就像机械臂的基座固定在平台上，再 调整三角板ABC的位置，使三角板ABC的顶点C落在直线PQ上.在模拟机械臂的运动过程中，他遇到 了一系列有趣的问题： 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图4 (I)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C,E,A,D在同一直线上，则三角板ABC的边BC与PQ所 成的LBCP=_°； (②)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板ABC绕点C逆时针转动一定角度，设三角板ABC的 边AC与三角板DEF的边EF相交于点O. ①如图2，当转动三角板ABC到AB∥EF的位置时，求∠COF的度数： ②如图3，在转动过程中，他还发现∠COF-∠ACP的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线PQ向上平移一定距离，以点C,A,E,D四点共线为初始位置，继续将三角板ABC绕 点C逆时针转动，直到边AC与模拟基准线PQ首次重合时，三角板ABC停止运动.在这个转动过程中， 设∠ACD的度数为，那么当a取何值时，三角板ABC的边AB与三角板DEF的边平行？请直接写出 符合条件的a的值. 6.(25-26八年级上·河南郑州月考)小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ D M -N M A 图1 图2 图3 (1)如图1，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ=25°，则∠BDN的 度数为 ； (2)如图2，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D,F分别落在直线MN,PQ上，若FE平分 ∠DFP,则DE是否平分∠MDF？请说明理由； (3)小明将三角板ABC与三角板DEF按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且FE>FA,若三角板 ABC绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段FE上时停止，在旋转 的过程中，当三角板的AB边与三角板DEF的某条边平行时，请直接写出满足条件的∠DFA的度数， 题型5跨学科应用中的平行线综合 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 w 解题大招 核心逻辑：将实际问题抽象为几何模型（如光的反射一平行线的同位角相等，道路转弯一平行线的判定） ·利用平行线的判定与性质解决。 步骤： 11. 分析实际问题，提取几何元素（如光线、道路、平行线）； 12. 建立几何模型（如光的反射一两条平行线被第三条直线所截，同位角相等）； |3.利用平行线的判定与性质，求解模型中的角度或线段关系： 4.将结果还原为实际问题的答案（如道路转弯的角度和）。 1. (2025辽宁丹东二模)光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的 折射.如图，光从空气斜射入水中时，若∠3=75，∠2=24°，则∠1的度数是() 3 A.70° B.61° C.51° D.249 2.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末)如图是一块太阳能电池板，共表层是用于减少反射的光伏玻璃.太 阳光线AB射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为BC,折射光线BD在太 阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线EF,己知 BCH∥EF,MN∥PQ,若∠FEN=61°，∠BDP=72°，则∠CBD的度数为 A 光伏玻璃 M B E DV太阳能电池板 3.(25-26八年级上，全国课后作业)(1)如图①，已知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则 ∠BCD的度数为 (2)如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=120°，第二次拐角 ∠B=150°，第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=°.