模拟训练01（竞赛培优综合训练，人教A版必修第一册全册）高一数学人教A版全国通用

高一数学学科素养能力竞赛模拟训练01 （内容:人教A版2019必修第一册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则中所有元素的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 2．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象如图所示，则可能是（　　）    A． B． C． D． 5．设，则（   ） A． B． C． D． 6．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（    ） A． B． C． D． 7．已知，不等式在中的整数解有个.关于的个数，以下不可能的是（    ） A．1014 B．1013 C．507 D．0 8．已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 10．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 11．已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的取值范围 C．的取值范围是 D． 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 13．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为__________. 14．已知函数，若，则的最小值为__________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分) 已知函数，． (1)求不等式的解集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 16．（17分） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 17．(17分) 已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 18．（17分） 已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. (1)讨论的零点个数； (2)对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围； (3)已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线对称，判断是否存在四边形为正方形，请说明理由. 注： 19．（17分） 对集合，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合. (1)证明：L和式函数的值域为有限集合； (2)设为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数. （i）设，证明：； （ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科素养能力竞赛模拟训练01 （内容:人教A版2019必修第一册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则中所有元素的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【解析】， 所以， 故中所有元素的和为5. 2．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 3．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 4．函数的部分图象如图所示，则可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：若，因在处无定义，则函数图象在上应有间断，故A错误. 对于B：是偶函数，图象应关于轴对称，故B错误. 对于C，D：对于，当时，，， 即在上的图象应该分布在直线的下方，图形符合题意； 而对于，当时，，故， 即在上的图象应该分布在直线的上方，图形显然不合要求.故C正确，D错误. 故选：C.    5．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图，在单位圆中取圆心角为个弧度的扇形， 则该扇形面积， 面积， 则，即，即，故； 由，则， 由，则， 故，故； 综上可得：. 6．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:)､燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式： ， 化简为，          (1) 设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6， 所以 又因为 ， 所以, 化简得， ,         (2) 当燃料质量为 时，马赫数为 10， 令并代入(1)式子中， 化简，           (3) 将式子(2)代入公式(3)中 故选：A 7．已知，不等式在中的整数解有个.关于的个数，以下不可能的是（    ） A．1014 B．1013 C．507 D．0 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为函数的周期为4，先考虑一条直线与函数的整数交点. 注意到在一个周期内，可能存在的整点有1，3，4，可得，以下分情况讨论： ①当时，，，有506个整点； ②当时，，，有506个整点； ③当时，，，有507个整点； 再考虑直线与所包围的区域（不含边界），注意到区间的长度为2. 当时，则可能，就有个整点； 也可能，就有个整点；故B可能； 当时，，就有506个整点， 当时，，就有507个整点，故C可能； 当或时，中没有元素，就有0个整点，故D可能， 综上，不可能只有A. 8．已知函数的定义域为，，，将的图象绕原点旋转后所得图象与原图象重合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，图象上的任意一点绕原点旋转后得到的点仍在的图象上， 联立消去得，所以是奇函数， 又因为函数的定义域为，故， 又，在该等式中，用替代可得， 故，因此，所以是周期函数，是的一个周期， 所以， 所以也是周期函数，是的一个周期． 又由可得，， 于是，， ，， 因为，故. 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】由题意：，， 又，所以，，故A错误； 对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得： ，故C正确； 对D：，当时，. 设，，若要在上有两个不相等的实数根， 由下图可知： ，故D错误. 10．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 11．已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．的取值范围 C．的取值范围是 D． 【答案】AC 【解析】将函数的图象关于轴对称， 并将轴下方部分的图象翻折到轴上方，即可得到的图象， 因的最小正周期，故在上有个周期， 设，解得， 故的图象的对称轴方程为， 由此作出函数的图象，如图： 由图知，的零点个数问题，可转化为的图象与直线的交点个数问题， 对于A，由有个零点， 可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点， 由图象可知，当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，符合题意.故A正确； 对于B，由题意可知，，则， 即， 则，， 易知函数在上单调递增，故的取值范围为，故B错误； 对于C，当时，或， 解得或，从图中可知， 由选项A中的分析可知，故，从图可知关于直线对称，故， 所以，则有，故C正确； 对于D，与C项同理可得，，，，， ，， 因，则 ，故D错误. 故选：AC 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．写出一个满足下列条件的函数解析式_______.①；②，且. 有 ；③且 有 ；④. 【答案】（答案不唯一） 【解析】条件①对应的是偶函数；条件②对应的为函数在上单调递减； 条件③为琴生不等式，对应的是函数的凸凹性：函数在上为下凸函数；条件④对应函数解析式的运算特征， 在所学过的函数模型中，一次函数与幂函数符合，结合①②③，不符合； 在中，取为负偶数即可. 13．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系为__________. 【答案】 【解析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数，，，的图像， 如图所示：    由图像可知：. 14．已知函数，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】当时，即时， ， 当时，即时， ， 所以， 当时，，令 此时在上单调递增，所以， 在上的值域为， 由题意可得，所以， 因为在上单调递减，且， 所以要使得，则，即的最小值为， 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分) 已知函数，． (1)求不等式的解集； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】（1）由题意不等式可化为，即， 令，解得或， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是不等式解集的真子集， 当时，不等式的解集为， 所以且两式等号不能同时成立，解得， 当时，不等式的解集为，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以且两式等号不能同时成立，解得， 综上，的取值范围为. 16．（17分） 已知函数． (1)求函数的单调递减区间． (2)若，求的最大值和最小值． (3)若是第一象限角，求的值． 【解析】（1） 令， 解得， 的单调减区间是． （2），， 当，即时，； 当，即时，． （3）是第一象限角， 即 ， 17．(17分) 已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【解析】（1）因为， 所以, , . （2）令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 18．（17分） 已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. (1)讨论的零点个数； (2)对任意，存在，使得恒成立，求实数的取值范围； (3)已知两点在函数的图象上，其横坐标分别为，两点在函数的图象上，两点关于直线对称，两点关于直线对称，判断是否存在四边形为正方形，请说明理由. 注： 【解析】（1）因为，，所以， 因为均为增函数，所以也是增函数， 因为，所以仅有一个零点. （2）因为为增函数，所以， 即，即， 令，因为， 则， 因为，所以. 因为，所以，因为，所以， 由题意可得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由题意，； ，， 假设存在四边形为正方形，则， 由可得，即，所以； 由可得，即有， 因为，由图可知，所以，代入， 得，令得， 令，因为， 所以在内有解，故存在四边形为正方形. 19．（17分） 对集合，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合. (1)证明：L和式函数的值域为有限集合； (2)设为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数. （i）设，证明：； （ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由. 【解析】（1）因为表达式中恒定，所以的取值只和有关 则当都相同的时候相同 注意到最多只有种取法，因此的值域大小不大于，从而是有限集. （2）（i）根据典范形式的唯一性，我们构造正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且， 设的取值集合为，设，则是无交集合列且非0（因为定义在上） 根据题意，任意，取，有，所以，那么，所以是无交集合列 此时对任意，恰好存在一个小区间，使得，所以的取值集合最多有这个数，因为这些数可能相等，所以. （ii）设是的最小值，是的最大值，那么，并且的端点数目有个，至多构成个区间 如果，其中分别为的端点，且之间没有其他端点，那么要么；要么 所以最多有种取值，所以 另一方面，令，取 并且取，容易验证恰好有种取值， 所以最大值为. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $