微专题01 二次根式的含参数问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01二次根式的含参数问题 由二次根式定义求参数范围 已知化简结果求参数 二次根式的含参数问题 参数与二次根式有意义的综合 复合二次根式中的参数问题 德点鱼破 题型1由二次根式定义求参数范围 啸方法 题型描述：根据二次根式的定义，求参数使被开方数非负的取值。 核心思路：根据二次根式的被开方数非负(a≥0)，列出不等式求解参数。 解题步骤： 1. 确定被开方数（含参数的表达式)； 2. 列不等式（被开方数≥0）： 3. 解不等式，得到参数的取值范围。 1.(25-26九年级上山东威海期末)函数)=一中，自变量x的取值范围是（） A.x≠1 B.x≥1 C.x>1 D.x>1且x≠0 2.(25-26九年级上山东聊城期未)在函数y=2+玉中，自变量x的取值范围是() A.x≥-2 B.x≠0 C.x≥-2且x≠0 D.x>-2且x≠0 3.(25-26九年级上·山东泰安·期末)若√6-2x在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 4.(25-26八年级上·山东滨州·期末)若代数式√2026-x有意义，则x的取值范围是 5.(25-26八年级上山东日照期末)若二次根式√x+3有意义，x的值可以是 (写出一个 值即可) 6.(25-26九年级上山东淄博·期末)函数y=√x+1中，自变量x的取值范围是 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2已知化简结果求参数 嫦方法 题型描述：给出二次根式化简后的结果，反推参数的值或取值范围。 核心思路：利用二次根式的性质，将化简结果与原式对比，建立方程或不等式。 解题步骤： 1.化简原式： 2.将化简结果与已知条件对比： 3. 根据绝对值的性质列不等式，求解参数。 1.(25-26七年级上山东威海期末)若189n是整数，且n是正整数，则n的最小值是() A.16 B.21 C.27 D.32 2.(25-26八年级上全国期末)已知√12-n是整数，则实数n的最大值为() A.12 B.11 C.8 D.3 3.(25-26八年级上·贵州铜仁期中)己知a是正整数，且√31-a的值是整数，则正整数a所有可能的值的 和为() A.136 B.131 C.100 D.94 4.(25-26八年级下，全国·课后作业)若二次根式√x-3的值为0，则x的值为 5.(2026八年级下·全国.专题练习)若√2化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 6.(25-26八年级上江苏南通月考)已知√18-n是整数，则自然数的所有可能的值为 题型3参数与二次根式有意义的综合 妹方法 题型描述：参数的不同取值影响二次根式是否有意义，需结合被开方数非负、分母不为零等条件分类讨论。 核心思路：结合二次根式有意义的条件（被开方数非负）、分母不为零等，分类讨论参数的取值。 解题步骤： 1. 列出所有限制条件（被开方数≥0、分母≠0等）； 2. 根据参数的不同取值（如a>0、a=0、a<0),分别求解x的范围； 3. 综合所有情况，得到x的取值范围。 L《25-26八年级下山东聊城开学考试)若代数式+(x-2026°有意义，则实数x的取值范围是（）一 A.x≥3 B.x≥3且x≠2026C.x>3 D.x>3且x≠2026 2.(25.26八年级上山东德州期未)若要使-F有意义，则x的取值范围为() 7-x 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x≥0且x≠7B.x>0且x≠7 C.x<7且x≠0 D.x≤7且x≠0 3.(25-26八年级上山东烟台期末)以下各式不论m为何实数，一定有意义的是() √m Vm2+1 A. B. C.Vm-1 D. m2-1 n m3+1 m+1 4.(2025九年级山东专题练习)若代数式：+1在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x-1 5.(25-26八年级上·山东淄博·期末)已知√a-1+√-a=b+1,则a226-b2026的值是 6。(25-26九年级上山东潍坊期末)函数y=④-中，自变量x的取值范围是《) x-2 A.x≠2 B.x24 C.x≤4 D.x≤4且x≠2 题型4复合二次根式中的参数问题 啸方法 题型描述：复合二次根式中含参数，需通过配方或整体代换化简，再求参数。 核心思路：通过配方将复合二次根式a±2转化为m±的形式，再利用、m±可=小Vm±园化 简。 解题步骤： 1. 设Va±2√b=√m±√n(m>n>0); 2. 平方得a±2Vb=m+n±2Vmn; 3. 对比系数得m+n=a,mn=b; 4. 解方程组求出m、n,代入化简。 1.(25-26八年级上·山东济南·月考)我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b),知道所有的非负 数都可以看作是一个数的平方，如2=V2),3(V5,7=(√，0-03，那么，我们可以利用这种思想方法 和完全平方公式来计算下面的题： 例：求3-22的算术平方根. 解：3-22=2-2W2+1=(V2)-22+1=(V2-1,3-22的算术平方根是2-1 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）， (1)W3+2W2=; (2)V10+8V3+22=: 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4-√5，AC=√5，那么BC边的长为多少？ 2.(24-25八年级下山东济宁.期中)【数学经验】 我们尼茶红道·方产一马，通过这种办紧可以把发式的分转化成不有根号的后式.天的 形如。6的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 3 例如： 3x(2+V5)6+3√56+3V5 2-5(2-32+5)22-(W324-3 =6+35. 【深入探索】如何化简V7+45? 【数学建模】形如Vm±2√n的化简，只要我们找到两个数a,b,使a+b=m,,，这样 (Na)2+(NB)=m,√ab=√n,那么便有：Vm±2√n=V(Na±√)2=√a±Vb(a>b), 【问题解决】化简V7+4√5. 解：首先把V7+4√5化为V7+212,这里m=7，n=12.由于4+3=7,4×3=12. 即(4)2+(5)2=7，√4x5=2 V7+45=V7+212=VW4+V52=2+√3. 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①V4+25; ②V9-4√2. (2)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4-√5，AC=√5，求BC边的长为多少？（结果化成最简形式）. 3.(24-25八年级下山东泰安月考)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成 另一个式子的平方，如：5+26=(2+3)+22x3=(V2+(V5+22x5=(2+V5: 8+27=1+7)+2W1x7=1P+(V万'+2x1×V万=1+万， 【类比归纳】 ()小华仿照小明的方法将4+25化成了1+V,则x=一，√4+2= (2)请运用小明的方法化简√7-4√3· 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(23-24八年级下山东临沂期中)阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务. 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就 是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号. 例如：要化简、3+22，可以先思考1+√2°-1P+2x1×V2+N2=3+2W2,所以 3+2万-2+2x1x2+(2列-V1+例-1+反.通过计算，我还发现设 Va+b反=m+n2)'=m+n2(其中m,n,,b都为正整数)，则有a+bN2=m2+2n2+2mnN2, a=m2+2n2,b= 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法. 任务： (1)文中的b= (2)化简：V6+25= (3)已知√a+45=x+y√3，其中a,x,y均为正整数，求a的值. (4化简：V4p-8√p-1+V4p+8√p-= (直接写出答案) 5.(25-26八年级下广东江门开学考试)【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以 化成另-个式子的平方，如：5+26=(2+3)+22x3=(2+(3+22×3=(2+V3, 7+4万=7+2i2=V4+24x3+(5°=4+5=2+5； 【类比归纳】 (1)填空：4+2V3=_,√5-2√6=-· (2)进一步研究发现：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个正数a,b(a>b)，使a+b=m,ab=n, 即(Na+(b=m,vax万=n,那么便有：√m±2n=- 【拓展提升】 (3)化简：V8+43+V8-45(请写出化简过程). 6.(24-25八年级下·全国课后作业)阅读理解：有这样一类题目：将√a±2√6化简，如果你能找到两个数 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m,n,使m2+n2=a,并且mn=√6，那么就可以将a±2√b变成m2+n2±2mn=(m±n2,再开方，从 而化简√a±2√万. 例如：化简V3+2√2· 因为3+22=1+2+22=1P+(W+22=1+V2), 所以3+2万=1+2=1+2. 仿照上例化简：V13-242· 微专题01 二次根式的含参数问题 题型1 由二次根式定义求参数范围 题型描述：根据二次根式的定义，求参数使被开方数非负的取值。 核心思路：根据二次根式的被开方数非负（a≥0），列出不等式求解参数。 解题步骤： 1. 确定被开方数（含参数的表达式）； 2. 列不等式（被开方数≥0）； 3. 解不等式，得到参数的取值范围。 1．（25-26九年级上·山东威海·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵ 有意义， ∴， ∴， ∵ 是分式， ∴， ∴， 综上可知， 故选C． 2．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据分母不等于0，二次根式的被开方数大于等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意，可得， 解得且， 自变量x的取值范围是且． 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东泰安·期末）若在实数范围内有意义，那么x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意，得 ， 移项得， 两边同时除以 （不等号方向改变），得， 故答案为： 4．（25-26八年级上·山东滨州·期末）若代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东日照·期末）若二次根式有意义，x的值可以是 _____________ （写出一个值即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负列出不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， ∴的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 6．（25-26九年级上·山东淄博·期末）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须非负列式计算即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 题型2 已知化简结果求参数 题型描述：给出二次根式化简后的结果，反推参数的值或取值范围。 核心思路：利用二次根式的性质，将化简结果与原式对比，建立方程或不等式。 解题步骤： 1. 化简原式； 2. 将化简结果与已知条件对比； 3. 根据绝对值的性质列不等式，求解参数。 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若二次根式的值为0，则的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 5．（2026八年级下·全国·专题练习）若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为_____． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 题型3 参数与二次根式有意义的综合 题型描述：参数的不同取值影响二次根式是否有意义，需结合被开方数非负、分母不为零等条件分类讨论。 核心思路：结合二次根式有意义的条件（被开方数非负）、分母不为零等，分类讨论参数的取值。 解题步骤： 1. 列出所有限制条件（被开方数≥0、分母≠0等）； 2. 根据参数的不同取值（如a＞0、a＝0、a＜0），分别求解x的范围； 3. 综合所有情况，得到x的取值范围。 1．（25-26八年级下·山东聊城·开学考试）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解． 【详解】代数式有意义， ，， 且， 则实数x的取值范围是且． 2．（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0 对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意． 对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意． 对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意． 对于选项D：∵不论为何实数，， ∴，二次根式有意义； 又∵， ∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意． 故选：D． 4．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山东淄博·期末）已知，则的值是________． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，再代入方程求出的值，最后计算代数式的值即可，熟练掌握二次根式的非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵和都有意义， ∴，且， 解得：， 将代入方程，得， 即， ∴， ∴， 故答案为： 0． 6．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，然后解不等式组即可，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴且， 故选：． 题型4 复合二次根式中的参数问题 题型描述：复合二次根式中含参数，需通过配方或整体代换化简，再求参数。 核心思路：通过配方将复合二次根式转化为的形式，再利用化简。 解题步骤： 1. 设 ； 2. 平方得； 3. 对比系数得； 4. 解方程组求出m、n，代入化简。 1．（25-26八年级上·山东济南·月考）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求 的算术平方根． 解： 的算术平方根是 ． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）． (1)=_； (2)=_； (3)在中，，那么边的长为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先利用（1）中得到的结论，把换成，然后将变形为完全平方式，最后开平方即可； （3）先利用勾股定理表示出，同样仿造上面把变形为完全平方式，最后开平方即可． 【详解】（1）解：原式 ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：根据题意，得 ． 2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【详解】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 3．（24-25八年级下·山东泰安·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 4．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 5．（25-26八年级下·广东江门·开学考试）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； 【类比归纳】 （1）填空：_，_． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有：_． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】 （1），； （2）； （3）. 【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果； （3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． / 学科网（北京）股份有限公司 $