第1章 四边形（复习课件）数学新教材湘教版八年级下册

单元复习课件 第1章 四边形 湘教版2024·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 4.特殊四边形判定与性质的灵活应用；掌握常见辅助线方法及添加目的，能根据题型灵活选择；结合多知识点解决综合问题，熟练运用转化思想将四边形问题转化为三角形、平行四边形问题。 1．掌握四边形相关定义、特征，牢记内角和公式，理解边形内角和推导思路，能运用内角和、外角和计算。 2．熟练掌握性质及判定方法，能规范书写几何语言，灵活运用解题。 3.明确特殊平行四边形属性，掌握通用性质+特殊性质及判定方法，能灵活选择判定思路；掌握三角形中位线定理内容，能结合四边形知识综合应用。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一、多边形 1．概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形。 3．多边形的内角和：边形的内角和等于 。 4．任意多边形的外角和：都等于 。 2．在平面内，__________________的多边形叫作正多边形，如正三角形、正方形等。 边相等、角也相等 5．稳定性：三角形具有稳定性，四边形具有_____________。 不稳定性 考点串讲 考点一、多边形 注意： 1. 边形有个内角，每一个顶点处的一个外角与内角的和等于180°； 2. 正多边形的各个内角相等，各个外角相等； 3. 一般地，求多边形的内角和，直接利用内角和公式计算；求多边形的边数，利用边形的内角和公式与外角和等于360°列出方程求解. 考点串讲 1．概念：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形简记作 。 考点二、平行四边形 2．梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫作梯形。 3．等腰梯形：两腰相等的梯形。 4．直角梯形：有一个角是直角的梯形。 考点串讲 5．平行四边形的性质 考点二、平行四边形 几 何 语 言 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∴ . ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∵ 四边形是平行四边形， 对角线互相平分 ∵ 四边形是平行四边形， ∴ . ∵ 四边形是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC. 注：①平行四边形是中心对称图形, 不是轴对称图形。 A B C D O ②夹在两条平行线之间的平行线段相等。 考点串讲 已知平行四边形解决角和线段的问题要注意： 1. 根据平行四边形的性质，得出所需要的结论； 2. 用得到的结论作为条件，判定两个三角形全等，或判定一个三角形是等腰三角形或直角三角形等； 3. 利用三角形、全等三角形的性质解决问题； 4. 一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成两对全等的三角形. 考点二、平行四边形 考点串讲 6．平行四边形的判定 考点二、平行四边形 几 何 语 言 文字叙述 A B C D O 两组对边相等 一组对边平行且相等 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ . ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∵ ，AB∥DC. 对角线互相平分 ∴ 四边形是平行四边形， ∵ . 两组对边分别平行（定义） ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ AD∥BC ，AB∥DC. 考点串讲 平行四边形的判定，要注意： 1. 根据条件和问题，正确选择判定方法； 2. 要充分利用已知平行四边形或三角形的性质得到判定平行四边形的条件，必要时需添加辅助线如对角线等； 3. 注意推理严密，语言规范. 考点二、平行四边形 考点串讲 考点三、中心对称和中心对称图形 1．概念：把一个图形绕着某一个点旋转____，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 2．中心对称的基本性质：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中心________． 对称中心 平分 考点串讲 考点四、中心对称和中心对称图形 3．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 解决中心对称与中心对称图形问题，要注意： 1. 明确对称中心——两组对应点连线的交点； 2. 根据对应中心和对应点得出相等的线段(边)和角. 4．常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、圆等。 对称中心是对角线的交点 考点串讲 考点五、三角形的中位线定理 1．三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，如图中的。 2．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示 ∵DE 是 △ABC 的中位线 ∴DE∥BC , .    简单记忆： ①中点 +中点= 中位线 ②中点 +平行= 中位线 考点串讲 考点五、三角形的中位线定理 解决与三角形的中位线有关的问题，应注意： 1. 从数量和位置两个方面准确运用三角形的中位线性质； 2. 问题中如果有条件：已知三角形的中点，则可以尝试添加辅助线——三角形的中线或中位线解决问题. 考点串讲 考点六、矩形、菱形、正方形 1．几种特殊四边形的性质对比 项目 四边形 边 角 对角线 对称性 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 且四边相等 对边平行 且四边相等 对角相等 四个角 都是直角 对角相等 四个角 都是直角 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 考点串讲 考点六、矩形、菱形、正方形 2．几种特殊四边形的判定方法 项目 四边形 条件 1.定义：两组对边分别平行；2.两组对边分别相等 ；3.两组对角分别相等；4.对角线互相平分；5.一组对边平行且相等 1.定义：有一个角是直角的平行四边形 ；2.对角线相等的平行四边形；3.有三个角是直角的四边形。 1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形。 1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；2.有一组邻边相等的矩形；3.有一个角是直角的菱形。 考点串讲 考点六、矩形、菱形、正方形 3．几种特殊四边形之间的联系 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 考点串讲 题型一、多边形的内角和与外角和 例1 一个边形的每一个内角都是140°，则等于( ) . A、6 B、7 C、8 D、9. 解：方法1：由题意，可得，得 = 9 . 解析： 根据边形的内角和等于或者多边形的外角和等于360°进行计算。 方法2：由题意，n边形的每一个外角都是40°，40 = 360 . 得 = 9 . D 方法总结： 在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数. 题型剖析 题型一、多边形的内角和与外角和 解：如图， 因为四边形内角和为360° 所以，且 所以，且 所以 即， 练一练 在四边形中，求 的度数. 图形与几何问题，多利用“数形结合”画大致草图，可以使解题更易理解。 B C D A 题型剖析 题型二、平行四边形的性质 例2 如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（　　） A．∠1=∠2 B． C． D． 【解析】A.∵四边形是平行四边形， ∴∥，∴∠1=∠2，故A正确； B.∵四边形是平行四边形， ∴，故B正确； C.∵四边形是平行四边形， ∴，故C正确；所以错误的选D。 解析：考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且平行，对角相等. D 题型剖析 练一练 如图，在 中，，垂足为点，若，则=( )° . 解：在 中， ∵ DC∥AB，(平行四边形对边平行) ∴ =58°. 又∵ . ∴ (直角三角形两锐角互余) 题型二、平行四边形的性质 32 题型剖析 题型三、平行四边形的判定 例3 如图，在 中，是对角线上的点，且. 求证：四边形是平行四边形. 【解析】证法一 ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∥. ∴ . 解析：思路1，运用判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，先证∥，且=。思路2，运用判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，连接，交与点，则，证即可. 又∵ ， ∴ . ∴ ∴ ∥. ∴ 四边形是平行四边形. 题型剖析 题型三、平行四边形的判定 例3 如图，在 中，是对角线上的点，且. 求证：四边形是平行四边形. 证法二 连接. ∵ 四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ， . ∴ . ∴ 四边形是平行四边形. 题型剖析 练一练 如图，在四边形中，平分交于点，，添加下列条件，一定能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. AB=CD B. AD=BC C. BE=BC D. ∠A=∠D B 题型三、平行四边形的判定 方法总结： 平行四边形的判定，要注意： 1. 根据条件和问题，正确选择判定方法； 2. 要充分利用已知平行四边形或三角形的性质得到判定平行四边形的条件，必要时需添加辅助线如对角线等； 3. 注意推理严密，语言规范. 题型剖析 题型四、中心对称及中心对称图形 例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）． 【解析】 图A.图B都是轴对称图形，图C是中心对称图形，图D既是中心对称图形也是轴对称图形. D 题型剖析 练一练 如图，已知△和△是关于某一点成中心对称的两个图形，连接. (1) 作出对称中心. (2) 求证：四边形是平行四边形. (1)解：连接，交于点，则点为△和△的对称中心. (2)证明 ∵ 点和点，点和点分别是两个成中心对称三角形的对称点， ∴ . ∴ 四边形是平行四边形. 题型四、中心对称及中心对称图形 题型剖析 题型五、三角形的中位线 例5 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点.求证：. 证明：过点作∥,交于点. ∵是△的中线. ∴是的中点. ∴ ∵是的中点，∥. ∴. ∴ H 题型剖析 练一练 如图，□的对角线AC，BD相交于点O，OE∥AB，下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. D 方法总结： 解决与三角形的中位线有关的问题，应注意： 1. 从数量和位置两个方面准确运用三角形的中位线性质； 2. 问题中如果有条件：已知三角形的中点，则可以尝试添加辅助线——三角形的中线或中位线解决问题. 题型五、三角形的中位线 题型剖析 题型六、矩形的性质和判定 例6 如图,在矩形ABCD 中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°, ,求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形. ∴(矩形的对角线相等). (矩形对角线相互平分) ∴OA = OB. ∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=60°. ∴△AOB为等边三角形， ∴BD = 2OB =2AB =2 ×2.5 = 5. A B C D O 题型剖析 练一练 如图,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O , △ABO 是等边三角形, ,求□ABCD 的面积. A B C D O 解：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 ∴BC= ∴S□ABCD=AB·BC=4× = 题型六、矩形的性质和判定 题型剖析 题型六、矩形的性质和判定 方法总结： 1.遇到矩形对角线问题，优先考虑“对角线相等且平分”，将对角线分成相等的线段 2.证明矩形时，优先利用“平行四边形+ 对角线相等”或“平行四边形+ 一个直角”的判定方法 易错点： 1.忽略“平行四边形”这个前提，直接用“对角线相等”判定矩形 2.混淆矩形与菱形的性质（如矩形对角线相等但不一定垂直） 题型剖析 题型七、菱形的性质和判定 例7 (教材35页例1变式)如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC和BD交于点0，求这个菱形的面积. 解：已知边长 ，，则。 在 Rt△ 中： 所以 解析：利用菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半进行求解。 方法总结： 方法2，利用底乘高求面积； 方法3，利用三角形面积求和； 试一试吧！ 题型剖析 练一练 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D 作ED∥AC，两线相交于点E． 求证：四边形AODE是菱形； 证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= AC， OB=OD= BD， ∴OA=OD， ∴平行四边形AODE是菱形. 题型七、菱形的性质和判定 题型剖析 方法总结： 1.遇到菱形对角线问题，优先用“对角线互相垂直平分”和面积公式 乘积的一半。 2.证明菱形时，优先选择“平行四边形+邻边相等”或“平行四边形+对角线垂直”的判定方法 易错点： 1.忽略“平行四边形”前提，直接用“对角线垂直”判定菱形 2.混淆菱形与矩形的性质（如菱形对角线垂直但不一定相等） 题型七、菱形的性质和判定 题型剖析 题型八、正方形的性质和判定 例8 如图，在菱形中，对角线相交于点，点在对角线上，且,求证：四边形是正方形. 证明：∵ 四边形 是菱形 ∴ （菱形的对角线互相垂直且平分） ∵ ∴ ，即 又 ∵ ∴ 四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵ ，即 ∴ 平行四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） ∵ ∴ ∴ ∴ 菱形 是正方形（对角线相等的菱形是正方形） 题型剖析 练一练 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． 解：(1)四边形BECF是菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4， 题型八、正方形的性质和判定 题型剖析 练一练 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． ∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形； (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 题型八、正方形的性质和判定 题型剖析 题型八、正方形的性质和判定 方法总结： 正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 题型剖析 1.（怀化市中考）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形 考查多边形内角和、外角和 2. （长沙月考）若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（ ） A.10 B.9 C.8 D.6 解：由题意：(n−2)×180°=900°，解得n=7. 解：由题意：n×40°=360°，解得n=9. 针对训练 3.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正六边形 考查中心对称图形 针对训练 4.如图，已知是△的中位线，是上一点，若∠=90°，，，求的长. 考查三角形中位线 解 ∵ 是△的中位线，， ∴ ∴ . 又∵ ∠，是△的斜边上的中线， ∴ . 针对训练 5.如图，已知分别是的边上的点，且． 求证：四边形是平行四边形． 考查平行四边形性质和判定的综合应用 证明：∵四边形是平行四边形， ∴∥，且，∴∥， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 针对训练 6.在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少. 考查分类讨论思想 解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE． 又∠ABE=∠CBE, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE． （1）当AE=2时，则平行四边形的周长． （2）当AE=3时，则平行四边形的周长． 针对训练 考查分类讨论思想 方法总结： 平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的的模型如下： 针对训练 7.如图，折叠长方形一边AD，点D 落在BC 边的点F 处，cm，cm，求： （1）FC 的长；（2）EF 的长． 考查方程思想 解：（1）由题意得， 在Rt△ABF 中， ∵， ∴， ∴． （2）由题意可得，可设DE的长为， 在Rt△EFC 中，， 解得， 即EF 的长为5cm． 针对训练 8.如图，平行四边形中，为对角线，其交点为， 若，边上的高为4，试求阴影部分的面积． 考查转化思想 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴. ∵AB∥CD， ∴ 又∵ ， ∴， 同理可得， ∴， 则． 针对训练 课堂总结 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 课堂总结 感谢聆听! $