压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型（压轴题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型 子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列. 题型01 数列中相邻两项和或积的问题 技法指导 递推公式为an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)的形式，求通项公式或数列求和的方法 （1）求通项公式：由an＋1＋an＝f(n)与上式作差可得隔项递推公式an＋2－an＝f(n+1)－f(n)；对于后一种可由an＋2·an+1＝f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解. （2）求前n项和Sn：求出通项公式,则Sn=S奇+S偶；或者利用an＋1＋an＝f(n)，可直接并项求和. 1.（2025·广东清远·二模）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围． 【解题指导】（1）求→由求通项 （2）确定数列为等差数列→分奇偶求数列的通项公式→分奇偶分别转化恒成立求解的取值范围. 【解】（1）由题意得， ①当时，； ②当时，． 当时，， 【易错提醒】注意验证的情况 ． （2）由（1）知，① 当时，； 当时，，② ①-②得， 【技巧】构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0)⇒an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q⇒两式相减得⇒an＋2－an＝p 数列是以为首项，公差为的等差数列， 数列是以为首项，公差为的等差数列． 当为偶数时，； 当为奇数时，， ，． 又对任意的都有成立， （ⅰ）当为奇数时恒成立， 即对为奇数时恒成立． 【技巧】转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值 当时，， ，即； （ⅱ）当为偶数时恒成立， 即对为偶数时恒成立． 当时，，． 【易错题型】利用二次函数求最值，注意此时为偶数，且 综上所述，的取值范围是． 2.（2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． （2）设， 则， 两式相减得， 则. 题型02 型 技法指导 1.当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有项，可直接分组求和，即Sn＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an－2＋an）. 2.当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an. 3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式. 4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式. 3.（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【思维探究】 看到什么 想到什么 为等差数列 联想等差数列的通项公式 求出数列的通项公式,表示出 ，． 用表示及，联立方程组求解 的通项公式 把代入的通项公式 当时， 利用奇偶分组讨论的方法将，表示出来，对于数列的比较大小可以用作差法 【解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 【技法】作差法比较两个实数大小 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解后反思】当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和； 4.（2025·辽宁大连·模拟）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【解】（1）， ，又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 题型03 含有(-1)n类型 技法指导 对分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解. 5.（2025·河南郑州·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【解题指导】（1）等差中项列式→完全平方公式计算化简→由定义得出等差数列； （2）等差数列的通项公式→求出→借助正负分组→公式求和得出 【解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 【技巧】求和时通过(－1)n实现正负交替，要注意符号的变换 【解后反思】通项中含有(－1)n的情形 (1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和， 如an＝(－1)n(2n－1)，前20项的和 a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39). (2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值， 如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·，则其前n项和，求Tn＝Sn－的取值范围时，n分奇偶讨论，求Tn的最值. 6.（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 题型04 两数列的公共项 技法指导 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 7.（2026·重庆万州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 【解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…， 所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，所以， 则. 8.（2025·山东青岛·二模）已知等差数列满足，且是和的等比中项，数列的前项和为，且满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）将数列和中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列，，令，求数列的前项和. 【解】（1）， 且，即，， ， ，时，，两式相减得，， 即，，且，， 数列是首项为3，公比为3的等比数列，； （2）数列中的项有，数列中的项有， 观察规律发现，当中的第1，3,5，…，项在中有相等的数，即公共项， 即为通项，，， ， ，故 题型05 数列有关增减项问题 技法指导 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项. 9.（2025·陕西咸阳二模）已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意知： 当时：  ① 当时：  ② 联立①②，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，. 所以. 所以. 设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列, 所以 所以 化简得，所以 又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 10.（2025·安徽黄山一模）已知数列为等比数列，正项数列满足，且，. (1)求和的通项公式； (2)若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求. 【解】（1）因为， 所以，又， 所以. 即，又， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列. 所以，即， 设的公比为，又，， 所以，解得， 所以. 综上，数列和的通项公式分别为，； （2）由（1）知，，，，， ，，，. 所以 . . 1．（2025·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 【解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以. 2.（2021·全国·新高考1卷T17）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【解】（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． （法二）由题意知数列满足． 所以， ， 则 ． 所以，数列的通项公式． （2） ． 3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由，，成等比数列，得，而，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【解】（1）由已知，， ，，， 又, ， 数列中任意一项不为0, ， 数列是首项为2, 公比为2的等比数列，. （2）由第（1）问知， ， 则，设数列的前项和为, 所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 5.（2025·河北廊坊联考）已知数列的前项和满足，，且． （1）求证：数列是常数列； （2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和． 【解】（1）证明：由，得， 将上述两式相减，得，即． ， 则， 数列是常数列； （2）由（1）可知，当时，， ，检验当时，也适用， ， 数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列， 这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 的前项和为． 6.（2025·陕西西安·二模）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【解】（1）由题意，，，，所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 7.（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 【解】（1）设公差为， 由题意得， 解得， 故； （2），， 故的前20项为， 故的前20项和为 . 8.（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 【解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 9．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 10.（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 12．（25-26高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【解】（1）由， 当时，， 两式相减得，，即， 因为数列为等比数列，所以数列的公比为， 当时，，而，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以， 则， 两式相减得，， 则. 13．（2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. 【解】（1）因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以，所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为； （2）因为，，所以，，，， 所以在上的值域为. （3）因为，令，得， 所以或，，即或，， 所以所有的正零点需满足或，得为正整数. 所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，所以数列是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 14.（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 15．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 【解】（1）由题意. 当时，. 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）因为， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 16．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 【解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型 子数列问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及分段数列)与数列的增减项问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列. 题型01 数列中相邻两项和或积的问题 技法指导 递推公式为an＋1＋an＝f(n)或an＋1·an＝f(n)的形式，求通项公式或数列求和的方法 （1）求通项公式：由an＋1＋an＝f(n)与上式作差可得隔项递推公式an＋2－an＝f(n+1)－f(n)；对于后一种可由an＋2·an+1＝f(n+1)与上式作商可得隔项递推公式，然后求解. （2）求前n项和Sn：求出通项公式,则Sn=S奇+S偶；或者利用an＋1＋an＝f(n)，可直接并项求和. 1.（2025·广东清远·二模）已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且不等式对任意的都成立，求的取值范围． 2.（2026·广东·一模）在数列中，，，且对任意的，都有． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型02 型 技法指导 1.当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，其中奇数项、偶数项各有项，可直接分组求和，即Sn＝（a1＋a3＋…＋an－3＋an－1）＋（a2＋a4＋…＋an－2＋an）. 2.当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an⇒Sn＝Sn－1＋an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn＝Sn－1＋an. 3.当题目条件中出现连续两项的和时，常采用减项作差法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式. 4.当题目条件中出现连续两项的积时，常采用约项作商法，可得数列的奇数项、偶数项所具备的性质，从而求出其通项公式. 3.（2023·新课标Ⅱ卷T18）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 4.（2025·辽宁大连·模拟）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 题型03 含有(-1)n类型 技法指导 对分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解，当项数不确定时，要分奇数和偶数讨论求解. 5.（2025·河南郑州·二模）已知数列的各项均为正数，前项和为，且，是与的等差中项. (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和. 6.（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 题型04 两数列的公共项 技法指导 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 7.（2026·重庆万州二模）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 8.（2025·山东青岛·二模）已知等差数列满足，且是和的等比中项，数列的前项和为，且满足，. （1）求数列和的通项公式； （2）将数列和中的公共项按从小到大的顺序依次排成一个新的数列，，令，求数列的前项和. 题型05 数列有关增减项问题 技法指导 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项. 9.（2025·陕西咸阳二模）已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 10.（2025·安徽黄山一模）已知数列为等比数列，正项数列满足，且，. (1)求和的通项公式； (2)若从中去掉与数列中相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设，求. 1．（2025·福建福州·期中）在数列中，已知，，记为的前n项和，，． (1)判断数列是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列的通项公式． 2.（2021·全国·新高考1卷T17）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 3.（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 4.（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 5.（2025·河北廊坊联考）已知数列的前项和满足，，且． （1）求证：数列是常数列； （2）求数列的通项公式．若数列通项公式，将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，求的前项和． 6.（2025·陕西西安·二模）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 7.（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 8.（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 9．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 10.（2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列. (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 11．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 12．（25-26高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 13．（2026·宁夏银川·模拟预测） 设函数，且的图象相邻两条对称轴的距离为. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将所有的正零点按从小到大顺序排列得到数列，求数列的前项和. 14.（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 15．（2026·四川攀枝花·一模）已知数列的前n项和为，，且4，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：． 16．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列，满足，且． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)在数列的前20项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列中的项的概率． 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴11 数列的奇偶项问题与子数列问题的5大核心题型 参考答案 压轴题型精讲 题型01 数列中相邻两项和或积的问题 1.【解题指导】（1）求→由求通项 （2）确定数列为等差数列→分奇偶求数列的通项公式→分奇偶分别转化恒成立求解的取值范围. 【解】（1）由题意得， ①当时，； ②当时，． 当时，， 【易错提醒】注意验证的情况 ． （2）由（1）知，① 当时，； 当时，，② ①-②得， 【技巧】构造隔项等差数列：an＋1＋an＝pn＋q(p，q≠0)⇒an＋2＋an＋1＝p(n＋1)＋q⇒两式相减得⇒an＋2－an＝p 数列是以为首项，公差为的等差数列， 数列是以为首项，公差为的等差数列． 当为偶数时，； 当为奇数时，， ，． 又对任意的都有成立， （ⅰ）当为奇数时恒成立， 即对为奇数时恒成立． 【技巧】转化为函数恒成立问题，分离参数、构造函数求最值 当时，， ，即； （ⅱ）当为偶数时恒成立， 即对为偶数时恒成立． 当时，，． 【易错题型】利用二次函数求最值，注意此时为偶数，且 综上所述，的取值范围是． 2.【解】（1）因为，，所以． 因为，所以， 又，则有，所以， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列． 所以，所以， 又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． （2）设， 则， 两式相减得， 则. 题型02 型 3.【思维探究】 看到什么 想到什么 为等差数列 联想等差数列的通项公式 求出数列的通项公式,表示出 ，． 用表示及，联立方程组求解 的通项公式 把代入的通项公式 当时， 利用奇偶分组讨论的方法将，表示出来，对于数列的比较大小可以用作差法 【解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 【技法】作差法比较两个实数大小 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解后反思】当为偶数时:，其中奇数项，偶数项各为项；可直接利用分组求和； 4.【解】（1）， ，又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 题型03 含有(-1)n类型 5.【解题指导】（1）等差中项列式→完全平方公式计算化简→由定义得出等差数列； （2）等差数列的通项公式→求出→借助正负分组→公式求和得出 【解】（1）因为是与的等差中项，所以， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以， 所以数列是公差为1，首项为的等差数列； （2）因为数列是公差为1，首项为的等差数列， 所以， 所以，当时，， 当时，， 所以, 所以， 【技巧】求和时通过(－1)n实现正负交替，要注意符号的变换 【解后反思】通项中含有(－1)n的情形 (1)等差数列的通项公式乘以(－1)n，用并项求和法求数列前n项的和， 如an＝(－1)n(2n－1)，前20项的和 a1＋a2＋…＋a20＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－37＋39). (2)等比数列的通项公式中含有(－1)n，其前n项和可写成分段的形式，可求最值， 如等比数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·，则其前n项和，求Tn＝Sn－的取值范围时，n分奇偶讨论，求Tn的最值. 6.【解】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 题型04 两数列的公共项 7.【解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…， 所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列，所以， 则. 8.【解】（1）， 且，即，， ， ，时，，两式相减得，， 即，，且，， 数列是首项为3，公比为3的等比数列，； （2）数列中的项有，数列中的项有， 观察规律发现，当中的第1，3,5，…，项在中有相等的数，即公共项， 即为通项，，， ， ，故 题型05 数列有关增减项问题 9.【解】（1）由题意知： 当时：  ① 当时：  ② 联立①②，解得. 所以数列的通项公式. （2）由（1）知，. 所以. 所以. 设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则， 所以，即. 又因为m，k，p成等差数列, 所以 所以 化简得，所以 又，所以与已知矛盾. 所以在数列中不存在3项，，成等比数列. 10.【解】（1）因为， 所以，又， 所以. 即，又， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列. 所以，即， 设的公比为，又，， 所以，解得， 所以. 综上，数列和的通项公式分别为，； （2）由（1）知，，，，， ，，，. 所以 . . 1.【解】（1）因为，所以， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以是以为首项，为公比的等比数列； 是以为首项，公比为的等比数列， 所以. 2.【解】（1）显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． （法二）由题意知数列满足． 所以， ， 则 ． 所以，数列的通项公式． （2） ． 3.【解】（1）设等差数列的公差为，则，， 由，，成等比数列，得，而，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 所以. 4.【解】（1）由已知，， ，，， 又, ， 数列中任意一项不为0, ， 数列是首项为2, 公比为2的等比数列，. （2）由第（1）问知， ， 则，设数列的前项和为, 所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 5.【解】（1）证明：由，得， 将上述两式相减，得，即． ， 则， 数列是常数列； （2）由（1）可知，当时，， ，检验当时，也适用， ， 数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 又数列是以1为首项，以3为公差的等差数列， 这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 的前项和为． 6.【解】（1）由题意，，，，所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 7.【解】（1）设公差为， 由题意得， 解得， 故； （2），， 故的前20项为， 故的前20项和为 . 8.【解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 9.【解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 10.【解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 11.【解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 12.【解】（1）由， 当时，， 两式相减得，，即， 因为数列为等比数列，所以数列的公比为， 当时，，而，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以， 则， 两式相减得，， 则. 13.【解】（1）因为， 因为的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，又，所以，所以， 令，，解得，， 所以的单调递增区间为； （2）因为，，所以，，，， 所以在上的值域为. （3）因为，令，得， 所以或，，即或，， 所以所有的正零点需满足或，得为正整数. 所以数列是以为首项，π为公差的等差数列，所以数列是以为首项，π为公差的等差数列， 所以 . 14.【解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 15.【解】（1）由题意. 当时，. 当时，，， 两式相减，得 所以， 又因为，所以. 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 所以. （2）因为， 所以 ， 因为为单调递增数列，且, 所以. 16.【解】（1）因为，所以， 又，所以，所以， 是首项为0，公差为2的等差数列，所以， 由，得，所以，所以， 故，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以， 所以的通项公式为． （2），， 令， 则， 上两式相减，得， 所以，又， 所以． （3）因为，的前20项分别为， 由得， 又是偶数，所以在的前20项中有4项是中的项， 所以所求概率． 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $