8.3.2独立性检验 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8. 3 列联表与独立性检验 8.3.2 独立性检验 X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.858 学习目标 1.理解独立性检验的基本思想及其实施步骤. 2.能利用等高堆积条形图、2×2列联表探讨两个分类变量的关系. 3.了解χ2的含义及其应用. 4.通过对数据的处理,提高解决实际问题的能力 刘雨萌 知识回顾 1.2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数,以下表为例,它包含了X和Y的如下信息: 最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}中样本点的个数; 最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}中样本点的个数; n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法： (1)频率分析法 (2)图形分析法 刘雨萌 “两校学生的数学成绩优秀率存在差异”这个结论是根据两个频率间存在差异推断出来的.有可能出现这种情况：在随机抽取的这个样本中，两个频率间确实存在差异，但两校学生的数学成绩优秀率实际上是没有差别的.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此，需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.   刘雨萌   {X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立; {X=1}与{Y=0}独立;{X=1}与{Y=1}独立. 刘雨萌 以上性质成立,我们就称分类变量X和Y独立,这相当于下面四个等式成立; P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1); P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). 我们可以用概率语言,将零假设改述为H0:分类变量X和Y独立. 假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,如下表所示. ② 表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表: 最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数; 最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数; 中间的四个数a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x, y=0,1)的频数; 右下角格中的数n是样本容量. 对于随机样本,表中的频数a,b,c,d 都是随机变量,而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果. n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 刘雨萌 思考:如何基于②中的四个等式及列联表中的数据,构造适当的统计量,对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断? P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1); P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　   刘雨萌 综合②中的四个式子,如果零假设H0成立,下面四个量的取值都不应该太大:   反之,当这些量的取值较大时,就可以推断H0不成立. 分别考虑③中的四个差的绝对值很困难,我们需要找到一个既合理又能够计算分布的统计量,来推断H0是否成立. 一般来说,若频数的期望值较大,则③中相应的差的绝对值也会较大; 而若频数的期望值较小,则③中相应的差的绝对值也会较小. 为了合理地平衡这种影响,我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和,得到如下的统计量:   该表达式可化简为   刘雨萌     知识概念   刘雨萌 知识概念 独立性检验公式及定义： 提出零假设(原假设)H0:分类变量X和Y独立   为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量 n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2 = χ χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 10.828 7.879 6.635 3.841 2.706 xα 0.001 0.005 0.01 0.05 0.1 α 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 刘雨萌 临界值的定义： 对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)=α成立，我们称xα为α的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大. χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 10.828 7.879 6.635 3.841 2.706 xα 0.001 0.005 0.01 0.05 0.1 α 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 基于小概率值α的检验规则： 当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立。这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 知识概念 刘雨萌 先假设两个分类变量X与Y无关系，利用上述公式根据观测数据求出K2的观测值k，再得出X与Y有关系的程度． (1)如果k≥10.828，就有______的把握认为“X与Y有关系” (2)如果k≥7.879，就有______的把握认为“X与Y有关系”； (3)如果k≥_____，就有99%的把握认为“X与Y有关系” (4)如果k≥5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系” (5)如果k≥3.841，就有_____的把握认为“X与Y有关系” (6)如果k≥2.706，就有_____的把握认为“X与Y有关系”. 99.9% 99.5% 6.635 95% 90% 　　不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步. 课堂巩固 刘雨萌   典例分析 解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异.因为 学校 数学成绩 合计 不优秀(Y=0) 优秀(Y=1) 甲校(X=0) 33 10 43 乙校(X=1) 38 7 45 合计 71 17 88     刘雨萌 思考例1和例2都是基于同一组数据的分析,但却得出了不同的结论,你能说明其中的原因吗? 问题探究   当我们接受零假设H0时,也可能犯错误。我们不知道犯这类错误的概率p的大小,但是知道,若α越大,则p越小 刘雨萌 典例分析   解：零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异. 将所给数据进行整理，得到两种疗法治疗数据的列联表， 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136     刘雨萌     疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 乙 6 63 69 甲 15 52 67 合计 21 115 136 疗法 疗效 合计 治愈 未治愈 甲 52 15 67 乙 63 6 69 合计 115 21 136       不影响 典例分析 刘雨萌 例4.为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样，调查了9965人，得到如下结果（单位：人）依据小概率值α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险. 典例分析 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 解：零假设为H0：吸烟和患肺癌之间没有关系根据列联表中的数据，经计算的   根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为吸 烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001，即我们有99.9％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”. 刘雨萌 根据表中的数据计算不吸烟者中不患肺癌和患肺癌的频率分别为 吸烟者中不患肺癌和患肺癌的评率分别为 由 可见，在被调查者中，吸烟者患肺癌的频率是不吸烟者患肺癌频率的4倍以上。于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为吸烟者患肺癌的概率明显大于不吸烟者患肺癌概率，即吸烟更容易引发肺癌. 典例分析 刘雨萌 用χ2进行“相关的检验”步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系. (2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值. (3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα. (4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论. 注意：上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整， 例如，在有些时候，分类变量的抽样数据列联表是问题中给定的. 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：   P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 归纳小结 刘雨萌 归纳小结 P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 例如 0.1%把握认 为A与B无关 1%把握认为A与B无关 10%把握认为 A与B无关 99.9%把握认 为A与B有关 99%把握认 为A与B有关 90%把握认 为A与B有关 没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关 刘雨萌 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 1.分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表： n=a+b+c+d b+d a+c 合计 c+d d c X=1 a+b b a X=0 Y=1 Y=0 合计 Y X 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2 = χ 2.独立性检验的一般步骤： (1)提出零假设H0:X和Y相互独立,并给出在问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算χ2的值,并与临界值xα比较. (3)根据检验规则得出推断结论. (4)在X和Y不独立的情况下,根据需要,通过比较相应的频率, 分析X和Y间的影响规律. P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 刘雨萌 课后作业 课后作业：全品练习册49-50 刘雨萌 本节内容结束 $