21.3.3正方形（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第2课时 正方形的判定 21.3.3 正方形 第二十一章 四边形 第二十一章 四边形 章节导读 22. 2 平行四边形 21. 1 四边形及多边形 四边形及其内角和 多边形及其内角和 平行四边形及其性质 平行四边形的判定 三角形的中位线 22. 3 特殊的平行四边形 矩形 菱形 正方形 1 2 3 掌握正方形的核心判定方法，能区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定逻辑； 熟练运用判定定理完成几何证明与实际问题分析； 经历正方形判定定理的形成过程，发展几何直观、合情推理与演绎推理能力. 我们已经学过的特殊平行四边形有： 矩形、菱形、正方形。它们的关系如图所示. 新课引入 我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们之间有什么关系？ 我们已经知道矩形和菱形有对应的判定方法，那如何判定一个四边形是正方形呢？ 注：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形 今天我们就来系统探究——《正方形的判定》. 探究一：从定义出发判定正方形 新知探究 探究 正方形的定义本身，是不是一种判定方法？要满足定义，需要同时具备哪几个条件？ 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形的定义本身就是一种判定方法 前提：四边形是平行四边形 条件 1：有一组邻边相等（菱形的核心特征） 条件 2：有一个角是直角（矩形的核心特征） 一个四边形，既是矩形，又是菱形，那么它一定是正方形。 探究二：从矩形出发，推导正方形的判定方法 探究 矩形具有哪些特殊的性质，如何结合这些性质判定正方形？ 新知探究 ①矩形的四个角都是直角 当邻边相等时，矩形就是正方形 ②矩形的对角线相等 当对角线互相垂直时， 矩形就是正方形 新知探究 结合以上动态演可知，由矩形可以得到如下判定正方形的定理： 正方形的判定： 判定 1：有一组邻边相等的矩形是正方形 判定 2：对角线互相垂直的矩形是正方形 探究三：从菱形出发，推导正方形的判定方法 新知探究 探究 类比探究 2 的思路，能将菱形变成正方形吗？ ①菱形的四条边都相等 ②菱形的对角线相等且平分每一组对角 有一个角是直角时， 菱形就是正方形 当对角线相等时， 菱形就是正方形 新知探究 结合以上动态演可知，由菱形可以得到如下判定正方形的定理： 正方形的判定： 判定 3：有一个角是直角的菱形是正方形 判定 4：对角线相等的菱形是正方形 探究四：从平行四边形出发，总结正方形的判定方法 探究 如果我们从最基础的平行四边形出发，要直接判定它是正方形，需要添加哪些条件？ 新知探究 ①平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个角是直角 ②平行四边形 + 对角线互相垂直 + 对角线相等 新知探究 结合以上动态演可知，由平行四边形可以得到如下判定正方形的定理： 正方形的判定： 边 + 角组合：平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个角是直角 对角线组合：平行四边形 + 对角线互相垂直 + 对角线相等 探究五：从一般四边形出发，总结正方形的判定方法 探究 不经过平行四边形、矩形、菱形的铺垫，能不能直接从一般四边形出发，一步判定它是正方形？需要满足什么条件？ 新知探究 对角线互相平分→四边形是平行四边形 对角线相等→平行四边形是矩形 对角线互相垂直→平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 即时训练 1．下列命题是真命题的是（  ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项正确； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误. B 新知总结 正方形的判定 ①定义法 ②矩形出发 ③菱形出发 ④从一般四边形出发 典例分析 【分析】依据正方形对角线的性质，推导出四个三角形为等腰直角三角形并证明其全等. 例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：如图，四边形是正方形，对角线，相交于点. 求证：，，，是全等的等腰直角三角形. 证明： 四边形是正方形 ，. ， . ，，，都是等腰直角三角形 并且 . 巩固提升 1.如图，在矩形中，对角线相交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使矩形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加： 或或或， 根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加： AC⊥BD AC⊥BD 【分析】依据矩形到正方形的判定定理，添加邻边相等或对角线垂直的条件即可. 巩固提升 2.如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点A，B均在格点上． （1）在图1中画出以为边且周长为无理数的，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）． （2）在图2中画出以为对角线的正方形，且点E和点F均在格点上． 【详解】解：（1）如图四边形即为所作，答案不唯一． （2）如图，四边形即为所求作的正方形 巩固提升 3.如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【分析】先由平行四边形性质与作图条件证得 是平行四边形，再结合对角线的特殊条件判定其为正方形. 【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， 巩固提升 ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点 ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 正方形的判定 八年级下册 · 课堂小结 01 知识点回顾 02 易错点警示 03 解题技巧 © 人教版数学 · 飞象老师制作 核心定义与判定定理 1. 正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2. 判定路径图解 路径一：从矩形出发 1 矩形 + 一组邻边相等 = 正方形 2 矩形 + 对角线互相垂直 = 正方形 路径二：从菱形出发 1 菱形 + 有一个角是直角 = 正方形 2 菱形 + 对角线相等 = 正方形 3. 几何语言表述 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD ∴ 四边形 ABCD 是正方形 ∵ 四边形 ABCD 是菱形，且 ∠ABC = 90° ∴ 四边形 ABCD 是正方形 常见易错点警示 ! 忽视前提条件 只证明了“对角线互相垂直且相等”，就断定是正方形。 错误示例： ∵ AC ⊥ BD, AC = BD ∴ 四边形 ABCD 是正方形 正确逻辑： 必须先证明它是平行四边形。等腰梯形的对角线也相等，某些筝形的对角线也垂直。 ! 判定条件混淆 混淆矩形和菱形的判定条件。 矩形 + 直角 ≠ 正方形（矩形本来就有直角） 菱形 + 邻边相等 ≠ 正方形（菱形本来就邻边相等） 口诀：缺什么补什么 解题模型与技巧 1. 判定路线选择策略 已知直角较多 优先证矩形 ⬇ 再证一组邻边相等 或对角线互相垂直 OR 已知线段相等较多 优先证菱形 ⬇ 再证一个角是直角 或对角线相等 2. 中点四边形模型 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是正方形，原四边形需要满足什么条件？ 结论： 原四边形的对角线必须 互相垂直且相等。 推导： 1. 中点四边形是矩形 ⇔ 原四边形对角线互相垂直 2. 中点四边形是菱形 ⇔ 原四边形对角线相等 3. 矩形 + 菱形 = 正方形 3. 向量法判定（拓展） 在平面直角坐标系中，若已知四边形 ABCD 为平行四边形，可用向量判定： AB · AD = 0 (直角) |AB| = |AD| (邻边相等) $