21.3.2菱形（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第2课时 菱形的判定 21.3.2菱形 第二十一章 四边形 第二十一章 四边形 章节导读 22. 2 平行四边形 21. 1 四边形及多边形 四边形及其内角和 多边形及其内角和 平行四边形及其性质 平行四边形的判定 三角形的中位线 22. 3 特殊的平行四边形 矩形 菱形 正方形 1 2 3 掌握菱形的 3 种判定方法，能根据不同条件灵活选择判定定理进行推理证明和简单计算； 类比平行四边形、矩形的判定学习方法探究菱形的判定，培养几何推理能力和逆向思维能力； 在动手操作和合作探究中激发数学学习兴趣，培养严谨的逻辑推理习惯，感受几何知识的内在逻辑美. 新课引入 上节课我们学习了菱形的性质，什么是菱形？菱形有哪些特殊性质？ 矩形的定义既是矩形的性质，也是我们判定矩形的第一个方法 —— 定义法. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形相比普通平行四边形，还有哪些特殊性质？ ①边：四条边都相等； ②对角线：互相垂直，且平分每组对角. 探究一：菱形的判定定理一 新知探究 探究 在前面的学习中，我们知道菱形的对角线互相垂直，这个性质的逆命题是什么？ 该性质的逆命题为：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 这个逆命题是真命题吗？我们能不能验证它？ 证明方法一：几何演示 新知探究 证明方法二：代数推理 思考 在几何演示的过程中可以发现，当对角线垂直时，四条边的长度相等，下面我们进行更严谨的证明. 已知：如图，在▱ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 求证：▱ABCD 是菱形 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO=CO 又∵ AC⊥BD ∴ BD 是 AC 的垂直平分线 ∴ AD=CD ∴ ▱ABCD 是菱形 6 即时训练 1.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，添加一个条件_________，使平行四边形为菱形． 【分析】本题考查添加条件使平行四边形为菱形，根据菱形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形，可以添加：； 故答案为：(或，答案不唯一）． 7 探究二：菱形的判定定理二 新知探究 探究 菱形还有一条特殊的性质，菱形的四条边都相等，它的逆命题是什么？ 该性质的逆命题：四条边相等的四边形是菱形 这个逆命题是真命题吗？我们先进行几何验证验证？ 证明方法一：几何演示 新知探究 证明方法二：代数推理 思考 在几何演示中，画出的四边形对边平行，是平行四边形，且邻边相等，符合菱形的定义，下面我们进行更严谨的证明. 已知：如图，在四边形 ABCD 中， 求证：四边形 ABCD 是菱形。 证明：因为 ，所以 四边形 是平行四边形 又 ∵ ∴这个平行四边形是菱形。 即时训练 2.如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是？ 【分析】由题意易得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 故答案为 新知总结 矩形的概念与性质 概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 此外，矩形还满足平行四边形的所有性质. 性质： ①矩形的四个角都是直角 ②矩形的对角线相等 典例分析 例 1 如图 ，在□ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别相交于点 E，F． 求证：四边形 AFCE 是菱形． 【分析】已知 AC ⊥ EF，由 “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形 AFCE 是平行四边形．由题意可知 AO = CO，还需证明 EO = FO． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AE // CF． ∴ ∠1 = ∠2． 又 ∠AOE = ∠COF，AO = CO 典例分析 ∴ △AOE ≅ △COF． ∴ EO = FO． ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形． 又 AC ⊥ EF， ∴ 四边形 AFCE 是菱形． 巩固提升 1.添加下列一个条件，能使平行四边形成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据菱形的判定逐个进行证明，再进行判断即可． 【详解】解：A、中，本来就有，故本选项错误； B、中，对角线，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误； C、中，，可利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判定▱ABCD是菱形，故本选项正确； D、中，一个内角，可判断平行四边形成为矩形，故本选项错误． C 巩固提升 2.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是多少？ 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】过点作于点E，于点， 根据题意得：，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∴， 巩固提升 ， ∴ 同理： ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴． 巩固提升 3.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接. 求证：四边形是菱形. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ 【分析】先证三角形全等推得四边形 ABEF 是平行四边形，再结合邻边相等的条件证其为菱形. 巩固提升 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 菱形的判定 八年级下册 · 课堂小结 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 Designed for Mathematics 核心判定定理 点击下方蓝色下划线区域查看关键词 定义法 有一组 邻边相等 的 平行四边形 是菱形。 几何语言： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB = AD ∴ 四边形 ABCD 是菱形 判定定理 1 对角线 互相 垂直 的平行四边形是菱形。 几何语言： ∵ □ABCD 中，AC ⊥ BD ∴ □ABCD 是菱形 判定定理 2 四条边 都相等的 四边形 是菱形。 几何语言： ∵ AB = BC = CD = DA ∴ 四边形 ABCD 是菱形 💡 补充公式：菱形的面积 S菱形 = ah = 1 2 AC · BD （底乘以高 或 对角线乘积的一半） 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 ⚠️ 忽略前提条件 错误认为“对角线互相垂直的四边形是菱形”。 正解：必须先证明它是平行四边形，或者证明对角线互相垂直且平分。 ⚠️ 混淆判定定理 错误使用“一组邻边相等的四边形是菱形”。 正解：这只是普通四边形（如筝形）。必须强调是平行四边形这个大前提。 ⚠️ 向量表示错误 在证明中混淆向量相等与模长相等。 正解：菱形是边长相等，即 |AB| = |AD|，而不是向量相等。 解题技巧与模型 掌握通用的证明思路 🔍 证明菱形的“二步走”策略 第一步 先证四边形是 平行四边形 + 第二步 再证满足 一组邻边相等 / 对角线垂直 或者直接一步到位：证明四条边都相等（适用于已知边长关系时） 📐 模型一：折叠问题 在矩形纸片折叠问题中，折痕往往是菱形的对角线。利用折叠的对称性（全等）和平行线性质，常能构造出等腰三角形，进而证明菱形。 ✏️ 模型二：中点四边形 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 原理：利用三角形中位线定理，证明四边相等。 💡 思考题：对角线比值问题 已知菱形 ABCD 的周长为 20，对角线 AC, BD 之比为 3:4，求面积。 思路：设 AC = 6x, BD = 8x（利用半对角线勾股定理）。 在 Rt△AOB 中， (12AC)² + (12BD)² = AB² $