7.3.2离散型随机变量的方差 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.3离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 学习目标 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. 2.会求离散型随机变量的方差、标准差. 3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 刘雨萌 问题导学   随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 刘雨萌 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ 问题探究 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 表1 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 表2 E(X)= 8 ;E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平. 射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图： 发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 刘雨萌 探究2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度? 问题探究 我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢? 问题1.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？ X 1 2 3 4 P 加权平均 刘雨萌 问题探究 问题2.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？ 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 权 加权平均 刘雨萌 知识概念 一、离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为： ··· ··· ··· ··· 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X). 称   为随机变量X的标准差. 它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值. 刘雨萌 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性. 两名同学射击成绩的方差和标准差分别为: 因为D(Y)<D(X)(等价于， ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 刘雨萌 问题探究 问题3.方差的计算可以简化吗？     1、已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D(X)和σ(X)。 解：   公式运用： 二、离散型随机变量取值的方差变形 刘雨萌 问题探究 问题4.离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(X+b)= D(X) 而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即 D(aX)=a2D(X) 因此， D(aX+b)=a2D(X)   117 三、离散型随机变量取值的方差的性质 刘雨萌 1．把下面X的分布列填写完整：并完成问题 其中p∈(0,1)，则E(X)＝_______，D(X)＝_______. X 0 1 P P 解析：而由已知分布列的性质有p＋x＝1，x=1-p E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p， ∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p). 答案：1-p； p； p(1-p) 延伸练习 刘雨萌 典例分析 例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 刘雨萌 跟踪训练 跟踪训练1 已知η的分布列为 (1)求η的方差及标准差; (2)设Y=2η-E(η),求D(Y). 刘雨萌 典例分析 例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表二所示： 表1 表2 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益X/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？ 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1, E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1. 因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大. 解：（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6. 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高. 刘雨萌 课堂延伸 1．给出下列四个命题： ①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值； ②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平； ③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平； ④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度． 则正确命题应该是(　　) A．①④　 B．②③ C．①② D．③④ D 刘雨萌 课堂延伸 刘雨萌 课堂小结——你学到了那些新知识呢？ 1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式   刘雨萌 课后作业 课后作业：全品29-30页1-14题必做，15-17选做 刘雨萌 本节内容结束 η 0 10 20 50 60 P 解:(1)∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16, D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2× +(60-16)2×=384, ∴=8. (2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536. 2．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(3,5)，P(X＝x2)＝eq \f(2,5)， 且x1＜x2，又知E(X)＝eq \f(7,5)，D(X)＝eq \f(6,25)，求X的分布列． 解：依题意X只能取两个值x1，x2，于是有E(X)＝eq \f(3,5)x1＋eq \f(2,5)x2＝eq \f(7,5)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(7,5)))2×eq \f(3,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(7,5)))2×eq \f(2,5)＝eq \f(6,25)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x1＋2x2＝7，,15x12－42x1＋10x22－28x2＋43＝0.)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝1,x2＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝\f(9,5),x2＝\f(4,5)))，由于x1＜x2，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝1,x2＝2))， 所以X的分布列为 X 1 2 P eq \f(3,5) eq \f(2,5) $