第35讲 相似三角形及应用（复习讲义，2考点+9题型+2重点）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 图形的变化 第04讲 相似三角形及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 17 命题点一 相似三角形的性质与判定 题型01添加条件使三角形相似 题型02三角形相似的判定 题型03利用相似三角形的性质求线段长 题型04利用三角形相似的性质求点的坐标 题型05相似三角形的动点问题 题型06格点上找相似三角形 题型07利用三角形相似的性质求最值 题型08利用三角形相似的性质与判定求线段比例 命题点二 相似三角形的实际应用 题型01相似三角形的实际应用 05·重难突破·思维进阶 59 突破一 相似三角形与函数综合 突破二 相似三角形与圆综合 06·优题精选·练能提分 83 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 相似三角形的性质与判定 / 浙江卷 T10 T24 湖州卷 T23 嘉兴卷 T24 金华卷 T24 丽水卷 T24 宁波卷 T24 衢州卷 T24 绍兴卷 T10 台州卷 T23 温州卷 T24 认识图形相似，知道相似比； 掌握 3 个判定定理（两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）和 2 个性质（对应线段比 = 相似比、面积比 = 相似比平方）； 能找相似三角形、证明相似，用性质计算线段或面积。 相似三角形的应用 / / 湖州卷 T23 嘉兴卷 T22 衢州卷 T22 绍兴卷 T19 宁波卷 T21 温州卷 T23 台州卷 T23 把实际问题（测高度、距离等）变成几何模型； 用相似三角形的比例关系，求不好直接测的量； 会设计简单测量方案。 命题预测 浙江省近三年中考对相似三角形的考查已从“各市自主命题”的多元风格稳步过渡到“全省统一命题”的综合导向，呈现出“基础模型常态化、图形变换坐标化、几何证明工具化”的趋势：即在选择填空中通过位似变换考查数形结合，在实际应用中建立测量模型，而在压轴大题中则将其作为核心转化工具，与动态几何、函数综合及分类讨论深度融合，要求学生不仅要熟练掌握“A字型”、“8字型”等经典模型，更需具备在复杂背景下剥离干扰、精准构造相似关系解决综合问题的能力。 考点一 相似三角形的判定与性质 1. 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 2. 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 3. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 4. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 1.（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是的边，不能判定，该选项不符合题意； B、由，，判定，该选项符合题意； C、两个三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，该选项不符合题意； D、比例式中没有的边，不能判定，该选项不符合题意． 故选：B． 2.（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的判定，根据题意得，逐个判断各选项是否可证即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：添加，可得无法判定； 选项B：添加，可得，可以判定； 选项C：添加，可得，，可以判定； 选项D：添加，可得，可以判定； 故选A． 3.（2018·湖南·一模）如图，中，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4.（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点A作，与延长线交于点F． （1）的值为________． （2）已知边上有一点G，连接．若平分，则的长度为________． 【答案】 3 【分析】（1）证明即可解答； （2）过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】（1）四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为的中点， ， ； （2）如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ，平分， ， ， ，即， 解得， ． 【点睛】根据，作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． 5.（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 【答案】和 【分析】分类讨论当和，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可． 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①由题可知，当， , , , ②由题可知，当， , , , 故答案为：和． 6.（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7.（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． 考点二 相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．. 1.（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由已知证明，得到，代入已知数据即可求解． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 2.（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 3.（25-26九年级上·福建泉州·期末）在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 【答案】米 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，云云在周末利用所学知识测量了某树的高度（底部不可到达）．测量过程及数据信息如下：云云在地面上的点处用测角仪测得该树顶端的仰角；随后云云从点处沿方向移动10米到达点处（即米），在点处放置一面平面镜，沿方向继续移动到点处时，恰好在平面镜中看到该树顶端的像，云云眼睛到地面的高度为1.6米，米，已知，，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据以上信息计算该树的高度．（平面镜的大小和测角仪的高度均忽略不计，参考数据：，，） 【答案】24米 【分析】根据平面镜的反射原理：入射角等于反射角及垂直条件，构造，再利用相似三角形的性质：对应边成比例及在中，，建立方程组解方程即可． 【详解】解：，， ， 由平面镜反射原理，得， ， ， ∵米，米，米， ∴(米), ∴．① 在中，，，， ，即，② 联立①②解得米， 该树的高度约为24米． 5.（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）小红和小刚想要测量某建筑物（底部不可到达）的高度．测量过程如下：如图，小红在点C处测得该建筑物顶端A的仰角；小刚竖直站立在点E处，在同一时刻的阳光下，该建筑物在地面上的影子为，小刚在地面上的影子为，小红用皮尺测得米，米．已知小刚的身高米，点B、C、D、E、G在同一条直线上，，．求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】设该建筑物的高度为x米，解直角三角形表示出，然后由得到，然后代入求解即可． 【详解】解：设该建筑物的高度为x米， ∵ ∴ 根据题意得， ∴ ∴ 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴该建筑物的高度为米． 6.（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 【答案】石鼓阁的高度为57米 【分析】题目主要考查解三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用是解题关键． 设米，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：设米， 在中， ， （米）， 由题意得：，， ， ，即， 解得：，即米， 石鼓阁的高度为57米． 7.（2026·四川成都·一模）在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是相似三角形的判定及性质(对应边成比例)在实际测高中的应用．通过作辅助线构建直角三角形，证明三角形相似，根据对应边成比例列算式求出未知线段长度，进而计算目标高度． 【详解】如图，过点作，分别交，于点，， 由题意可得：，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 8.（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 【答案】卢舍那大佛的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．由题意证明，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ，， ， ， ， ，和的长分别为和， ． 解得． 答：卢舍那大佛的高度约为． 命题点一 相似三角形的性质与判定 ►题型01 添加条件使三角形相似 【典例1】如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 【变式1-1】如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、但没有夹角相等，不能判定，故该选项符合题意； B、由可判定，故该选项不符合题意； C、由，可判定，故该选项不符合题意； D、由且，可判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 【变式1-3】如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【详解】解：已知是等边三角形， ∴， A、，根据比例的性质可得，，且， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； B、，这个比例式中的两边与、与，其夹角分别是和，而和并不是这两组边的夹角， ∴原选项不能判定两三角形相似，符合题意； C、，， ∴根据两角分别相等，两三角形相似可得， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； D、， ∴， 在中，， ∴， ∴，且， ∴， ∴原选项能判定两三角形相似，不符合题意； 故选：B． ►题型02 三角形相似的判定 【典例2】如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题关键． （1）根据两组对应边成比例及夹角相等即可得证； （2）由，得出，再利用相似三角形的对应边成比例得出，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 【变式2-2】如图，在中，点，分别在边上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可； （2）由，可得，代入，，，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ； （2）解： ， ， 即 ， ． 【变式2-3】如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． ►题型03 利用相似三角形的性质求线段长 【典例3】如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得； （2）由，，得到，，由（1）知，进而可得，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， （2）解：，， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ； （3）解：设，， 由（1）知， ， ， ， 方程有解，即， ， 解得， 即最大值为， 最小值为． 【点睛】本题以等腰三角形为载体，核心是通过角的和差推导证得，再依托相似三角形的比例性质，结合线段长度关系求解的长度；最后通过设元建立一元二次方程，利用判别式的非负性探究的最小值，将几何最值问题转化为代数方程问题，充分体现了数形结合与转化思想。 【变式3-1】如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴． （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，，结合，得出，进而证明结论即可； （2）根据列出比例式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ∵， ∴， ． （2）解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）通过等腰三角形得到，结合角平分线平分得到，通过角的差运算推出，再结合公共角，利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （）先根据相似三角形的性质得到对应边的比例关系，求出和关于的表达式，再计算出的长度；在中利用勾股定理建立与的等式，进而求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ►题型04 利用三角形相似的性质求点的坐标 【典例4】如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，关键是把点的坐标问题转化为线段的长的问题；由可得，进而得到点的横坐标. 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若三角形面积是，则三角形的面积是 （用含有的式子表示） (3)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查三角形面积计算、位似图形的性质及坐标变换．涉及三角形面积公式、位似图形对应点坐标的确定等知识点． （1）根据位似图形的性质，对应点坐标的变化规律为横、纵坐标都乘以相似比，可求出对应的，，的坐标，依次相连即可得到； （2）根据位似图形的面积比为相似比的平方，即可求解； （3）因为以原点为位似中心，相似比为，根据位似图形对应点坐标的确定方法，点的对应点的横、纵坐标都为原坐标的． 【详解】（1）解：如图所示： 以原点为位似中心，相似比为，且知的顶点坐标分别为，，， ，，， 将点顺次相连即可得到； （2）解：相似比为，， 则位似图形的面积比为， , , 解得：， 故答案为． （3）解：以原点为位似中心，相似比为，， ． 故答案为． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质求出，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，设，利用勾股定理表示出，，根据题意分2种情况讨论：或，利用相似三角形的性质列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，解得； 当时，； ，， ， ， ， ，， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为， 设， 则，， 由勾股定理得，， ， 由题意知，点M与A、B、C三点中的某两点构成的三角形与相似时，如图， 分两种情况：或 当时，则， 即， ， ， 解得，（舍去）， ； 当时，则， 即， ， ， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，存在，点M的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【变式4-3】如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． ►题型05 相似三角形的动点问题 【典例5】如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1)（秒） (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先运用勾股定理求得的长，进而求得点Q运动的路程，即的长，再根据时间，路程与速度的关系列式求时间t即可； （2）分和两种情况，分别利用时间、路程与速度的关系列式即可； （3）分和两种情况，分别利用t的代数式表示出相应线段的长度，再利用相似三角形的性质列比例求解即可； （4）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，连接交于点O，利用平行四边形的性质和已知条件得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的方程求解即可；②当时，连接交于点O，类比①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴当点与点重合时，点Q运动的路程为， ∴当点与点重合时，的值为（秒）． （2）解：当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：长为或． （3）解：由题意得：， ， 当时，若，则， ，解得：； 若， ， ∴，解得：（不合题意，舍去）． 当时， 由（2）知：， ， 若，则， ，解得：； 若，则， ，解得：（不合题意，舍去）； 综上，将分成的两部分，其中的三角形与相似时，t的值为或． （4）解：①如图∶当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 经过平行四边形的中心， ， ， ， ， ∵为边的中点，， ， ， ， ∵， ，即，解得：； ②如图，当时，连接交于点O， 平分平行四边形的面积， 同理可得：， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ，，， ，解得：． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】灵活利用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式5-1】如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． (1)当为何值时，点，相距； (2)当为何值时，与相似． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）利用当时和当时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 即或； （2）解：当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 【变式5-2】如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【答案】2或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据题意分类讨论，列出比例式，根据比例式求出运动时间． 【详解】解：点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为， 则，，， ∵， 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 当时，， ∵，， ∴， 解得，； 故答案为：或． 【变式5-3】如图，中，，，，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒． (1)当为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为个平方单位？ 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，动点问题，将动态问题转化为静态的代数问题是解题关键． （1）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的两种对应情况，分别列出比例式建立方程，求解得到的值； （2）过点作的垂线，用三角函数表示出高，再代入三角形面积公式建立一元二次方程，求解得到的值． 【详解】（1）解： ，，， ， ，，， 分两种情况讨论： 当，则， 可得， 解得； 当，则， 可得， 解得． 综上，当或，与相似． 答：或． （2）解：过点作， 在中，，，，， ， ， ， ， ， ， 解得，， 故当或时，的面积为个平方单位． 答：或． ►题型06 格点上找相似三角形 【典例6】如图是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； (2)在图②中，线段上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，相似比为，确定直角顶点和对应边，直角边按比例扩大倍，再连接两锐角顶点形成斜边即可． （2）根据，利用网格格点构造这样的直角三角形，另一个锐角顶点和点的连线与的交点即为所求． 【详解】（1）解：以为直角顶点，在网格中取点，使，，连接，得到的即为所求，如图①； （2）解：点为一个锐角顶点，构造一个直角三角形，使得对边：邻边，连接这一点与点，交于点，如图②； 【变式6-1】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． (2)在图②中的线段上画一个点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解答本题的关键． （1）根据三边对应成比例的两个三角形相似作图； （2）根据两边平行的两个三角形相似作图． 【详解】（1）解：如图，取点，就是所求的三角形（答案不唯一）， 理由：∵， ， ∴，∴， （2）解：如图，交于点P，点P就是所求的点， 理由：∵， ∴， ∴． 【变式6-2】图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的网格中确定一点，连接，，使与全等； (2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连接，使，且相似比为3：4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−−应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据全等三角形的判定，取格点D，使且，或者且，作出图形即可； （2）取格点，连接交于点，连接、交于点，连接交于点，连接即为所求，然后结合网格，利用平行四边形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求证即可． 【详解】（1）解：如图中，点中任取一个即为所求； （2）解：如图，取格点，连接交于点，连接、交于点，连接交于点，连接即为所求； 证明：由图得点为的一个四等分点，即，且为矩形的中心， ， 将矩形平移得矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 相似比为． 【变式6-3】在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． (2)在图2中的线段上作一点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查直尺作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）相似三角形的对应边成比例，选进行作图即可； （2）在点左边两个单位取点，在点右边三个单位取点，连接，与的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示．（答案不唯一） （2）解：如图， 连接交于点， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． ►题型07 利用三角形相似的性质求最值 【典例7】（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_______、_______时，直角三角形的面积最大； （2）问题解决：如图①，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作，所以，又因为四边形是矩形，所以，于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题； （3）问题拓展：如图②，矩形中，，，点E是边上的动点（点E与A、D两点不重合），连接、，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值．    【答案】（1）5，5；（2）；（3） 【分析】（1）设一条直角边为x，则另一条直角边为，根据三角形的面积公式得到面积的函数关系，故可求解； （2）根据题中方法与相似三角形的性质，求出， ，表示出面积y关于x的二次函数即可求解； （3）作，设，则，根据得到，求出，在根据表示出面积与x的函数关系式，故可求解． 【详解】解：（1）设一条直角边为x，则另一条直角边为，根据三角形的面积公式得到面积 ∴当时，三角形的面积最大为 故答案为：5、5； （2）如图①，过点作． ， 又四边形是矩形， ， ， 那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，    ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，y的最大值为； （3）如图，作 ∵点E是边上的动点，点F是边上的动点， ∴的底为，高为 ∴的面积不变 又∵在矩形中， ∴的面积为 设，则 ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∴ ∴当时，有最大值为．    【点睛】此题主要考查相似三角形与二次函数综合，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意列出二次函数进行求解． 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】(1)相似，见解析 (2) (3)当时，最大值为4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据外角定理和等量代换可推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，则，根据相似三角形的性质对应线段成比例列出等式，得是关于的二次函数，利用二次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴当时，最大为4， ∴当时，最大值为4． 【变式7-2】如图，中，边，高，矩形的四个顶点分别为三边上的点，当___________时，矩形的面积最大，且最大面积为___________． 【答案】 10 150 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、用二次函数求最值等知识点，列出矩形的面积函数解析式是解题的关键． 利用矩形的性质和平行线之间的距离相等的性质可得，设，则；利用相似三角形的判定与性质、对应高的比等于相似比求得线段的长度，再利用矩形的面积公式求得用含x的代数式表示的矩形的面积，最后利用配方法和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设交于点P， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∵， ∴当时，内接矩形的最大面积为150， 即当时，矩形的面积最大，且最大面积为150． 故答案为：10；150． 【变式7-3】如图，已知边长为10的正方形，点E是边上一动点（与点不重合），连结，点G是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)求当为何值时，的面积最大，最大为多少． 【答案】(1)见解析； (2)8； (3)当时，的面积最大，最大为 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； （3）解：设，则， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 当时，． ►题型08 利用三角形相似的性质与判定求线段比例 【典例8】如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：； (2)如图，延长交于点，连接交于点，若． 求的值； 求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) ； ． 【分析】（1）利用边角边证明后，根据全等三角形的性质即可得证； （2）结合正方形性质证明，结合相似三角形的性质推得，由（1）中推得的得到后即可得解； 取中点，连接，利用边角边证明，得到，再利用角边角证明，结合全等三角形性质得，，再代入即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 即得证； （2）解： 在正方形中，，， ， ， ， ， 即， ， ， ； 取中点，连接， 则， 由得， ， 在正方形中，， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【变式8-1】如图，线段与交于点C，．的平分线与的平分线交于点F，交于点H，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的值； (3)如图2，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一易证，再证明，推出为正三角形，，即可解答； （2）证明，推出，由（1）可知和均为正三角形，得到，由即可求解； （3）连接，证明，进而证明，易证，得到，再证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， 又∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴为正三角形， ∴， ∴， ∴在中，； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：连接， ∵，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，在中，，，D是边上的点，E为的中点．若，．则： （1）的长为______； （2）的值为______． 【答案】 2 【分析】（1）证明，得出，设，则，求出，根据，求出； （2）根据勾股定理得出，求出，再分别求出，，最后求出比值即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可得，，， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． 【变式8-3】如图，切于点交于点，过点A作于点D，交于点B，连接，若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，先推导出，，得到，可证明出，得到，在中，，设，推导出，求出，进而证明，得到，可推导出，得到，则，得到，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵是的切线，A为切点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆心角，是圆周角，且它们都对弧， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 命题点二 相似三角形的实际应用 ►题型01 相似三角形的实际应用 【典例1】榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作于，先利用平面镜反射性质证三角形相似，得到与的等量关系，结合仰角的正切函数关系建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵平面镜反射，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 设米，则米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴米，米． 在中，， ∵，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 答：该大厦的高度为米． 【变式1-1】如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径（），测得的长度为，则零件的内孔直径的长度为（    ）． A．18 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出． 【详解】解：， ， ， ∵， ． 【变式1-2】小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，再由，可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 解得：， 答：路灯的高度为． 【变式1-3】在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 【答案】1 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， ． 突破一 相似三角形与函数综合 【典例1】已知直线分别交x轴、y轴于点B、C，抛物线过B、C两点，交x轴负半轴于点A． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，横坐标为t的点D在第三象限抛物线上，过点D作y轴平行线，交过点C且与垂直的直线于点E，，求d与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，交x轴于点F，点G在上，，连接并延长交射线于点H，以为底边，在的上方作等腰直角，连接并延长交y轴于点K，点M在左侧的线段上，连接、，，连接交y轴于点N，连接、、，．连接交抛物线于点P，求点P的横坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点P的横坐标为． 【分析】（1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，求得是等腰直角三角形，则点D的坐标为，点E的坐标为，据此求解即可； （3）连接，，先证明，，再推出四边形是正方形，延长至点，使，则四边形是平行四边形，证明，求得，再得到，求得点N的坐标为，利用三角形面积公式求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴、y轴于点B、C， 令，则，令，则， ∴，， 将，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：作轴于点， ∵，， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，且点D的横坐标为t， ∴， 由题意得，点D的坐标为， ∴， ∴点E的坐标为， ∴； （3）解：连接，， ∵点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∴点K的坐标为， 延长至点，使，则四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，又四边形是正方形， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得或， 当时，点E的坐标为（不符合题意，舍去）， ∴，点E的坐标为， ∴点G的坐标为， ∵，即点与点关于点G中心对称， ∴点H的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点P的横坐标为． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，且．      (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，交轴于点，点在线段上，连接、，，若面积为，求与的函数关系式（不写自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过点作的平行线，交轴于点交轴于点，、在线段上，，，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据得到，根据得到，代入解析式求出，即可得到抛物线的解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，交于点，利用，列出比例式，求用含的代数式表示，根据代入整理即可； （3）在（2）作图基础上，再过点作轴交直线于，过点作轴交x轴于、交直线于，过点作轴交直线于；延长，在延长线上取点，使；利用，列比例式，用含的代数式表示表示出，结合，求出，证，得到；设，则，点横坐标为，代入表达式得纵坐标，结合代入算出，根据、，得；设，则，设，推出：证，得到，计算出、、，最后根据点横坐标=点横坐标，点纵坐标=点纵坐标，计算即可得到点的坐标． 【详解】（1）， ， ， ， 把代入，得：， ， ， 抛物线的解析式为 （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，交于点，   轴，轴，，，点横坐标为， ，， ， ∴， ∴， ∵， ∴ （3）如图，在（2）作图基础上，再过点作轴交直线于，过点作轴交x轴于、交直线于，过点作轴交直线于；延长，在延长线上取点，使   点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，由（2）得， ，， ， ， 轴，轴，， ， ， ， ，， ， ， ，， , ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 设，则，， 点在第三象限的抛物线上， 点横坐标为，点纵坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，，点横坐标， ，，， ，， ， 设，则，设，则， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 轴，轴，轴，， ，，， ， ， ， ，， 又点横坐标，， 点横坐标点横坐标， 点纵坐标点纵坐标， 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，综合性强，结合勾股定理、相似三角形、三角函数知识点，熟练掌握运用知识点、数形结合、分析与推理证明是解题的关键． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)连接．点为反比例函数的图象上一点，连接．若，求点的横坐标； (3)过点作互相垂直的直线，分别交反比例函数的图象于点（点异于点），直线交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为 (2)或1或或 (3) 【分析】（1）代入到求出反比例函数的表达式，从而得到点的坐标，再代入点到即可求出一次函数的表达式； （2）设与轴交于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，利用三角形的面积公式得到，得出，再根据题意分①点在直线右侧；②点在直线左侧两种情况讨论，过点作轴交直线于点，设，表示出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，解出的值即可解答； （3）过点作轴的平行线，使得，作轴于点，连接，设直线、分别与轴交于点、，设，，，先证出得到，整理可得；再通过证明推出，进而证出，得到，即，同理可得，联立①和②两个方程求出的值，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：代入到，得， 反比例函数的表达式为， 代入到，得， ， 代入和到，得， 解得：， 一次函数的表达式为， 综上所述，一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：设与轴交于点， 令，则， 解得：， ， ， ， ①当点在直线右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 设， 代入到，则， 解得：， ， ， ， ， 解得：，， 点的横坐标为或； ②当点在直线左侧时，如图，过点作轴交直线于点， 设，同理①中的方法可得， ， ， ， 解得：，， 点的横坐标为或1； 综上所述，点的横坐标为或1或或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，使得，作轴于点，连接，设直线、分别与轴交于点、， 设，，， ， ， ， 又， ，即， ， ， ，即， ， ，， ， 整理得：； ， ， 又， ， ， ， 轴， ， ， ，即， 又， ， ，即， ，即， 同理可得，， 得，， 整理得：， 得，， ， 解得：，（舍去）， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要运用数形结合和分类讨论思想解决问题，还涉及较大的计算量，适合有能力解决难题的学生． 【变式1-4】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【详解】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 突破二 相似三角形与圆综合 【典例2】如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，则为的直径，证明即可证明结论； （2）连接，求出，证明可得，设，则，，可得关于x的方程，解出方程即可得出、的长，利用勾股定理可求出长，进而完成解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是圆O的切线． （2）解：如图：连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：． ∴，， ∴， ∴， ∴圆O的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质求线段的长成为解题的关键． 【变式2-1】【感知发现】 如图1，为圆O的直径，点C、D均在圆O上，，连接并延长交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接． （1）证明：； （2）与四边形的面积分别记为，，若，求的值． 【深入探究】 如图2，为圆O内的一条弦，点C、D均在圆O上且分别位于的两侧，，过点D作的平行线交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接、，与交于点F． （1）若为圆O的直径，证明：线段总经过某一定点； （2）若，且的面积与四边形的面积相等，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】感知发现：（1）见详解（2）；深入探究（1）见详解（2）是定值， 【分析】感知发现 （1）连接，由圆的基本性质得，由圆周角定理得，，由平行线的判定方法，即可得证； （2）连接交于，由线段垂直平分线的判定定理得垂直平分，由三角形面积得 ，，即可求解； 深入探究： （1）连接、、、，由圆的基本性质得，由得，是的直径，即可得证； （2）连接，过作交于，由垂径定理得，由等腰梯形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，， ，设与之间的距离为，由三角形面积及梯形面积得 ， 即可求解． 【详解】感知发现 （1）证明：连接， ，是直径， ， ， ， ， ； （2）连接交于， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； 深入探究： （1）证明：连接、、、， ， 是直径， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 是的直径， 一定经过圆心， 线段总经过某一定点； （2）是定值； 连接，过作交于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 设与之间的距离为， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的判定及性质等；掌握圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定及性质，能熟练利用辅助未知数求解是解题的关键． 【变式2-2】如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足． (1)①求证： ②求证： (2)已知，求的值 【答案】(1)①证明见详解，②证明见详解 (2)18 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及角度的和差关系． （1）①由已知条件得出，证得，从而得到，通过同角的补角相等得出结论； ②连接，设，则，再由圆周角定理及①的结论得出，利用“”证得，从而得出； （2）先证明得出，进而得到，再由已知条件计算出圆的半径，证明得到，即，将所求的线段等量关系代入即可得出结果． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． ②如图，连接， ∵为的直径， 设，则， ∵， ∴由圆周角定理可知，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵所对的圆周角相等， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2-3】如图，直线与圆相切于点，是圆的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与圆交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若圆的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出，继而证明，得到，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，，证明，整理得，又因为，，求出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是识别平行线对应的线段比例关系． 由，得，结合的比例计算，进而得． 【详解】， ． ， ． 故选：C． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，则，据此代值求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在水平桌面上的两个均垂直于桌面， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即②号的测试距离为， 故选：B． 5．（2026·上海闵行·一模）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的应用举例，如图，证明．得，设，当光源与手的距离增加1米时，即（米），米，同理求出．进而即可求出答案． 【详解】解：如图， 由题意可知，米，米，且， ∴， ∴， 设， ∴光源与手的距离增加1米，即（米），米， 如图， 同理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知，，点，，在同一条直线上，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入相关数值，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 点在同一条直线上，， 即． ， ． 故答案为：6． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】14 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的性质以及平移的性质，属于中等难度题型．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据三角形中位线定理得到，得到，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可． 【详解】解：∵分别是的边和的中点， ， ， ∴，相似比为， ∵的面积为 7 ， ，则， 由平移的性质可知，的面积的面积， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：14． 8．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 9．（23-24九年级下·广东广州·月考）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出，进而表示出.再分两种情况：若，则，即可得出方程求出t值；若，则，即可得出方程求出解． 【详解】解：∵， ∴设， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴. 则. 设过t秒，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∵， ①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得. 所以过2.4秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 1.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，根据全等三角形的判定与性质，求得，所以，再证明，求出，最后根据三角函数的定义求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了求三角函数值，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键． 2.（2026·江苏无锡·一模）如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，根据反比例函数系数的几何意义及相似三角形的性质得，进而得出，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案．掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵，是双曲线上的两点，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵是的中点，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3.（2026·山西长治·一模）如图，已知平行四边形，点E在上，且，与交于点F．若，则的长为________． 【答案】4 【分析】根据平行四边形性质，易得，再根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 4.（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（2026·江苏南京·一模）如图，点E，F在矩形内，．若，，，则的长为________________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 延长交于点H，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，，，通过证明得到，求出，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点H，如图， 在中，， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 6.（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据已知易证，，由直角三角形的性质可得，进而得到，即可证明结论； （2）由题意得，易证，由直角三角形的性质可得，推出，，易证，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又在中，点为中点， ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， 又点是中点，， ， ， ∵ ， ， ． 7.（2024·甘肃陇南·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）延长交于点，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，， ， ， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即． （2）解：延长交于点，如图所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 在与中，， ， ， 即． 8.（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点分别为上的两点． (1)如图1，若，且，求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查三角形相似的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． （1）利用证明； （2）在的延长线上取点M，使，证明，即可求解； （3）延长至N，使，证明，得到，再由，得到，由此可求． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）证明：在的延长线上取点M，使， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长至N，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9.（2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)取边的中点，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，得到，结合点是边的中点，得到，最后结合，即可得证； （2）由（1）可知，得到，，再证明，推出，然后证明，得到，最后利用，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 点是边的中点，即， ， 又∵， ； （2）证明：如图2， 由（1）知：， ，， ， ， ， 又， ∵， ， 点是边的中点，点是边的中点， ， 在中，，即， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，等边对等角，解直角三角形，熟练掌握以上知识点灵活证明三角形相似是解题的关键． 10.（2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，得到，然后代入求值即可； （2）先证明，然后判定，得到，求得，作，垂足为点，在中，通过求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）解： 在和中，， ， ， ， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 如图1，作，垂足为点， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线分线段成比例，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1.（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 2.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 3.（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 4.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 5.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 6.（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 7.（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意，易得，有，结合已知条件，得到的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：12． 8.（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 9.（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 图形的变化 第04讲 相似三角形及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 17 命题点一 相似三角形的性质与判定 题型01添加条件使三角形相似 题型02三角形相似的判定 题型03利用相似三角形的性质求线段长 题型04利用三角形相似的性质求点的坐标 题型05相似三角形的动点问题 题型06格点上找相似三角形 题型07利用三角形相似的性质求最值 题型08利用三角形相似的性质与判定求线段比例 命题点二 相似三角形的实际应用 题型01相似三角形的实际应用 05·重难突破·思维进阶 59 突破一 相似三角形与函数综合 突破二 相似三角形与圆综合 06·优题精选·练能提分 83 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 相似三角形的性质与判定 / 浙江卷 T10 T24 湖州卷 T23 嘉兴卷 T24 金华卷 T24 丽水卷 T24 宁波卷 T24 衢州卷 T24 绍兴卷 T10 台州卷 T23 温州卷 T24 认识图形相似，知道相似比； 掌握 3 个判定定理（两角相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例）和 2 个性质（对应线段比 = 相似比、面积比 = 相似比平方）； 能找相似三角形、证明相似，用性质计算线段或面积。 相似三角形的应用 / / 湖州卷 T23 嘉兴卷 T22 衢州卷 T22 绍兴卷 T19 宁波卷 T21 温州卷 T23 台州卷 T23 把实际问题（测高度、距离等）变成几何模型； 用相似三角形的比例关系，求不好直接测的量； 会设计简单测量方案。 命题预测 浙江省近三年中考对相似三角形的考查已从“各市自主命题”的多元风格稳步过渡到“全省统一命题”的综合导向，呈现出“基础模型常态化、图形变换坐标化、几何证明工具化”的趋势：即在选择填空中通过位似变换考查数形结合，在实际应用中建立测量模型，而在压轴大题中则将其作为核心转化工具，与动态几何、函数综合及分类讨论深度融合，要求学生不仅要熟练掌握“A字型”、“8字型”等经典模型，更需具备在复杂背景下剥离干扰、精准构造相似关系解决综合问题的能力。 考点一 相似三角形的判定与性质 1. 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 2. 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 3. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 4. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 1.（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2026·上海虹口·一模）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点、．如果添加下列一个条件后，仍无法判定，那么这个条件是（   ） A． B． C． D． 3.（2018·湖南·一模）如图，中，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点A作，与延长线交于点F． （1）的值为________． （2）已知边上有一点G，连接．若平分，则的长度为________． 5.（2026·江苏南通·模拟预测）如图，已知，D，E分别是，边上的点．，，．若与相似，则的值为_______________． 6.（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 7.（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 考点二 相似三角形的应用 1.利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2.利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3.借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．. 1.（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图2，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 3.（25-26九年级上·福建泉州·期末）在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 4.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，云云在周末利用所学知识测量了某树的高度（底部不可到达）．测量过程及数据信息如下：云云在地面上的点处用测角仪测得该树顶端的仰角；随后云云从点处沿方向移动10米到达点处（即米），在点处放置一面平面镜，沿方向继续移动到点处时，恰好在平面镜中看到该树顶端的像，云云眼睛到地面的高度为1.6米，米，已知，，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请根据以上信息计算该树的高度．（平面镜的大小和测角仪的高度均忽略不计，参考数据：，，） 5.（25-26九年级下·陕西榆林·开学考试）小红和小刚想要测量某建筑物（底部不可到达）的高度．测量过程如下：如图，小红在点C处测得该建筑物顶端A的仰角；小刚竖直站立在点E处，在同一时刻的阳光下，该建筑物在地面上的影子为，小刚在地面上的影子为，小红用皮尺测得米，米．已知小刚的身高米，点B、C、D、E、G在同一条直线上，，．求该建筑物的高度．（参考数据：，，） 6.（2026·陕西宝鸡·一模）石鼓阁是宝鸡市的标志性建筑之一，因石鼓文而得名，堪称西北第一阁，采用外五内九的层级设置，喻示周秦文明在中华文明史上的九五之尊的崇高地位．小林想利用学过的知识测量石鼓阁的高度．一个阳光明媚的下午，他和数学应用实践小组的同学们带着测量工具来到石鼓阁前，但他们无法到达石鼓阁的底部B．如图，小林先在石鼓阁前方的点处测得石鼓阁顶端的仰角；然后，他从点处沿方向前进38米至石鼓阁的影子顶端处（即米），同一时刻，小组成员测得小林的影长为米．已知小林的身高为米，，点在同一水平线上，图中所有点都在同一平面内，求石鼓阁的高度．（参考数据：） 7.（2026·四川成都·一模）在“利用相似三角形测高”的数学活动课上，某学习小组利用标杆测量旗杆的高度．如图，小组选出一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆．观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的眼睛到脚底的距离，标杆的高度，观测者的脚底到标杆底部的距离，标杆底部到旗杆底部的距离．求旗杆的高度． 8.（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数） 命题点一 相似三角形的性质与判定 ►题型01 添加条件使三角形相似 【典例1】如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，点分别在边上，下列条件中，不能确定的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在等边中，点D，E、F分别是边，，上的点，添加下列一个条件，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 三角形相似的判定 【典例2】如图，在中，点D、E分别在边、上，且，连接、． (1)求证：； (2)若点E为的中点，，若，求的长度． 【变式2-1】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【变式2-2】如图，在中，点，分别在边上，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式2-3】如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． ►题型03 利用相似三角形的性质求线段长 【典例3】如图，是等腰三角形，，点，分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【变式3-2】如图，在平行四边形中，点为边上一点，且，连接、，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式3-3】如图，在中，是边上的两点，连接，且满足，平分． (1)求证：； (2)若，且，求的长． ►题型04 利用三角形相似的性质求点的坐标 【典例4】如图，在中，，两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，记所得的图象是．设点的对应点的横坐标是，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为，变换后点、的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若三角形面积是，则三角形的面积是 （用含有的式子表示） (3)若为线段上的任一点，则变换后点的对应点的坐标为 ． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点．直线经过B，C两点，点C是x轴正半轴上一点，且．在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1），若存在，点M的坐标为_______． 【变式4-3】如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． ►题型05 相似三角形的动点问题 【典例5】如图，在中，，，，为边的中点，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为t（秒） (1)当点与点重合时，的值为_____； (2)用含的代数式表示长； (3)将分成的两部分．其中的三角形与相似时，求t的值： (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连接，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【变式5-1】如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． (1)当为何值时，点，相距； (2)当为何值时，与相似． 【变式5-2】如图，在中，，，点从点出发沿方向向终点以的速度移动；同时，点从出发沿方向向终点以的速度移动．设运动时间为，当______时，与相似． 【变式5-3】如图，中，，，，动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点，移动的时间为秒． (1)当为何值时，与相似？ (2)当为何值时，的面积为个平方单位？ ►题型06 格点上找相似三角形 【典例6】如图是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； (2)在图②中，线段上找一点，使． 【变式6-1】如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中画一个格点三角形，使它与相似（不全等）． (2)在图②中的线段上画一个点，使． 【变式6-2】图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的网格中确定一点，连接，，使与全等； (2)在图②中的边上确定一点，在边上确定一点，连接，使，且相似比为3：4． 【变式6-3】在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． (2)在图2中的线段上作一点，使得． ►题型07 利用三角形相似的性质求最值 【典例7】（1）问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是10，当两直角边的长分别是_______、_______时，直角三角形的面积最大； （2）问题解决：如图①，在一个的内部作一个矩形，其中点A和点D分别在两直角边上，在斜边上，，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图①，过点D作，所以，又因为四边形是矩形，所以，于是，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题； （3）问题拓展：如图②，矩形中，，，点E是边上的动点（点E与A、D两点不重合），连接、，点F是边上的动点，过F作交于G，求面积最大值．    【变式7-1】如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与B，C重合），连接，过P点作交于E，使得． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，求的长； (3)当为多少时，的长最大？最大为多少？ 【变式7-2】如图，中，边，高，矩形的四个顶点分别为三边上的点，当___________时，矩形的面积最大，且最大面积为___________． 【变式7-3】如图，已知边长为10的正方形，点E是边上一动点（与点不重合），连结，点G是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． (1)求证：； (2)若，求的面积； (3)求当为何值时，的面积最大，最大为多少． ►题型08 利用三角形相似的性质与判定求线段比例 【典例8】如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：； (2)如图，延长交于点，连接交于点，若． 求的值； 求的值． 【变式8-1】如图，线段与交于点C，．的平分线与的平分线交于点F，交于点H，交于点G． (1)如图1，若，求的度数； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的值； (3)如图2，若，证明：． 【变式8-2】如图，在中，，，D是边上的点，E为的中点．若，．则： （1）的长为______； （2）的值为______． 【变式8-3】如图，切于点交于点，过点A作于点D，交于点B，连接，若，，则_______． 命题点二 相似三角形的实际应用 ►题型01 相似三角形的实际应用 【典例1】榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 【变式1-1】如图，工人师傅用卡钳测量某个零件的内孔直径（），测得的长度为，则零件的内孔直径的长度为（    ）． A．18 B．12 C．10 D．8 【变式1-2】小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 【变式1-3】在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 突破一 相似三角形与函数综合 【典例1】已知直线分别交x轴、y轴于点B、C，抛物线过B、C两点，交x轴负半轴于点A． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，横坐标为t的点D在第三象限抛物线上，过点D作y轴平行线，交过点C且与垂直的直线于点E，，求d与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，交x轴于点F，点G在上，，连接并延长交射线于点H，以为底边，在的上方作等腰直角，连接并延长交y轴于点K，点M在左侧的线段上，连接、，，连接交y轴于点N，连接、、，．连接交抛物线于点P，求点P的横坐标． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，且．      (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，交轴于点，点在线段上，连接、，，若面积为，求与的函数关系式（不写自变量取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过点作的平行线，交轴于点交轴于点，、在线段上，，，，求点的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数及反比例函数的表达式； (2)连接．点为反比例函数的图象上一点，连接．若，求点的横坐标； (3)过点作互相垂直的直线，分别交反比例函数的图象于点（点异于点），直线交轴于点．若，求点的坐标． 【变式1-4】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 突破二 相似三角形与圆综合 【典例2】如图，是圆O的弦，点A在圆O上，且，过A作分别交、圆O于D、E，延长至点F且， (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【变式2-1】【感知发现】 如图1，为圆O的直径，点C、D均在圆O上，，连接并延长交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接． （1）证明：； （2）与四边形的面积分别记为，，若，求的值． 【深入探究】 如图2，为圆O内的一条弦，点C、D均在圆O上且分别位于的两侧，，过点D作的平行线交圆O于点E，点E在点D的左侧，连接、，与交于点F． （1）若为圆O的直径，证明：线段总经过某一定点； （2）若，且的面积与四边形的面积相等，请判断是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-2】如图，是圆O的直径，D是圆上一点，C是圆外一点，连接与圆交于E，与交于H，连接，交于点F，连接，若满足． (1)①求证： ②求证： (2)已知，求的值 【变式2-3】如图，直线与圆相切于点，是圆的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与圆交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若圆的半径，，，求的长． 1．（2026·河南周口·一模）如图，在中，为上一点，连接，且交于点，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2026·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，且，如果，那么的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海闵行·一模）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）． 6．（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知，，点，，在同一条直线上，若，则的长为______． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为_____________． 8．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（23-24九年级下·广东广州·月考）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 1.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在中，，，，D为BC上一点，过点D作交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·江苏无锡·一模）如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作轴，交于点D，垂足为点C，若的面积为1.5，D为的中点，则k的值为（ ） A． B． C．3 D．4 3.（2026·山西长治·一模）如图，已知平行四边形，点E在上，且，与交于点F．若，则的长为________． 4.（2026·江苏南通·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，E是的中点，F是上一点，连接．若，则的长为_____． 5.（2026·江苏南京·一模）如图，点E，F在矩形内，．若，，，则的长为________________． 6.（2026·上海闵行·一模）如图，线段相交于点，点是线段的中点，连接，分别延长交于点．已知，且． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 7.（2024·甘肃陇南·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 8.（2026·四川成都·一模）在平行四边形中，，点分别为上的两点． (1)如图1，若，且，求证：； (2)如图2，，求证：； (3)如图3，连接交于点，，若，求的值（用含的代数式表示）． 9.（2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接． (1)求证：； (2)取边的中点，连接，求证：． 10.（2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 1.（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2.（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 5.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 6.（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 7.（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则_____． 8.（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 9.（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $