三角函数、三角恒等变换与解三角形课件-2026届高三数学二轮复习

三角函数、三角恒等变换与解三角形 高中数学 二轮复习 内容索引 第一部分 知识回归 对点训练 第二部分 知识回归 第 分 部 一 1．终边相同角的表示 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．几种特殊位置的角的集合 (1)终边在x轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝k·360°，k∈Z}． (2)终边在x轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}． (3)终边在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}． (4)终边在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}． (5)终边在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}． {β|β＝α＋k·360°， k∈Z} {α|α＝k·360°，k∈Z} {α|α＝180°＋k·360°，k∈Z} {α|α＝k·180°，k∈Z} {α|α＝90°＋k·180°，k∈Z} {α|α＝k·90°，k∈Z} |α|r 8．三角函数的诱导公式 －sin α －sin α sin α cos α cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α tan α －tan α －tan α R R x＝kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 2π 2π π 奇 偶 奇 [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) x＝kπ(k∈Z) (kπ，0)(k∈Z) cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C 对点训练 第 分 部 二 D 1 2 3 4 6 7 5 A 1 2 3 4 6 7 5 C 1 2 3 4 6 7 5 D 1 2 3 4 6 7 5 C 1 2 3 4 6 7 5 AD 1 2 3 4 6 7 5 1 2 3 4 6 7 5 BCD 1 2 3 4 6 7 5 1 2 3 4 6 7 5 谢谢观看！ 3．1弧度的角 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． 4．角度制与弧度制的换算 (1)1°＝ rad． (2)1 rad＝_______． 5．扇形的弧长和面积 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝． 相关公式：(1)弧长l＝___． (2)扇形的面积S＝lr＝____________． ° |α|r2 6．任意角的三角函数的定义 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)． ①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α； ②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α； ③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)． (2)设α是一个任意角，点P(x，y)为α终边上异于原点O的任意一点，|OP|＝，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 7．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1⇒sinα＝±． (2)商数关系：＝tan α． 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α — — 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 9．三种三角函数的图象和性质 三角函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 _________ R __________________ 值域 [－1，1](有界性) [－1，1](有界性) _________ 零点 __________________ x＝＋kπ，k∈Z __________________ 三角函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 最小正周期 _________ _________ _________ 奇偶性 ____函数 ____函数 ____函数 单调性 单调 递增 区间 (k∈Z) __________________ _________________ 单调 递减 区间 [2kπ，π＋ 2kπ](k∈Z) — (k∈Z) (k∈Z) 三角函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 对称性 对称轴 __________________ __________________ — 对称 中心 __________________ __________________ __________________ 　x＝＋kπ (k∈Z) (k∈Z) 10．函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 (1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得． (2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换 y＝sin x的图象y＝sin (x＋φ)的图象y＝sin (ωx＋φ)的图象y＝A sin (ωx＋φ)的图象． 11．三角恒等变换 (1)和角公式、差角公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； tan (α＋β)＝； tan (α－β)＝． (2)二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝． (3)降幂公式 sin2α＝，cos2α＝． (4)辅助角公式 a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝，ab≠0． 12．正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C． sin A＝，sin B＝，sin C＝． a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 14．三角形的面积公式 S△ABC＝bcsin A＝_____________＝_____________． 13．余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论：cos A＝， cos B＝，cos C＝． 变形：b2＋c2－a2＝2bc cos A，a2＋c2－b2＝2ac cos B，a2＋b2－c2＝2ab cos C． ac sin B ab sin C 1．已知角α的终边经过点P(－1，2)，则cos 2α的值为(　 　) A． B．－ C． D．－ 解析：因为角α的终边经过点P(－1，2)，所以cos α＝＝－，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－．故选D． 2．已知锐角α满足＝2，则tan 2α＝(　 　) A．－3 B．－3 C．3 D．3 解析：由条件得＝2，解得sin α＝．又α为锐角，所以cos α＝＝，tan2α＝＝＝－3．故选A． 3．已知α，β为锐角，sinα＝，sin (α－β)＝，则tan (2α－β)的值为(　 　) A． B． C．1 D．－ 解析：已知α为锐角，sin α＝，根据sin2α＋cos2α＝1，可算出cosα＝＝．因为α，β为锐角，所以－<α－β<．又sin (α－β)＝，所以cos (α－β)＝＝，sin (2α－β)＝sin αcos (α－β)＋cos αsin (α－β)＝×＋×＝，cos (2α－β)＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝×－×＝，所以tan (2α－β)＝＝1．故选C． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝2，则下列结论一定正确的是(　 　) A．B< B．B> C．c>2 D．c<3 解析：由正弦定理可得＝⇒sin B＝＝＝，由于B∈，故B＝或B＝，故A，B错误；若B＝，则C＝π－A－B＝π－－＝，此时c＝＝＝1＋<3，若B＝，则C＝π－A－B＝π－－＝，此时C为三角形中最小的内角，故c<a＝，故C错误，D正确．故选D． 5．在△ABC中，A＝45°，BC＝，AB＝AC，则△ABC的面积是(　 　) A． B． C．3 D．12 解析：由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，得AC2＋AC2－2×AC2·cos 45°＝10，解得AC＝2，则AB＝3．故△ABC的面积S△ABC＝AB·AC·sin A＝×2×3×＝3．故选C． 6．(多选)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　 　) A．g＝－2 B．g(x)的图象的对称中心为点，k∈Z C．g＝0 D．g(x)的单调递增区间为，k∈Z 解析：由题图得函数f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝1．φ＋＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，所以f(x)＝2sin ，g(x)＝2sin ．g＝－2，g＝1，故A正确，C错误；令x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)的图象的对称中心为点，k∈Z，故B错误；函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，故D正确．故选AD． 7．(多选)已知函数f(x)＝2sin ，则下列说法正确的是(　 　) A．函数f(x)在区间上单调 B．直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴 C．直线y＝1与函数f(x)的图象在区间上有2个公共点 D．函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象所对应的函数解析式为y＝2cos 解析：当x∈时，2x－∈，由于函数y＝sin t在上不单调，因此函数f(x)在区间上不单调，故A错误；f＝2sin ＝2sin ＝－2，故直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴，故B正确；令f(x)＝1，则sin ＝，当x∈时，2x－∈，故2x－＝－或2x－＝，解得x＝－或x＝，故C正确；将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得y＝f＝2sin ＝2cos 的图象，故D正确．故选BCD． $