3.3 离差平方和与方差（题型专练，4基础&3提升题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

3.3 离差平方和与方差 题型一、离差平方和的计算 1．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【详解】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 2．在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计量的计算，统计图表的读取，数据稳定性分析，准确提取数据是解题关键． 先从折线图中提取男、女生的投篮命中次数，再分别计算平均数、方差和中位数，然后对选项依次进行判断． 【详解】解：选项：男生投篮的平均数为，女生投篮的平均数为，则男生和女生的投篮水平一样，错误； 选项：男生投篮的离差平方和为，女生投篮的离差平方和为，则男生和女生投篮的离差平方和不一样，错误； 选项：男生的投篮数据为，，，，，中位数为，女生的投篮数据为，，，，，中位数为，男生和女生的中位数均为，错误； 选项：男生投篮的方差为，女生投篮的方差为，则男生和女生投篮成绩平均数相等，男生投篮的方差比女生高，故女生投篮更稳定，正确． 故选：． 3．在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 【答案】与 【分析】求出组内离差平方和最小值． 【详解】解：数据排序为105，110，120，125，135，140．分组列表如下： 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为与． 4．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70 第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 【详解】解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 题型二、离差平方和的应用 5．下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数的意义及统计分组的基本概念，需结合各概念逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、平均数反映一组数据的整体平均水平，不能代表个体情况仅通过班级平均身高无法比较小明和小亮的具体身高，原说法错误，不符合题意； B、计算两家网站所有用户的日人均上网时间，需用总上网时间除以总用户数，不能直接对两个日人均值取平均（两家用户数不一定相等），原说法错误，不符合题意； C、中位数是将数据排序后位于中间位置的数，篮球队身高中位数为，说明至少一半队员身高，而，故小军的身高在队里中等偏上，原说法正确，符合题意； D、统计学中常用分组方法是使“组内离差平方和达到最小”， 原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 7．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【答案】(1)，，； (2)不同意，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可； （2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可． 【详解】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 8．某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【答案】(1)167  168 (2)琪琪的分组方法更好，计算过程见解析 【分析】本题考查求中位数，众数和离差平方和，熟练掌握相关计算方法，是解题的关键． （1）根据中位数，众数的计算方法，进行求解即可； （2）求出两组的离差平方和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：中位数， 出现的次数最多，有次，众数是， 故答案为：，． （2）解：嘉嘉的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为， ． 组内离差平方和为． 琪琪的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为 ，． 组内离差平方和为． ， 琪琪的分组方法更好． 题型三、方差的计算 9．一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据中位数和方差的定义解题． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：、、、、、， ∴中位数是； 平均数是， ∴方差是． 10．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 【答案】C 【分析】此题考查了平均数和方差的求法． 根据平均数和方差的变化规律求解． 若原数据平均数为、方差为，则数据的平均数为，方差为． 【详解】解：∵原数据的平均数， 方差 ∴新数据的平均数 新数据的方差 ∴新数据的平均数和方差分别为9和9， 故选：C． 11．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 【答案】D 【分析】本题考查求一组数据的方差，先计算这组数据的平均数，再将平均数代入方差公式计算即可． 【详解】解：∵这组数据为9、4、7、4、6， ∴平均数， 将代入方差公式得： ． 故选D． 12．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1)< (2)1 (3)变小 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）结合折线统计图，根据方差的意义即可得出结论； （2）根据方差的公式计算即可； （3）先计算乙运动员10次射击训练成绩的方差，再计算乙再射击1次，命中7环后的方差，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定， 又∵设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，， ∴， 故答案为：<； （2）解：， ∴甲运动员成绩的方差为1； （3）解：乙运动员10次射击训练成绩的方差， 如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差为， ∴乙射击成绩的方差将变小． 故答案为：变小． 题型四、用方差决策 13．在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据数据的离散程度求解即可． 【详解】解：根据题意，得甲的离散程度比乙的小，故甲梨园香梨单果重量较为均匀． 14．中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用表示，满分50，共分为四组：，，下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49． 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 中位数 48.5 方差 18.24 6.14 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中，___________，___________，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校九年级共有1200名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 【答案】(1)49，49，见解析 (2)甲班成绩较好，理由见解析 (3)390人 【分析】（1）根据题意，结合条形统计图可得甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49，即可计算中位数；观察乙班数据，找出出现次数最多的数据即为众数；根据甲班得50分的学生人数，补全统计图即可得； （2）根据表格得出甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班，即可得出哪个班成绩较好； （3）两个班级中，甲班满分的有：（人），乙班满分4人，满分所占抽查学生成绩的比例为，总人数乘以满分人数即可估计出结果． 【详解】（1）解：由题意及条形统计图可得：甲班得50分的学生人数为： 人， 甲班学生成绩处在中间位置的两个数是分数段的最后两个数：49，49， 故中位数：， ∵乙班20名学生的体测成绩49出现了6次，出现次数最多， ∴． 故答案为：49，49； 补全条形统计图如图所示： （2）解：甲班成绩较好，理由： 甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班； （3）解：两个班级中，甲班满分的有：（人），乙班满分4人． ∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：（人）． 答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是390人． 15．对甲、乙两种不同型号的越野吉普车各10辆进行刹车系统性能测试，两种越野吉普车的刹车制动距离（单位：m）如下： 甲 69 81 78 77 72 78 79 74 77 75 乙 78 76 76 80 77 72 82 80 72 67 (1)甲的方差是__________，乙的方差是___________（用计算器计算） (2)哪种型号的越野吉普车刹车系统性能比较稳定？为什么？ 【答案】(1)11.4 ，18.6 (2)甲种型号，理由见解析 【分析】本题考查方差的定义：一般地设个数据的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 【详解】（1）解：甲的平均数是：， 甲的方差是：， 乙的平均数是：， 乙的方差是：． 故答案为：11.4 ，18.6； （2）解：甲种型号，理由如下： 因为两组数据的平均数相等，甲组数据的方差为11.4，乙组数据的方差为，， 所以甲种型号的越野吉普车刹车系统性能比较稳定． 16．省射击队为从甲、乙两人中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，嘉嘉根据甲的六次测试成绩（单位：环）正确求出了甲成绩的方差，下面是他的计算过程：；琪琪根据乙同学的六次测试成绩绘制了下面的统计表：（单位：环） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 乙 7 9 8 根据上述信息，完成下列问题： (1)甲六次测试的平均成绩为___________环； (2)请计算乙六次测试的平均成绩及方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． (4)如果甲再测试1次，成绩为9环，与前六次相比，甲这七次测试成绩的方差___________（填“变大”“变小”或“不变”）． 【答案】(1)9 (2)平均成绩为9环，方差为 (3)推荐甲参加全国比赛更合适，见解析 (4)变小 【分析】本题考查平均数和方差的计算，以及方差的意义，根据方差公式计算乙的平均和方差，比较甲和乙的方差大小判断稳定性，加入新数据后重新计算方差变化． （1）直接根据嘉嘉的方差计算过程可知，甲的平均成绩为9环． （2）乙的平均成绩为（环）；方差为各成绩与平均数差的平方和除以6； （3）甲乙平均成绩相同，但甲方差小于乙方差，方差小代表成绩更稳定，因此推荐甲参赛更合适． （4）新增成绩9环与原有平均数相同，离差平方和不变但总次数增加，根据方差公式，新方差小于原方差，故方差变小． 【详解】（1）解：由方差的公式可得，， 从嘉嘉的计算过程可知，甲的平均成绩为9． 故答案为：9． （2）乙六次测试的平均成绩为， 方差为． 故答案为：平均成绩为9环，方差为． （3）甲的平均成绩为9环，方差为；乙的平均成绩为9环，方差为， ∵ 平均成绩相同， ∴ 比较方差，方差越小成绩越稳定， ∵， ∴ 甲的方差较小，成绩更稳定，推荐甲参加比赛更合适． （4）甲前六次成绩总和为，平均为9， 加入第七次成绩9，新总和为，新平均数为9； 前六次成绩的离差平方和为4，加入新成绩后，离差平方和增加，新离差平方和为4，新方差为． ∵， ∴方差变小． 故答案为：变小． 题型一、已知方差求未知数据 17．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查方差、平均数计算公式等基础知识，考查运算求解能力，利用方差的计算公式直接求解． 【详解】解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为， 将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变， 得到新的一组数据的方差为， ∴前后两组数据的平均数不变，设为， 设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s， 则． 故选：B． 18．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 19．八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义． 根据方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵，甲更稳定， ∴， 只有D符合， 故选：D． 20．甲、乙、丙、丁四位男同学在中考体育前进行10次立定跳远测试，平均成绩都是2.4米，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，即可判断． 【详解】解：∵四人的平均成绩相同，方差分别为，，，， ∴. ∴丁成绩最稳定． 题型二、各种统计量的综合应用 21．已知A组七人的成绩分别为90，60，75,75，75，90，60，B组七人的成绩分别为70，80，75，75，75，80，70．用下列哪个统计量来分析两组的成绩更恰当（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题需分别计算两组的四个统计量，判断哪个统计量可以区分两组成绩，方差反映数据波动程度，若前三个统计量均相同，可选用方差区别两组成绩，据此即可解答． 【详解】解：A．A组的平均数为，B组的平均数为， ∴二者平均数相等，无法区别两组成绩，故A选项不符合题意； B．将两组数据排序：A组：60，60，75，75，75，90，90；B组：70，70，75，75，75，80，80； ∵两组均有7个数据，中位数为排序后第4个数据， ∴A组中位数为75，B组中位数也为75，即二者中位数相等，无法区别两组成绩，故B选项不符合题意； C．A组中75出现3次，次数最多，B组中75也出现3次，次数最多， ∴两组众数都是75，二者众数相等，无法区别两组成绩，故C选项不符合题意； D．A组数据波动更大，B组数据波动更小，两组方差不相等，因此可以用方差分析区别两组成绩，故D选项符合题意． 22．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请将下表补充完整∶ 平均数(环) 方差(环) 中位数(环) 甲 ____ 乙 ____ (2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析∶ ①从平均数和方差相结合的角度上看，________的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，________的成绩好些； ③若其他队选手最好的成绩在9环左右，现要选一人参赛，选________参加比较合适． 【答案】(1)见解析 (2)①甲；②乙；③选乙；理由见解析 【分析】（1）分别根据方差公式、中位数的定义以及算术平均数的计算方法进行计算即可得解； （2）①在平均数相等的情况下，方差小的成绩稳定，比较方差可得结论； ②在平均数相等的情况下，中位数大的成绩好，比较中位数可得结论； ③根据数据特征、折线图的趋势和命中9环以上的次数来进行综合判断，继而选出参赛队员． 【详解】（1）解：甲的方差 乙的中位数：， 平均数 方差 中位数 甲 乙 （2）解：①从平均数和方差相结合的角度上看，甲的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，乙的成绩好些； ③选乙； 理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，应选乙． 23．6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 整理数据： 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 4 a 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 c 90 d m 根据以上信息回答下列问题： (1)写出表格中___________，___________，___________的值； (2)计算表格中c和m的值， (3)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请从两个方面说明理由； 【答案】(1)2，90，90 (2) (3)八年级的成绩比较好，理由见详解 【分析】本题主要考查调查与统计，掌握平均数、众数、中位数、方差的计算，由方差作决策是关键． （1）根据样本容量得到a的值，根据中位数、众数的计算即可求解； （2）根据平均数，方差的计算即可求解； （3）根据平均数，方差作决策即可． 【详解】（1）解：从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩， ∴， 七年级抽取的10名同学成绩从小到大排序为：80，80，85，85，90，90，90，95，95，100， ∴中位数， 八年级抽取的10名同学成绩：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90， ∴众数； （2）解：八年级抽取的10名同学成绩的平均数， 方差 ； ∴； （3）解：八年级的成绩比较好， 理由：八年级的平均数比七年级的高，八年级的方差比七年级的方差小，更平稳， ∴八年级的成绩比较好． 24．某校从九年级男生中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为分）．乙组成绩统计图人数/人 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)这个学生成绩的中位数是_______；甲组成绩的众数_______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)经计算甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】(1)分； (2)分 (3)乙组的成绩比较整齐 【分析】（1）将个数据从小到大排列，第个和个数据的平均数即为中位数；根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲、乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【详解】（1）解：将甲、乙两组成绩的个数据从小到大排列，其中，分的有人，分的有人，分的有人，分的有人， 第个和个数据都是分， 这个学生成绩的中位数是（分）； 根据统计图和统计表数据可知，甲组成绩中得分为分的人数最多，乙组成绩中得分为分的人数最多， 甲组成绩的众数为分，乙组成绩的众数为分， 甲组成绩的众数乙组成绩的众数； （2）解：乙组的平均成绩为（分）； （3）解：甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，， 乙组的成绩比较整齐． 题型三、用样本统计量估计总体统计量 25．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 【答案】3750 【分析】先计算抽取样本的平均月用水量，再乘以社区总户数，即可得到该社区每月总用水量的估计值． 【详解】解：抽取的8户居民的总月用水量为 （立方米）， 样本平均每户月用水量为（立方米）， 估计该社区300户居民每月总用水量为（立方米）． 26．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 【答案】(1)15 (2) (3)估计这次捐款有元． 【分析】本题考查了众数，平均数，样本估计总体； （1）根据众数和定义求解； （2）根据平均数的定义结合统计图，进行计算即可求解． （3）利用样本估计总体，用样本平均数乘以即可． 【详解】（1）解：这50名同学捐款的众数为15元， 故答案为：． （2）解：这50名学生平均每人捐款 (元)， （3）解： 答：估计这次捐款有元． 27．某县为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户月用水量不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了100户家庭，调查他们的月用水量，并绘制了如下不完整的统计图表，请你根据统计图表解答下列问题： 用水量/吨 频数 百分数    10 36 24 8 (1)表中_____， ______，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数； (3)若调查的100户家庭每月的总用水量为2000吨，估计该县每户家庭的月平均用水量． 【答案】(1)22，，见解析 (2) (3)吨 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据表格可知的用户占，用抽取的100户家庭乘以即可求出的值；根据表格可知的用户数，用的用户数除以100即可求出的值，并补全频数分布直方图； （2）根据（1）中求得的用户数与条形统计图可以得到的用户数，进而求得扇形图中部分的圆心角的度数； （3）用总用水量除以100户，即可估计该县每户家庭的月平均用水量． 【详解】（1）解：根据表格可知的用户占， ； 根据表格可知的用户有24户， ； 故答案为22，24%； 补全频数分布直方图如下： （2）解：扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数为； （3）解：估计该县每户家庭的月平均用水量为（吨）． 28．五一长假期间，兴趣小组随机采访了10位到扬州的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数，统计如下： 使用次数 0 2 3 4 6 人数 1 1 4 3 1 (1)这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的中位数是______次，众数是______次，平均数是______次； (2)若小明同学把统计表中的数据“6”错看成了“5”，则用“街兔”共享电动车的次数的中位数、众数、和平均数这三个统计量中受影响的是______；（填“中位数”、“众数”或“平均数”） (3)若五一长假期间，每天约有1200位游客到扬州，试估计这些游客五一长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数． 【答案】(1)3，3，3.2 (2)平均数 (3) 【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，样本估计总体，牢记定义是关键． （1）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解可得； （2）由中位数和众数不受极端值影响，平均数受影响可得答案； （3）用总人数乘以样本中游客的平均使用次数即可得． 【详解】（1）解：这10位游客一天内使用共享电动车次数的中位数是（次）， 使用次数出现最多的是3次，故众数为3次， 平均数为（次）， 故答案为：3，3，3.2； （2）解：把数据“6”看成了“5”， ∵中位数和众数不受极端值影响， ∴中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，受影响的平均数， 故答案为：平均数． （3）解：估计这些游客五一长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数次． 29．高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【分析】根据平均数，方差的定义计算即可判断结果． 【详解】解：∵小王的成绩和其他52人的平均分相同，都是121分， ∴该班53人的平均分为分，平均分不变； 该班53人的方差为 ， ∴方差变小． 30．学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和离差平方和，解题的关键是掌握以上两个公式． 先分别计算原6名队员与现5名队员身高的平均数，再计算两者的离差平方和，通过比较结果得出结论，用到平均数和离差平方和的定义和公式． 【详解】解：∵原6名队员身高总和为， ∴原平均数为； ∵去掉的队员后，5名队员身高总和为， ∴现平均数为； ∴平均数不变； ∵原离差平方和为 ； 现离差平方和为 ； ∴离差平方和不变； 综上，平均数不变，离差平方和不变， 故选：B． 31．已知一组不全等的数据：，平均数是2026，方差是2027．则新数据：的平均数是_______，方差_____2027（填“、或”）． 【答案】 2026 【分析】本题主要考查了平均数与方差的计算，根据平均数和方差的定义，先表示出原数据的总和与方差的分子部分，再代入新数据的平均数和方差公式计算，比较大小即可． 【详解】解：∵的平均数是2026，方差是2027， ∴， ， 由此可得 ， 则新数据的平均数为： ， 新数据的方差为： ， ∵， ∴，即． 故答案为：2026；． 32．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 33．已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是_____________． 【答案】 15 【分析】利用方差乘以数据个数即可求出离差平方和．本题主要考查离差平方和的计算，熟练掌握方差是离差平方和的算术平均数是解题的关键． 【详解】解：∵数据个数，方差， 则离差平方和为． 故答案为： 15． 34．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 【答案】(1)平均数为，众数为 (2)舞台呈现效果更好的是甲组 (3)， 【分析】本题考查了平均数、众数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键． （1）根据平均数和众数的意义求解； （2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可； （3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择． 【详解】（1）解：平均数为： ， 出现次数最多的数是，出现了3次， 众数为； （2）甲组身高的平均数为， 甲组身高的方差为 乙组身高的平均数为， 乙组身高的方差为， ， 舞台呈现效果更好的是甲组； （3）三名学生参赛，他们的身高分别为，，， 平均数为， 要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小， 根据数据的差别较小，数据才稳定， 可供选择的有：，， 且选择，时，平均数会增大， 但选择，或，时，导致组成的五名学生的极差增大，从而会使方差变大，当然平均数是增大的，故不符合题意． 故答案为：，． 35．随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分 ：5  6  6  8  8  8  8  9  9  10 ：6  6  6  6  7  8  9  9  10  10 b．数据分析能力得分（如下图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 8 8 7.0 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______（填“＞”或“＜”）． (2)请求出产品语言交互能力得分的平均数； (3)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 【答案】(1)6，7.5， (2)7.7 (3)小罗应该选择，理由见解析 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可求出、的值；根据方差越小，波动越小，方差越大，波动越大，结合折线统计图即可得到方差的大小关系； （2）先算出产品语言交互能力得分的和，再除以10计算平均数； （3）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择． 【详解】（1）解：的语言交互能力得分中，6分出现的次数最多， 的语言交互能力得分的众数为6分，即； 由数据分析能力得分的折线统计图得， 的数据分析能力得分按从低到高的顺序排列为：3，4，4，6，7，8，9，9，10，10， 的数据分析能力得分的中位数为分，即； 由数据分析能力得分的折线统计图知，的得分的波动程度大于的得分的波动程度，即； 故答案为：6，7.5，； （2）解：产品语言交互能力得分的平均数为：； （3）解：小罗应该选择， 理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是的中位数和众数均高于；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于． 36．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，使用了两种型号的智能机器人分拣快递．该公司员工小李从某省的一个快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量/万件 16 17 20 22 23 机器人台数/台 4 3 【数据分析与运用】 两组样本数据（单位：万件）的中位数、众数、平均数整理如表： 型号 中位数 众数 平均数 14和16 15 20 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)①请补全条形统计图； ②填空：表中________，________，________． (2)请求出表中的值． (3)若该省投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有60台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递数量． 【答案】(1)①补全条形统计图见解析；②1；15；20 (2)20.2 (3)2412万件 【分析】（1）先求出型号分拣15万件的机器数即可补全条形统计图；再由统计图表信息即可得到； （2）由型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）统计表，结合加权平均数公式求解即可得到答案； （3）由已知两种型号的智能机器人分拣快递数量的平均数即可估算该省每天用这两种智能机器人分拣的快递数量． 【详解】（1）解：①由题意，总共抽取了10台机器，则分拣15万件的机器数为， 补全条形统计图如下图所示： ②由题意，总共抽取了10台机器，可知； 由条形统计图可知；由统计表可知； 故答案为：1；15；20； （2）解：， 表中的值为20.2； （3）解：（万件）， 该省每天用这两种智能机器人分拣的快递约2412万件． 【点睛】本题考查统计综合，涉及补全条形统计图、求中位数、众数、加权平均数、由样本估计总体等知识，熟记相关统计量的意义及求法是解决问题的关键． 37．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 【答案】(1)①；；② (2)乙； 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据频数分布表即可解决问题； ②根据平均数的定义即可判断； （2）根据题意得，根据平均数相同，方差越小，排名越靠前即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意， 共有名家长评委给每位选手打分， 家长评委打分的中位数为第个和第个数据的平均数， ∴中位数 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为               平均数为： ∴， 故答案为：； （2）解：， ， 甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得：， ∵为整数，则或 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙；． 38．某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； (3)该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 【答案】(1)<，> (2)①八；②4 (3)78 【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表，求出各自中位数、方差，再比较大小； （2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作出判断； ②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找出他所在的组别； （3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数。 【详解】（1）解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表如下： 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 七年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为 八年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为, 记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，∴, 七年级10名学生的知识测评得分分别为52，62，65，65，75，79，81，82，82，92， 七年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分）， 七年级10名学生的知识测评得分的方差为 八年级10名学生的知识测评得分分别为61，63，69，73，73，78，78，81，82，87， 八年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分)， 八年级10名学生的知识测评得分的方差为 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为， ， 故答案为：<， >; （2）解：七年级10名学生的知识测评综合得分分别为112，122，125，135，165，139，171，142，172，172， 组别 学生数 1 2 2 1 0 1 3 八年级10名学生的知识测评综合得分分别为121，133，129，153，163，148，158，171，162，157， 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合， ∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其得分是87分，综合得分是157分，位于第4组； 故答案为：①八，②4； （3）解：综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有100名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， ∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 （人）。 故答案为：78. 【点睛】将统计图转化为统计表，计算中位数，判断频数分布直方图是哪个年级的. 试卷第2页，共39页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 离差平方和与方差 题型一、离差平方和的计算 1．数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（    ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 2．在篮球选修课上，男、女各有名编号分别为，，，，的学生进行投篮练习，每人投次，命中次数如图所示，试根据折线统计图所提供的信息，通过计算比较本次投篮练习中男生、女生的投篮水平，则下列说法正确的是（   ） A．男生投篮水平比女生投篮水平高 B．男生、女生投篮命中次数的离差平方和相等 C．男生、女生投篮命中次数的中位数均为 D．男生、女生投篮命中次数平均数相同，但女生比男生稳定 3．在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 4．苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 题型二、离差平方和的应用 5．下列说法中正确的是（    ） A．小明所在班级学生的平均身高是，小亮所在班级学生的平均身高是，小颖说“小亮一定比小明矮” B．已知A，B两家网站用户的日人均上网时间分别为和，这两家网站所有用户的日人均上网时间为 C．小军所在的篮球队队员身高的中位数是，他说“我身高，我的身高在篮球队里是中等偏上的” D．在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最大” 6．体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 7．在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 8．某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 题型三、方差的计算 9．一组数据为5、3、7、2、4、3，则这组数据的中位数与方差分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．已知一组数据的平均数为2，方差是1，则另一组数据，的平均数和方差分别为（   ） A．3和9 B．6和9 C．9和9 D．9和12 11．小明用计算一组数据的方差，那么的值为（  ） A．4.2 B．4 C．3.8 D．3.6 12．甲、乙两名运动员在相同条件下进行了10次射击训练，成绩如下表： 靶次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲的成绩/环 6 7 6 8 7 6 8 6 9 7 乙的成绩/环 5 5 7 7 5 8 6 9 8 10 将成绩绘制成如下折线统计图： 根据上述图表可求甲、乙两名运动员的平均成绩均为7环，在此基础上解答下列问题： (1)若设甲、乙两运动员成绩的方差分别为，，则与的大小关系是___________（填“>”“<”或“=”）； (2)求甲运动员成绩的方差； (3)如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击成绩的方差将___________（填“变大”“变小”或“不变”） 题型四、用方差决策 13．在甲、乙两个梨园随机各采摘5个香梨，称重绘图如下，则甲、乙两个梨园香梨单果重量较为均匀的是________（填“甲”或“乙”） 14．中考体考临近，为掌握本校九年级学生的体育训练情况，小开从甲、乙两班各随机抽取20名学生，对其本月体测成绩进行了整理、描述和分析（成绩用表示，满分50，共分为四组：，，下面给出了部分信息： 甲班20名学生的体测成绩在分数段的数据为：47，48，48，49，49，49，49，49． 乙班20名学生的体测成绩为：40，44，45，45，46，47，47，48，48，48，49，49，49，49，49，49，50，50，50，50． 甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表 甲班 乙班 平均数 47.6 47.6 众数 50 中位数 48.5 方差 18.24 6.14 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述表中，___________，___________，请补全条形统计图； (2)根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)该校九年级共有1200名学生参加本月体测，根据以上信息，试估计此次体测成绩获得满分的学生人数是多少？ 15．对甲、乙两种不同型号的越野吉普车各10辆进行刹车系统性能测试，两种越野吉普车的刹车制动距离（单位：m）如下： 甲 69 81 78 77 72 78 79 74 77 75 乙 78 76 76 80 77 72 82 80 72 67 (1)甲的方差是__________，乙的方差是___________（用计算器计算） (2)哪种型号的越野吉普车刹车系统性能比较稳定？为什么？ 16．省射击队为从甲、乙两人中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，嘉嘉根据甲的六次测试成绩（单位：环）正确求出了甲成绩的方差，下面是他的计算过程：；琪琪根据乙同学的六次测试成绩绘制了下面的统计表：（单位：环） 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 乙 7 9 8 根据上述信息，完成下列问题： (1)甲六次测试的平均成绩为___________环； (2)请计算乙六次测试的平均成绩及方差； (3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． (4)如果甲再测试1次，成绩为9环，与前六次相比，甲这七次测试成绩的方差___________（填“变大”“变小”或“不变”）． 题型一、已知方差求未知数据 17．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 18．若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 19．八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 20．甲、乙、丙、丁四位男同学在中考体育前进行10次立定跳远测试，平均成绩都是2.4米，方差分别是，，，，则成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型二、各种统计量的综合应用 21．已知A组七人的成绩分别为90，60，75,75，75，90，60，B组七人的成绩分别为70，80，75，75，75，80，70．用下列哪个统计量来分析两组的成绩更恰当（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 22．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示． (1)请将下表补充完整∶ 平均数(环) 方差(环) 中位数(环) 甲 ____ 乙 ____ (2)请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析∶ ①从平均数和方差相结合的角度上看，________的成绩好些； ②从平均数和中位数相结合的角度上看，________的成绩好些； ③若其他队选手最好的成绩在9环左右，现要选一人参赛，选________参加比较合适． 平均数 方差 中位数 甲 乙 23．6月26日是“国际禁毒日”，某中学组织七、八年级全体学生开展“禁毒知识”网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90． 整理数据： 80 85 90 95 100 七年级 2 2 3 2 1 八年级 1 2 4 a 1 分析数据： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 89 b 90 39 八年级 c 90 d m 根据以上信息回答下列问题： (1)写出表格中___________，___________，___________的值； (2)计算表格中c和m的值， (3)通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？请从两个方面说明理由； 24．某校从九年级男生中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为分）．乙组成绩统计图人数/人 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 (1)这个学生成绩的中位数是_______；甲组成绩的众数_______乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； (2)求乙组的平均成绩； (3)经计算甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 题型三、用样本统计量估计总体统计量 25．为宣传节约用水，某社区随机统计了8户居民的月用水量：2户用了9立方米，3户用了12立方米，2户用了15立方米，1户用了16立方米．若该社区有300户居民，估计该社区每月共需用水_________ 立方米． 26．在一次捐款活动中，学校团支书想了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数据进行了统计，并绘制成如图所示的统计图． (1)这50名学生捐款的众数为________元； (2)求这50名学生平均每人捐款多少元； (3)如果捐款的学生有300人，估计这次的捐款总数． 27．某县为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户月用水量不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了100户家庭，调查他们的月用水量，并绘制了如下不完整的统计图表，请你根据统计图表解答下列问题： 用水量/吨 频数 百分数    10 36 24 8 (1)表中_____， ______，并补全频数分布直方图； (2)若将调查结果绘制成扇形统计图，求扇形统计图中在“”范围内所在扇形的圆心角的度数； (3)若调查的100户家庭每月的总用水量为2000吨，估计该县每户家庭的月平均用水量． 28．五一长假期间，兴趣小组随机采访了10位到扬州的游客使用“街兔”共享电动车的次数，得到了这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数，统计如下： 使用次数 0 2 3 4 6 人数 1 1 4 3 1 (1)这10位游客1天内使用“街兔”共享电动车的次数的中位数是______次，众数是______次，平均数是______次； (2)若小明同学把统计表中的数据“6”错看成了“5”，则用“街兔”共享电动车的次数的中位数、众数、和平均数这三个统计量中受影响的是______；（填“中位数”、“众数”或“平均数”） (3)若五一长假期间，每天约有1200位游客到扬州，试估计这些游客五一长假期间使用“街兔”共享电动车的总次数． 29．高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析．由于小王没有参加本次集体测试，因此计算其他52人的平均分为121分，方差．后来小王进行了补考，成绩为121分，关于该班成绩分析，下列说法正确的是（   ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 30．学校举行秋季运动会，仪仗方队一组6名队员的身高（单位：）分别是：174，178，176，179，174，175，当一名身高为的队员下场休息，现在5名队员身高的平均数和离差平方和与原6名队员相比（    ） A．平均数变大，离差平方和变小 B．平均数不变，离差平方和不变 C．平均数不变，离差平方和变大 D．平均数变小，离差平方和变大 31．已知一组不全等的数据：，平均数是2026，方差是2027．则新数据：的平均数是_______，方差_____2027（填“、或”）． 32．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 33．已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是_____________． 34．某校舞蹈队共名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据如下： ，，，，，，，，，，，，，，，． (1)求这名学生身高的平均数和众数； (2)对于不同组的学生，若一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是哪组？ 甲组学生的身高/cm 162 165 165 166 166 乙组学生的身高/cm 161 162 164 165 175 (3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为，，，他们的身高的方差为，在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差变小，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________． 35．随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从，两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分 ：5  6  6  8  8  8  8  9  9  10 ：6  6  6  6  7  8  9  9  10  10 b．数据分析能力得分（如下图） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 8 8 7.0 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______（填“＞”或“＜”）． (2)请求出产品语言交互能力得分的平均数； (3)通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由． 36．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，使用了两种型号的智能机器人分拣快递．该公司员工小李从某省的一个快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量/万件 16 17 20 22 23 机器人台数/台 4 3 【数据分析与运用】 两组样本数据（单位：万件）的中位数、众数、平均数整理如表： 型号 中位数 众数 平均数 14和16 15 20 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)①请补全条形统计图； ②填空：表中________，________，________． (2)请求出表中的值． (3)若该省投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有60台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递数量． 37．某学校举办“铭记一二·九，传承爱国情”大合唱团体赛和个人表演赛． (1)大合唱团体赛由10名教师评委和24名家长评委给每个班级打分（百分制）．对评委给某个班级的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．教师评委打分如下：                    ．家长评委打分的频数分布统计表如下： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 频数 2 3 9 5 第4组的数据是： 92，92，93，93，94，94，94，95，95． ．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 家长评委 根据以上信息，回答下列问题： ①表中的值为_____________，的值为_____________． ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______92（填“”“”或“”）； (2)个人表演赛由5名专业评委给每位参赛同学打分（百分制）．对每位参赛同学，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的同学排名靠前，若平均数相同，则方差较小的同学排名靠前，5名专业评委给甲、乙、丙三位同学的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若甲同学在甲、乙、丙三位同学中的排名居中，则这三位同学中排名最靠前的是________，表中（为整数）的值为_________． 38．某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； (3)该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 组别 学生数 1 2 2 1 0 1 3 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 试卷第2页，共39页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $