第01讲 平行四边形与多边形（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第01讲 平行四边形与多边形 第五章 四边形 2大考点 5大重难突破 2大中考命题点 10题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 多边形的内角和与外角和 掌握多边形内角和公式 (n−2)×180°， 外角和恒为360°   1. 直接计算：已知边数求内角和，或已知内角和求边数（2025・福建卷、2025・江西卷） 2. 角度计算：结合内角与外角的关系，求特定角的度数（2025・广西南宁卷） 正多边形的性质 了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，会计算相关长度与角度 1. 中心角与边心距：计算正多边形的中心角、边心距（2025・陕西西安卷） 2. 与圆结合：正多边形内接于圆，求半径、边长等（2025・辽宁沈阳卷） 平行四边形的性质与判定 掌握平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）；会用判定定理（边、角、对角线）判定平行四边形 1. 直接考查性质：如利用对边相等求边长，利用对角线互相平分求线段长度（2025・四川成都卷、2025・江苏苏州卷） 2. 判定定理的应用：结合三角形全等、线段平行等条件，证明四边形为平行四边形（2025・山东青岛卷、2025・湖北武汉卷） 3. 多与坐标系结合：通过坐标计算边长、斜率，判断平行四边形 计算平行四边形的周长与面积 会计算平行四边形的面积（底 × 高）与周长 1. 直接计算：结合高或对角线求面积（2025・浙江杭州卷） 2. 动态变化：动点运动时，面积或周长的最值、取值范围（2025・广东广州卷） 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：平行四边形（含多边形）是中考几何的基础核心内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题、解答题为主，难度中等。整体命题会注重知识的综合应用，例如：在坐标系中探究平行四边形的存在性，或结合函数图像考查动态平行四边形的性质，着重考查学生的知识迁移与数形结合能力。 备考建议： 1.夯实基础概念：重点掌握平行四边形的性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）与判定定理（边、角、对角线条件），牢记多边形内角和 (n−2)×180°与外角和 360°公式，确保基础题零失分。 2.强化性质与判定的综合应用：多做平行四边形性质与判定的综合证明题，结合三角形全等、线段平行等条件，提升逻辑推理能力，熟练掌握 “性质→结论”“条件→判定” 的推导过程。 3.提升动态与数形结合能力：针对平行四边形的动点问题、坐标系中的存在性问题进行专项训练，学会用坐标计算边长、斜率来判断平行四边形，提升动态分析与数形结合的能力。 4.注重多边形的基础计算：熟练运用多边形内角和、外角和公式进行边数与角度的计算，关注正多边形的中心角、边心距等概念，为后续与圆的结合题打好基础。 5.加强知识迁移与综合训练：多练习平行四边形与三角形、函数、圆等知识的综合题，提升知识迁移能力，应对中考中的中等难度综合题。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 多边形 1.相关概念 多边形 内角和定理 n边形的内角和为 外角和定理 多边形的外角和等于360° 多边形对角线条数 从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成了(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线. 正多边形 定义 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 特征 1）各个角都相等；2）各条边都相等，两者缺一不可. 性质 1）正n边形有n条对称轴． 2）正多边形的边数为偶数时，它既是轴对称图形，又是中心对称图形；正多边形的边数为奇数时，它是轴对称图形，不是中心对称图形.   正五边形 正六边形 正八边形 图形       常用结论 角度 内角和为540°，每个内角为108°，每个外角为72° 内角和为720°，每个内角为128°，每个外角为60° 内角和为1080°，每个内角为135°，每个外角为45°，∠BCH=∠CBE=45° 线段关系 AB∥CE，AD=BD AB∥CF∥DE，AE⊥AB， BE=CF=2AB，AE=AB AB∥CH∥DG∥EF， AF⊥AB，AF=BE， AF∥BE，BC=BO 知识 • 核心梳理 考点一 多边形 2. 几种常考的正多边形及常见结论 真题 • 实战精炼 本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出∠BAC,∠DAE的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 解析 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形中，的大小为（   ）   A． B． C． D． 解：由题意， ， ， ∴ ， ∴； B 考点一 多边形 2．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 真题 • 实战精炼 B 解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴，∴， ∵，∴， ∴ 考点一 多边形 3．（2025·江苏无锡·中考真题）正七边形的内角和为 度． 900 解：正七边形的内角和为， 3 真题 • 实战精炼 考点一 多边形 4．（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了 步． 解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为： ， 则第一次回到出发点时，该机器人共走了步， 本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可． 由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 解析 知识 • 核心梳理 考点二 平行四边形 1. 平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 符号表示：平行四边形用符号“▱”表示， 平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 2. 平行四边形的性质 性质 符号语言 图示 边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB∥CD， AD=BC，AD∥BC   角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=AC，BO=DO=BD 3.平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点. 知识 • 核心梳理 考点二 平行四边形 1）平行四边形的每一条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形； 2）平行四边形被两条对角线分割而成的四个三角形的面积相等，且构成两对全等三角形. 3）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半； 4）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，可得AE·BC=AF·CD(等面积法). 【解题技巧】 知识 • 核心梳理 考点二 平行四边形 3. 平行四边形的判定定理 判定 符号语言 图示 定义 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形         边 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形 ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形 ∵AB=CD，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形 是平行四边形 ∵∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC， ∴四边形ABCD是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形 是平行四边形 ∵OA=OC，BO=DO， ∴四边形ABCD是平行四边形 真题 • 实战精炼 考点二 平行四边形 1．（2025·贵州·中考真题）如图，在中， ，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解析 D 真题 • 实战精炼 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得，进而由平行四边形的性质得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 解析 考点二 平行四边形 2．（2025·山西·中考真题）如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 解：∵点是对角线的中点，点是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 真题 • 实战精炼 考点二 平行四边形 3．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，E是上一点，，、的延长线相交于点F，若，则 ． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， 1 真题 • 实战精炼 考点二 平行四边形 4．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， （答案不唯一） 多 边 形 命题点一 ►题型01 多边形内角和/外角和的计算 ►题型02 多边形内角和与外角和综合 ►题型03 多边形截角后的内角和问题 ►题型04 正多边形中心角 / 边心距计算 ►题型05 平面镶嵌 ►题型06 多边形与实际应用 ►题型01 多边形内角和/外角和的计算 1）正n边形的每个内角为， 每一个外角为． 2）若正多边形的一个外角为m°， 则正多边形的边数为. ►题型01 多边形内角和/外角和的计算 【典例1】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为 ． 解：∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， ∴， 【变式1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是 ． 解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴ ， ， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积： ； ►题型01 多边形内角和/外角和的计算 ►题型01 多边形内角和/外角和的计算 【变式2】（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B．C． D． 解：八边形是正八边形， ， 八边形是正八边形 ∴，， ， ∵是的外角 ， D ►题型01 多边形内角和/外角和的计算 【变式3】（2025·四川自贡·中考真题）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（    ） A． B． C． D． 解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵， ，， ∴， ∴， B 1 2 ►题型02 多边形内角和与外角和综合 熟记n边形内角和与外角和定理以及正多边形边、角的关系，直接运用公式计算. 【典例2】（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（     ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 ►题型02 多边形内角和与外角和综合 解：设这个多边形的边数为， 由题意得，，解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， B 【变式1】（2025·江苏扬州·中考真题）若多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为 ． 解：∵这个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的每个外角都是， ∴这个多边形的边数为， 9 ►题型03 多边形截角后的内角和问题 一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变. ►题型03 多边形截角后的内角和问题 【典例3】（2025·甘肃·中考真题）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 解：设原多边形的边数为， 则可得，解得， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为 A ►题型03 多边形截角后的内角和问题 【变式1】（2025·山东济南·二模）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则内角和增加 度． 解：五边形的内角和为 将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是6， 则， ∴内角和增加 180 ►题型03 多边形截角后的内角和问题 【变式2】（2025吉林省模拟预测）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个 角后，可形成或或边形， 或 或， 解得或7或6， 8或7或6 本题主要考查多边形的内角和外角，判定n边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 解析 ►题型04 正多边形中心角 / 边心距计算 1）外角/中心角： 正n边形的每个外角/中心角为. 2)正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 =+, a=2R•sin r=R•cos 解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ． ►题型04 正多边形中心角 / 边心距计算 【典例4】（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． D ►题型04 正多边形中心角 / 边心距计算 【变式1】（2025·四川绵阳·一模）如图，一个六角亭，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积是（   ） A．16 B． C．24 D． 如图，连接，，则，  ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． D 【变式2】（2025·四川成都·二模）如图，是正六边形的外接圆，半径为，过点作于点，给出下列结论：①圆心角；②弦长；③；④图中阴影部分的面积为；⑤的长为．其中正确的结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．①③⑤ D．①②④ ►题型04 正多边形中心角 / 边心距计算 解：①∵是正六边形的外接圆， ∴，故①正确； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴，故②正确； ③∵于点，∴， ∴，故③错误； ④，故④正确； ⑤的长，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④，． ►题型04 正多边形中心角 / 边心距计算 【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ． 解：连接， ∵点O是正六边形的中心点， ∴， ∴； 【变式4】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ． 解：由题意，得：， 即：， 解得：； 10 ►题型05 平面镶嵌 解决几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． ►题型05 平面镶嵌 【典例5】（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为 度． 解：∵正五边形的每一个内角为：， ∴， 【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ． 解：如图，由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ ►题型05 平面镶嵌 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）图1是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图2是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图2中的大小是（    ） A． B． C． D． 解：正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为， ∴， 本题考查了正多边形的内角和．根据正三角形的每个内角为60°，正方形的每个内角为90°，求解即可． 解析 D ►题型05 平面镶嵌 【变式3】（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为 ． 解：在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点，则四边形和是矩形． 人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成， 正六边的内角为，， , ，是等边三角形． 设，， ， ，， ， ，． ►题型05 平面镶嵌 【变式4】（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1） 解∵正方形每个内角为 ， ∴， ∴能密铺； ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴不能密铺； 不能 【变式4】（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ ►题型05 平面镶嵌 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （2）设切于点E，连接， 则交于点O，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的周长为8； 8 【变式4】（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ ►题型05 平面镶嵌 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小． （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． （3）设切于点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， G ∟ ∵， ∴， ∴， ∴正六边形周长为； 【变式4】（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ ►题型05 平面镶嵌 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． （4）正三角形：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 正六边：∵， ∴，∴， ∴， ∴ ． 正方形：∵， ∴， 【变式4】（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ ►题型05 平面镶嵌 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键． ►题型06 多边形与实际应用 【典例6】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（   ） A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向 解：将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和， 则，且，为等边三角形， 同理，皆为等边三角形， ∵将绕点逆时针旋转，∴， 为等边三角形，的中点为， ，， 同理， 则， ∵，∴每转到12次后与方向重合， ，∴第30次操作后，第3个循环中的第6个位置，恰与方向相反， 又∵为等边三角形， ，此时点在点的正北方． D ►题型06 多边形与实际应用 【变式1】（2025·四川德阳·中考真题）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形．六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等．在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图（如图所示）的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 解：六边形是正六边形， ， ， ， ， 同理可求：， 在中， ， 同理可求：， 四边形是菱形， 四边形的面积是： ； A ►题型06 多边形与实际应用 【变式2】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 解：作，设 ，， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知， ， 四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． ►题型06 多边形与实际应用 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 操作  如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究  （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？ （参考数据：取，取，取，取1.73） ►题型06 多边形与实际应用 【变式3】（2025·河北唐山·三模）如图1，嘉淇用一把可以调节大小的活动扳手拧一枚正六边形螺母． 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． （1）求的度数； 解：（1）连接，如图： 六边形为正六边形， ， 根据对称性，平分和， ， ， ， ， ； ►题型06 多边形与实际应用 【变式3】（2025·河北唐山·三模） 测量 如图2，已知活动扳手的钳口，正六边形螺母的两个顶点，分别在，上，经测量，已知正六边形螺母的边长为，． G ∟ 操作  如图3，调节活动扳手钳口的大小，使得，所在直线分别与直线，重合． 探究  （2）经上述操作后，求钳口和之间的距离减少了多少（结果保留整数）？（参考数据：取，取，取，取1.73） （2）过点作于点，连接，如图： ，， ， ， 在中，， ， ， ， 由（1）可知，， 在中， ， ， ∵和之间的距离由的长变成的长， ， 即经上述操作后，钳口和之间的距离减少了． ►题型06 多边形与实际应用 【变式4】（2025·广东广州·二模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑，处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上。 (1)______________________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，） （1）解：∵正八边形， ∴外角，∴ ， （2）解：过点作于点，如图所示：  在中，，， ∴ 90 76 D ∟ ►题型06 多边形与实际应用 （3）解：连接并延长交于点， 延长交于点，过点作于点，如图所示： ∵正八边形的外角均为， ∴在中，，∴， 又∵，， ∴， ∵， ，∴， ∴，则， 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【变式4】（2025·广东广州·二模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑，处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上。 (3)若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，） D ∟ F ∟ 平 行 四 边 形 命题点二 ►题型01 利用平行四边形的性质求解 ►题型02 平行四边形的证明 ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 ►题型01 利用平行四边形的性质求解 与平行四边形的边、角有关的计算问题可转化为三角形相关问题，解题时要充分利用平行四边形与三角形的有关性质. 注意：对于无图的平行四边形问题，需要画图并且对潜在的分类讨论保持警惕. ►题型01 利用平行四边形的性质求解 【典例1】（2025·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D．4 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即， ►题型01 利用平行四边形的性质求解 【变式1】（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点A与点C关于坐标原点O中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 解析 C 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ►题型01 利用平行四边形的性质求解 【变式2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则 ．（用含的式子表示） ►题型02 平行四边形的证明 1) 已知一组对边平行，首先要考虑证另一组对边平行， 再考虑这组对边相等; 2) 已知一组对边相等，首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行; 3) 已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分; 4) 已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等. 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路: ►题型02 平行四边形的证明 【典例2】（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上． 若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 解：添加②为条件， 则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． ② ③ 选择①无法得出四边形是平行四边形 添加③为条件， 则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ►题型02 平行四边形的证明 【变式1】（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． （1）证明：∵点为的中点 ∴，∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. ►题型02 平行四边形的证明 【变式2】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？ 请直接写出合适的关系，并说明理由． （1）证明： 四边形为平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：当时， 四边形是矩形，理由如下： 分别是的中点， ， ， 当时，四边形是矩形， ， ． ►题型02 平行四边形的证明 【变式3】（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，D，E分别为，的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，，，求的长 （1）证明： 点，分别为边，的中点， 是的中位线，， ，. 又， 四边形是平行四边形； （2）解：如解图，连接， ，， . ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ， . 是的中点， ，即的长为． ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【典例3】（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点．(1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． （1）解：①如图所示，延长交于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【典例3】（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点．(1)当是边中点时， ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； ②如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵是边中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴，， 设， 则， ∴， ∴ ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 (2)如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长． （2）解：如图所示，延长交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，∴； ∵ ， ， ∴，∴， 【典例3】（2025·上海·中考真题）在平行四边形中，，分别为边，上两点． ∵，∴， ∴， ∵，∴， 设，∵， ∴，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵，∴， 即， ∴，解得或（舍去）， ∴． ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【变式1】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值． （用含的代数式表示） 解：（1）由折叠的性质得： ， ∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【变式1】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） （2）∵，∴， ∵，∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，∴， ∴，解得：， ∴， ∴； ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【变式1】（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【拓展延伸】（3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠，∴ ∵，即 ∴ ∴ 即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【变式2】（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． (1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形； （1）解：如图， ∵为中点， ∴， 根据作图可得， ∴四边形为平行四边形， ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， 【变式2】（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ①求证：； ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 ②∵，， ∴在的外接圆上运动，设的外接圆为 如图，设与交于点，连接， ∴ ∴ ∵∴， ∵∴ 又∵ ∴ ②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 又，则， ∴∴ ∴当为的直径时， 取得最大值为∴的最大值为 【变式2】（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，． (2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且． ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【变式3】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，∴， ∴， ∴，∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则 ， ∴， 即，∴点到的距离为2； ►题型03 平行四边形与三角形相似的综合证明 【变式3】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (2)设的角平分线交于点． ②若，作直线分别交于两点，求的值． ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ，， 在中，， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【典例4】（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中， ．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、． 若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． 解：若与重合，在上，且，则， ， ． ． ， ． 由勾股定理得，． ，． ． ． 与四边形的面积的比为． ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【典例4】（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中， ．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、． 若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． 若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为， 如图，取的中点，的中点，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形． 平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为． 连接，，交于点，当过点时，且点在线段上， 不与点重合，点在线段上，不与点重合， ∴此时，四边形的面积与四边形的面积的比为， 四边形的面积与四边形的面积的比为． 当时，取最小值，由可知，的最小值为， 作，交延长线于点，则， ， ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【典例4】（2025·江苏无锡·中考真题）在平行四边形纸片中，．现将该纸片折叠，折痕与纸片的两边交于点、．若与重合，在上，且，则被折痕分成的与四边形的面积的比为 ；若折痕将纸片分成两个四边形，且被分成的两个四边形的面积的比为，则折痕长的取值范围是 ． 如图，取的中点，的中点，连接，四边形是平行四边形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形． ，， 平行四边形的面积与平行四边形的面积的比为．连接，，交于点，当过点时，且点在线段上，不与点重合，点在线段上，不与点重合，四边形的面积与四边形的面积的比为，      四边形为矩形． ，． ，， ， ． ． ∴折痕长的取值范围是 或． ． ． ， ． ． 或 ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． （1）解：①由翻折得，， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ②求的面积； N ∟ H ∟ ②由， ∴， 如图，过点作于点， 过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式1】（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，． (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． （2）解：过点作于点，连接交于点， 过点作于点，由翻折的性质得， 同（2）可得， ∴， ∴， 即，得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴，∴， ∴，即， 解得：． 又∵， ∴，∴， ∴， ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式2】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式2】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ，四边形是菱形； ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式2】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 证明：如图：将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； ►题型04 平行四边形折叠/旋转变换问题 【变式2】（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ，， ，设，则， ， 当四边形是菱形时，延长交于， 如图：设， 则 ， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，，， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． ►突破一 多边形与几何图形综合 【典例1】（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 解：如图，连接，，  ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， D ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【问题初探】如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴，∴黄金比为； 解：如图，点即为的黄金分割点： 【知识迁移】如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 证明：∵四边形是正方形， 四边形是矩形， ∴， ，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴，∴，∴； 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，∴∴点是的黄金分割点． ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式2】（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； （1） 如图2，在射线上截取，连接， ∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式2】（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 【类比探究】（2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； （2）解：正五边形的一个内角为 如图4，在射线上截取，连接，过点作于点  同理可得， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （3）如图，在射线上截取，连接， 过点作于点  同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式2】（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 【拓展延伸】（3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）． ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】  （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】  （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？结合图1猜想：与的数量关系是__ ____． 解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， ∴ ； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， ∴ ； ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】   （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是_____ _． 【问题探究二】（3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （3）∵与分别是的两个外角， 且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴ ； ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】   【拓展与应用】（5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则___ __．（用含，的式子表示） （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，∴； ►突破一 多边形与几何图形综合 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】   【拓展与应用】（6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____ ． （6）∵，结合折叠， ∴， ， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得： ． ►突破二 平行四边形动点轨迹与线段最值 【典例2】（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． （1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接， 当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵∴， ∴面积的最大值． ►突破二 平行四边形动点轨迹与线段最值 【典例2】（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． （2）连接，如图，∵、的中点为M、N， ∴，∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，， ， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴线段长度的最小值 ． ►突破二 平行四边形动点轨迹与线段最值 【变式1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ． 解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接，∵ ，∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵，∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图，  则， ∴， ∴， 5 ►突破二 平行四边形动点轨迹与线段最值 【变式2】（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点，∴， ∵四边形是平行四边形，∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． ►突破二 平行四边形动点轨迹与线段最值 【变式3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ． 解：连接，  ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 5 ►突破三 平行四边形与函数综合 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积， 则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►突破三 平行四边形与函数综合 ∴，故②符合题意； 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为 ①纸片的面积是； 解：如图，延长交轴于， ∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分． 点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上， 点D的坐标为， ∴，， ，，， ∴， ， 纸片面积为：，故①符合题意； ②点E的坐标为 H ∟ ►突破三 平行四边形与函数综合 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积， 则直线的解析式为； 如图，连接交于点，连接交于点， ∵矩形和平行四边形， ∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积， ∵，，，∴，， 设直线为，∴，解得：， ∴直线的解析式为；故③符合题意 ►突破三 平行四边形与函数综合 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 如图，连接，过作于， 由题意可得：，而的面积为， ∴， ∴， ∵当最小时，最大， ∴当时，最小， ∵，∴，解得：， 此时，∴m与n之间的关系式为，故④符合题意； ►突破三 平行四边形与函数综合 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积， 则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 D ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象． 当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； （1）将点代入中得： 解得：，∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称， 且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上，∴， ，解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得，， 即 设是A关于的对称点， 则： 解得，， ∴点坐标为． ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象． 当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A， 纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B， 纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点， 结合题意可知：∴，，，， ∴，， ，， 如图，四边形是平行四边形， 当点在之间，的左侧，过点作 ∴∴ ∴ 当点在上时，∴ ∴ 解得， 当点在上时∴， ∴，∴， 解得，． 其中，，时， 如图，经检验符合 ， 综上，． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式2】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式2】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M， 过点D作交于点N，如图，则，∴， ∴，∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵，∴， ∴， ∵，∴， H ∟ M ∟ N ∟ 则，解得， ∴， ∵，∴， ∴， 解得:， 则那么，点； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式2】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则，∴， ∵，∴， 过点C作交于点P 过点P作轴于点K， 过点A作轴于点G，如图， G ∟ P ∟ K ∟ 则， ∵ ， ∴，∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，则， ∵点， ∴， ∵，∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得， ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． ►突破三 平行四边形与函数综合 【变式2】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． G ∟ P ∟ K ∟ ∴，设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1，∴， ∴， 故点． ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 【典例4】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． （1）解：把，代入 中得， ，解得， ； （2）解：，， 当的值最小时，则的周长最小． 作点关于对称轴的对称点，即为点， 由（1）可知抛物线的解析式为 ， 如图，连接，与对称轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 把，代入中得， ，解得， 直线的解析式为． 点的横坐标为， 把代入得， ； 对称轴为直线，且， ． 【典例4】（2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 （3）解：设，， ①当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ， ，解得， 把代入 ， ； ，，解得， 把代入， ； ③当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点， ，， ，，解得， 把代入，； 综上所述，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为或或． ②当为对角线时，设中点为，根据平行四边形的性质，点也为的中点，，， ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． （1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上， 代入得：，， 作轴，轴，如图， ∵，∴， ， ， ， ， ， ∵，， ，， ， ， 在反比例函数的图像上， 代入得：， ∴反比例函数解析式为； ∟ ∟ ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 【变式1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为 、 ． （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上，∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且，∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． （1）解；把代入到中得：，∴， ∴抛物线解析式为； 设直线解析式为， ∴，∴， ∴直线解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵，∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时， 设直线交x轴于H， ∵， ∴，∴ 设， ∴ ， 解得，∴； 综上所述，点P的坐标为 或； ►突破四 坐标系中平行四边形的存在性探究 【变式2】（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵，∴由对称性可得，即， ∵，∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，新抛物线解析式为 ， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴ ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同，∴， ∴，∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴，∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【典例5】（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 某校数学兴趣小组进行了如下探究：以内部任意一点为中心，画出与成中心对称的．当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1所示的平行四边形，如图2所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ①若，求的长；（请直接写出答案） ②若的面积为，求的长． (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． （1）解：①∵，∴， ∵，∴， ∵点关于点的对称点为点， ∴. ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【典例5】（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 【问题解决】 组员小明选择面积为1的，以其内部任意一点为中心，画出与之成中心对称的，探究了下列问题，请你帮他解答． (1)如图3，，当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为． ②若的面积为，求的长． ②∵四边形， ∴，， ，， ∴，， ∴， ∴设， ∴， ∵的面积为， ∴，∴， ∴， ∵ 与关于成中心对称， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， 同理可得：， ∴， ∵，∴， 解得：，经检验符合题意， ∵，， ∴， ∴. ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【典例5】（2025·江苏无锡·中考真题）【数学发现】 (2)如图4，点为的中点，点在上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形”，求“平行六边形”面积的最大值，并指出此时点的位置． （2）解：如图，连接，，记，的交点为， ∵与关于成中心对称，“平行六边形”， ∴共线，共线，，， ，， ∴，设，，， ∴, ∵，∴， ∴，即， 同理：， ∴，即， 同理：， ∴，即， ∴ ， ∵， ， ∴的最小值为： ， 此时，，， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为： ，同理可得：， 同理：，， ∴，， ∴， ∴是的重心. ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式1】（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式1】（2025·广西·中考真题）【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ （1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； 错误 错误 正确 ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式1】（2025·广西·中考真题） 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中， 平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中， 平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式1】（2025·广西·中考真题） 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于 ，平行于， ， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ，， ∵， ∴，， ，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ， ，， ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式2】（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (1)已知：如图1，四边形是矩形，E、F分别在、上，且．如果，求证：； (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证： 又∵， ∴， ∴， ∴． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式2】（2025·上海·模拟预测）定义：将对应角相等，对应边成比例的两个四边形称为相似四边形． (2)已知：如图2，四边形是梯形，，，E、F分别在、上，且．如果，求证： （2）证明：∵四边形是梯形，，又∵， ∴， ∴，，，， ∵梯形中，，∴梯形是等腰梯形， ∴，∴， ∴梯形和都是等腰梯形， ∴，， 如图，作交于G，作交于H， 则四边形和 都是平行四边形， ∴，，，， ，， ∴， G H ∴， ∴， ∵，∴， 根据等比性质可得 ，即， ∴， ∴， ∴． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； （1）解：四边形为“垂中平行四边形”， ，，， ， ， ，； ， ， ， ， 1 ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； （2）解：，理由如下： 四边形为“垂中平行四边形”， ，， ，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (3)如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）． 3）解：第一种情况： 如图①，过点作的平行线，且，连接，则四边形为平行四边形，延长交于点， ，， ， ，， ， ，即点为的中点， 四边形为所求作“垂中平行四边形”； ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (3)如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）． 第二种情况：如图②，作的平分线，且， 连接并延长交的延长线于点，再射线上取， 连接，则点为的中点， ，平分， ，， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形为所求作“垂中平行四边形”； ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式3】（2025·山东青岛·模拟预测）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (3)如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）． 第三种情况：如图③，过点作交的延长线于点，连接，在的延长线上取，连接，则点为的中点， 同理可证，，则， 四边形是平行四边形， 四边形为所求作“垂中平行四边形”． ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式4】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． （1）解：反比例函数经过点， ，， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ，解得：， ， 把，代入得：， 解得：， 一次函数的表达式为； ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式4】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (2)若时，求点C的坐标； （2）解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，， ，， ，， 即， 整理得：或， 或或， 点C在第一象限， 或， 或； ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式4】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． （3）解：分三类讨论： ①当为对角线，时，如图2， 直线的表达式为， 设与x轴、y轴的交点为M、L，  当时，，当时，， ∴点，且， 所以，， ， 设直线与与x轴交于点N， ∵， ∴， ∴，即，得， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点B与点N坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程组得：， 解得：舍去，， ， 四边形是平行四边形，，， ，， 由平移规律得： ， ， ； ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式4】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． ②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F， 则， ，，，， ， ， ∽， ，即， 解得：（舍去） 或舍去或， ， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得： ， ， ； ►突破五 与平行四边形有关的新定义问题 【变式4】（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． ③当为对角线，时，如图4，  同理可得：， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； 综上所述，点D的坐标为或或 感谢聆听! $