第6章一次方程组（复习课件）数学新教材华东师大版七年级下册

单元复习课件 第6章一次方程组 华师版（新教材）·七年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 梳理本章核心知识，能准确区分二元一次方程（组）、三元一次方程（组）的定义，熟练掌握代入消元法、加减消元法的解题步骤，能根据方程组特点灵活选择解法，在探究代入消元法、加减消元法的过程中，学会观察方程组的结构特点，选择合适的解题方法，培养优化意识和运算策略能力 3. 理解消元、化归、整体等数学思想的内涵，能运用相关思想解决问题，通过一次方程组在生活、生产、古代数学典籍中的应用实例，感受数学源于生活、用于生活的价值，激发数学学习兴趣，增强应用意识，为后续学习一次函数等相关内容奠定基础。 2. 能结合生活实际场景（如行程、利润进价等），准确提取等量关系，运用一次方程组解决实际问题，掌握“审、设、列、解、验、答”的完整解题流程，能根据实际问题中的数量关系，列出二元一次方程组（或三元一次方程组），实现“问题→模型→求解→检验”的完整应用，能解释运算结果的实际意义，提升数学建模能力。 单元学习目标 3 实际问题 分析 数量关系 二元一次方程组 三元一次方程组 消元 一元一次方程组 一次方程组的解 一次方程组的解法 解释 检验 消元 消元 单元知识图谱 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 考点一 一次方程组的相关概念 核心考查：二元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组及解的定义，重点区分“二元”“一次”“整式方程”三个关键条件，避免易错点。 01 有且只有两个未知数 02 含有未知数的项的次数为1； 03 方程两边都是整式 二元一次方程的判定条件（缺一不可）： 示例 2x+xy=5中xy项次数为2， 不是二元一次方程 + y=3分母中有字母， 不是二元一次方程 考点串讲 考点一、一次方程（组）的相关概念 2.二元一次方程组的判定条件： ① 方程组中每个方程都是二元一次方程 （或能化简为二元一次方程）； ② 整个方程组中共含两个未知数 ③ 方程组中至少有两个方程 3.二元一次方程组标准形式： （、不同时为0，、不同时为0） 含3个未知数， 不是二元一次方程组）； 示例 考点串讲 考点一、一次方程（组）的相关概念 4.方程组的解 ① 二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值，有无数组 ② 二元一次方程组的解：使方程组中所有方程左右两边都相等的未知数的值，只有一组解，是两个方程的公共解， 检验方法：将数值代入两个方程，均满足左右两边相等即可。 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 考点串讲 考点一、一次方程（组）的相关概念 ① 忽略“整式方程”条件，误将分式方程判定为二元一次方程；② 混淆“项的次数”与“未知数的次数和”； ③ 检验方程组的解时，只代入一个方程，忽略另一个方程。 易错点提醒 5. 三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 *方程组中含有3个未知数； *每个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为 1； *方程的个数一般为3个（特殊情况可少于3个，但需能确定未知数的值）。 核心特征： 考点串讲 考点二 二元一次方程组的解法 1.核心考查：解二元一次方程组的关键是“消元”，就是去掉一个未知数，变成我们学过的一元一次方程，代入消元法、加减消元法的规范应用，能根据方程组特点选择最优解法，熟练掌握解题步骤，避免计算错误。 解法类型 代入消元法 加减消元法 核心思路 将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程 通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程 适用场景 1.方程组中某一个方程的某个未知数系数为1或 −1 2. 能轻松将一个方程变形为 x=ay+b 或 y=ax+b 的形式 1.方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数 2.同一个未知数的系数成倍数关系，可通过乘系数转化为相等或相反 考点串讲 考点二 二元一次方程组的解法 把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 2 【代入】 3 【解元】 从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 易错易混 1 【变形】 4 【求值】 1）方程组中各项系数不全是整数时，应先化简，即应用等式的性质，化为整数系数. 2）当求出一个未知数后，把它代入变形后的方程y=ax+b或x=ay+b,求出另一个未知数的值比较简单 2.代入消元法 考点串讲 考点二 二元一次方程组的解法 例1. 解方程组 解：， 变形： 由x - y = 3，得x = y + 3 （把y移到右边，变成x的表达式）； 回代： 检验： 将代入，得3(y + 3) - 8y = 14； 解得：3y + 9 - 8y = 14 ∴ -5y = 5 解得， 将代入，得x = -1 + 3 = 2； 把x=2、y=-1代入原方程组， 2 - (-1)=3（成立）， 3×2 - 8×(-1)=6 + 8=14（成立） ∴该方程组的解为 考点串讲 考点二、二元一次方程组的解法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 5.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 2 【加减】 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 3 【解元】 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值 先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数 1 【变形】 将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 4 【求值】 4.加减消元法 考点串讲 考点二 二元一次方程组的解法 例2.解方程组 解： ∴方程组的解是。 把乘3，得6x + 9y = 36； 乘2，得6x + 8y = 34； 两个方程相减得： (6x + 9y)-(6x + 8y)= 36 - 34 ∴ y = 2； 回代：把y=2代入 2x + 3×2 = 12 ∴ 2x = 6 ∴ x = 3； 加减消元时，要注意符号，比如相减时，第二个方程的每一项都要变号，不要漏变。 易错点提醒 考点串讲 考点二 二元一次方程组的解法 6.最优解法选择技巧： 7.易错点提醒： ① 若有一个方程中未知数的系数为1或-1，优先用代入消元法（计算量小）； ② 若两个方程中同一未知数的系数成整数倍，优先用加减消元法（变形简便）； ③ 若方程组较复杂（含分数、小数），先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项），再选择解法。 ① 移项时忘记变号； ② 加减消元时，符号判断错误 ③ 去分母、去括号时漏乘项； ④ 解完后不检验，导致计算错误。 考点串讲 考点三 三元一次方程组的解法 1.核心考查：“消元”思想的延伸，能将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解，重点掌握“化三为二、化二为一”的思路。 2. 解三元一次方程组的一般步骤 ① 消元1：从三元一次方程组中选两个方程，消去其中一个未知数（通常消去系数较简单的未知数），得到一个二元一次方程； ② 消元2：再选另外两个方程（与第一步消去同一个未知数），消去该未知数，得到另一个二元一次方程； ③ 解二元：将两个得到的二元一次方程组成新的二元一次方程组，用代入法或加减消元法求解，得到两个未知数的值； ④ 回代：将两个未知数的值回代到原三元一次方程组中任意一个方程，求出第三个未知数的值； ⑤ 验：检验； ⑥ 写：写出方程组的解 考点串讲 考点四 一次方程组的实际应用 →审（审题，找等量关系） →设（设未知数，直接设或间接设） →列（列方程组） →解（解方程组） →验（检验解的合理性） →答（写答案） 解题步骤: 牢记“审、设、列、解、验、答”六步，缺一不可 核 心 考 查 能从实际问题中提取等量关系，列出一次方程组（二元或三元），并求解、检验，解释结果的实际意义，重点考查行程、利润、配套、和差倍分等常见场景，贴合中考考情（近年常结合传统文化、生活实际、环保等背景）。 考点串讲 考点四 一次方程组的实际应用 ① 审：仔细审题，分清题目中的已知量、未知量，明确题目所求，找出题目中的两个独立等量关系，列二元一次方程组的关键，若有三个未知量，需找三个独立等量关系； ② 设：设未知数，通常采用“求什么设什么”（直接设元法）， 若直接设元不便，可采用间接设元法，如行程问题中，可设速度为未知数，而非直接设路程）； 设元时需注明单位，如“设篮球单价为x”，应写“设篮球单价为x元”）； ③ 列：根据找到的等量关系，列出两个（或三个）方程，组成一次方程组；等量关系不要找错，如将“甲比乙多3”写成“y - x = 3”，正确应为“x - y = 3”）； ④ 解：用合适的方法解方程组，求出未知数的值； ⑤ 验：检验两个层面：一是检验未知数的值是否满足原方程组； 二是检验未知数的值是否符合实际意义（如人数、数量为正整数，单价、速度为正数，不能出现负数、小数（特殊场景除外））； ⑥ 答：用规范的文字表述答案，注明单位 1.“审、设、列、解、验、答”六步注意点 考点串讲 考点四 一次方程组的实际应用 2. 常见题型及等量关系 ① 行程问题： 核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt）； 相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程 追及问题：快者路程-慢者路程=初始距离 流水问题：顺水速度=静水速度+水流速度， 逆水速度=静水速度-水流速度 ② 利润与折扣问题： 核心等量关系：利润=售价-进价，利润率=（利润÷进价）×100%， 售价=标价×（折扣÷10），总费用=单价×数量； ③ 配套问题： 核心等量关系：两种零件的配套比例（如1个桌面配4条桌腿，则桌腿数量=4×桌面数量），避免出现“零件数量不匹配”的错误； 考点串讲 考点四 一次方程组的实际应用 ④ 和差倍分问题（基础）： 核心等量关系：和=大数+小数，差=大数-小数， 倍=大数÷小数 （如“甲是乙的2倍多3”，则甲=2×乙+3）； ⑤ 古代数学问题： 结合《九章算术》《孙子算经》等典籍，核心是将文言译文转化为数学语言，提取等量关系 ⑥ 其他题型： 储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量 工程问题：工作量=工作效率×工作时间 2. 常见题型及等量关系 考点串讲 核 心 考 查 考点五、与一次方程组相关的考点 ① 二元一次方程的正整数解个数 ② 含参数的一次方程组已知解求参数值）； ③ 一次方程组与代数式求值 （如已知方程组的解，求3x+2y的值）； ④ 一次方程组与统计图表结合 （根据条形图、扇形图数据，提取等量关系列方程组）。 考点串讲 解 题 技 巧 考点五、与一次方程组相关的考点 ① 求二元一次方程的正整数解，可固定一个未知数（从1开始取值），求另一个未知数的正整数解，逐一列举，避免遗漏； ② 含参数的方程组，将已知解代入方程组，得到关于参数的一元一次方程（或方程组），求解即可； ③ 代数式求值，可通过方程组变形（整体相加、相减），直接求出代数式的值，无需单独求x、y的值（简化计算）。 考点串讲 题型一 一次方程（组）的概念辨析 【典例】（中考真题·2024·四川宜宾）下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. 3x - 6 = 0 B. 2x + xy = 5 C. x + 3y = 7 D. + y = 3 解：逐一判断各选项： A. 3x - 6 = 0 只含一个未知数，是一元一次方程，排除； B. 2x + xy = 5 中xy项的次数为2，不是二元一次方程，排除； C. x + 3y = 7 含两个未知数，含未知数的项的次数均为1，且是整式方程，是二元一次方程，符合题意； D. + y = 3 分母含未知数，是分式方程，排除； 分析：本题考查二元一次方程的判定，核心紧扣“两个未知数、项的次数为1、整式方程”三个条件，逐一分析 C 题型剖析 题型一 一次方程（组）的概念辨析 【变式1】（1）若方程(m - 2)x + 3y = 8是二元一次方程，求m的取值范围； （2）已知是方程组的解，求k的值。 分析： （1）二元一次方程需要有两个未知数，所以x的系数不能为0（如果系数为0，就只有y一个未知数了），所以 m - 2 ≠ 0； （2）方程组的解满足每个方程，把x=1、y=k代入第二个方程（或第一个），就能求出k的值。 解：（1）∵方程(m - 2)x + 3y = 8是二元一次方程， ∴x的系数m - 2 ≠ 0，解得m ≠ 2； （2）把x=1、y=k代入第二个方程2x - y = 1， 得：2×1 - k = 1 k = 1； 题型剖析 题型二 一次方程组的解法 【典例1】 （中考真题·2024·浙江衢州）解二元一次方程组： 解：由①得：y = 2x - 5 ③ 将③代入②，得：4x + 3(2x - 5) = -1， 去括号：4x + 6x - 15 = -1 合并同类项：10x - 15 = -1， 移项：10x = -1 + 15（移项变号）， 合并同类项：10x = 14， 系数化为1：x = 将x = 代入③，得： y = 2×- 5 = - = -， ∴ 方程组的解为： 题型剖析 题型二、一次方程组的解法 【变式1 】 （名校真题·上海交大附中七年级期末） 解三元一次方程组： 分析： 本题考查三元一次方程组的解法，核心是“消元”，观察方程组，y、z的系数特点，可先消去z（①+②、②+③），转化为二元一次方程组，再求解。 解：① + ②得： 3x + 2y = 9 ④ ② + ③得： 3x-y = 10 ⑤ 联立④ 、⑤ 解得 把 代入 ∴方程组的解为 三元一次方程组消元时，需确保两次消去同一个未知数 题型剖析 25 题型三 一次方程组的实际应用 【典例1】某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，每件黑色文化衫的利润是15元，每件白色文化衫的利润是12元，全部售出后共获利1860元，求黑白两种文化衫各购买了多少件？ 解：设黑色文化衫购买了x件，白色文化衫购买了y件，根据题意列方程组： 由得：5x + 4y = 620 ③ 由得x = 140 - y 把x = 140 - y代入方程③，得： 5(140 - y) + 4y = 620； 解得： y = 80； 答：黑色文化衫购买了60件， 白色文化衫购买了80件。 把y = 80代入x = 140 - y，得： x = 140 - 80 = 60； ∴方程组的解： 题型剖析 题型三、一次方程组的实际应用 【典例2】甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米，两人同时出发，几小时后相遇？相遇时甲、乙各走了多少千米？ 解：设两人出发t小时后相遇，相遇时甲走了x千米，乙走了y千米，根据题意列方程组： 答：两人同时出发，4小时后相遇； 相遇时甲走了20千米，乙走了16千米。 解方程组得： 题型剖析 题型三、一次方程组的实际应用 【变式1】 （名校真题·北师大附中七年级期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊每头各直金几何？”译文：“今有5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两。问每头牛、每只羊各值金多少两？” 解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两； 根据题意，得： ①×2得：10x + 4y = 20 ③， ②×5得：10x + 25y = 40 ④， ④ - ③得：21y = 20 → y = ， 将y= 代入①，得：5x + 2×() = 10， x = ()÷5 = ； ∴方程组的解： 答：每头牛值金两， 每只羊值金20/21两。 题型剖析 题型四 一次方程组含参数代数式求值 【典例】 （中考真题·2024·江苏宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 解：∵ 方程组的解是， 又∵ 方程组与已知方程组结构完全相同， ∴ 可令x + 1 = 3，y - 1 = -2（整体代换思想）， 解得：x = 3 - 1 = 2，y = -2 + 1 = -1， B 题型剖析 题型四一次方程组含参数代数式求值 【变式1】 （名校真题·清华附中七年级期末） 已知二元一次方程组，求(1)x + y的值；(2)x - y的值；(3)7x + 7y的值。 解：(1) ① + ②得： (2x + 3y) + (3x + 2y) = 10 + 15， 合并同类项：5x + 5y = 25， 两边同时除以5：x + y = 5； (2) ② - ①得： (3x + 2y) - (2x + 3y) = 15 - 10， 去括号：3x + 2y - 2x - 3y = 5， 合并同类项：x - y = 5； 技巧总结：代数式求值时，若代数式可转化为含x+y、x-y的形式，优先利用方程组整体相加、相减求解，简化计算过程，减少计算错误。 (3) 求7x + 7y的值； ∵ 7x + 7y = 7(x + y)， 由(1)知x + y = 5， ∴ 7x + 7y = 7×5 = 35； ∴x + y = 5，x - y = 5，7x + 7y = 35。 题型剖析 1.（2023·浙江·中考真题）下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 解：当时，方程左边， 方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边， 方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边， 方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边， 方程左边方程右边，故D不符合题意； A 针对训练 2．（2024·四川绵阳·三模）如果方程组 的解也是方程的一个解，则的值为 ． 解： 把②代入①得， ， 解得，， 把代入②得， ， ∴ 把代入得 ， 解得， 针对训练 3.（2024·河南漯河·一模）若关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴，解得：， ∴， 针对训练 4.解方程组（用代入消元法）。 解：把y = x + 2代入2x + y = 8，得： 2x + (x + 2) = 8； 解得：x = 2； 把x = 2代入y = x + 2，得：y = 4； ∴ 方程组的解是 课堂总结 5.解方程组（用加减消元法）。 解： + 得，(3x + 2y) + (5x - 2y) = 13 + 11； 8x = 24 x = 3； 把x = 3代入，得 9 + 2y = 13 y = 2； 所以方程组的解： 针对训练 6.（2025·四川成都·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（   ） A 解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： A B C D 针对训练 7.（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设， 则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组 的解 是 则方程组 的解是 ． ， （1）解：依题意，设， （2）解：依题意 ∴ 针对训练 8.（2023·四川南充·中考真题）关于x，y的方程组 的解满足，则的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 解： 得， 解得， 将代入， 解得， ， ， ， 解得 D 针对训练 9.（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为 ． 解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 针对训练 10.（中考真题·2024·湖北襄阳）某服装店购进一批甲、乙两种款式的衬衫，已知购进2件甲款衬衫和3件乙款衬衫共需180元，购进3件甲款衬衫和2件乙款衬衫共需170元，求每件甲款衬衫和每件乙款衬衫的进价各是多少元？ 解：设每件甲款衬衫的进价为x元，每件乙款衬衫的进价为y元； 根据题意，得 ①×3得：6x + 9y = 540 ③， ②×2得：6x + 4y = 340 ④， ③ - ④得： y = 40， 将y=40代入①，得： 2x + 3×40 = 180 x = 30； ∴ 答：每件甲款衬衫的进价为30元，每件乙款衬衫的进价为40元。 针对训练 11.（名校真题·杭州学军中学七年级期末） 解三元一次方程组： 解答：由①+ ② + ③得： 2(x+y+z)=12，即x+y+z=6 ④， 将④-③，得：y =1 ⑤， ④- ②得： ④- ① 得：z = 3， ∴ 方程组的解为。 技巧总结： 对于这种对称型三元一次方程组，也可将三个方程相加，得2(x+y+z)=12，即x+y+z=6，再分别减去每个方程，快速求出x、y、z的值 针对训练 12.（ 2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 解：设购买、、三种奖品分别为个， 根据题意列方程得 ， 即，由题意得均为正整数． ①当时， ， 分别取，，，，，，，共种情况； ②当时， ， 可以分别取，，，，，共种情况； 综上所述：共有种购买方案． D 课堂总结 1.一次方程组的相关定义： 包括二元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组的定义及解的判定，重点区分了二元一次方程与非二元一次方程的差异，牢记“两个未知数、次数为1、整式方程”三个关键条件； 2.二元一次方程组的解法： 核心是“消元”思想，掌握代入消元法和加减消元法两种基本方法，明确代入法适合易变形的方程组，加减消元法适合未知数系数有倍数关系或相反的方程组，解题时要遵循标准步骤，注意符号和漏乘问题； 3.一次方程组的实际应用： 牢记“审题—设元—找等量关系—列方程组—求解—检验—作答”七步解题法，熟练应对和差倍比、行程、工程、利润等常见题型，关键是找准题目中的等量关系。 核心知识点： 课堂总结 核心数学思想 ——消元思想 未知的二元、三元问题，转化为我们已经熟悉的一元一次方程问题，这是我们解决方程组相关问题的根本思路，贯穿本章始终，大家在后续解题中要灵活运用这一思想，选择合适的消元方法。 判断二元一次方程时忽略“整式方程”要求；解方程组时去括号、去分母漏乘常数项，加减消元时符号出错；列方程组时等量关系找反；检验时只验证方程，不结合实际题意。后续练习中要刻意规避这些错误，养成严谨的解题习惯 易错点： 课堂总结 感谢聆听! $