10.1.2 第2课时 两角和与差的正弦的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

两角和与差的正弦的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步掌握两角和与差的正弦公式，会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等. 2.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　给值求角 题型(二)　证明恒等式 题型(三)　角的变换 4 课时跟踪检测 题型(一)　给值求角 01 [例1]　已知锐角α，β满足sin α=，cos β=，则α-β=_______.  解析：因为α，β均为锐角，且sin α=，cos β=， 所以cos α=，sin β=. 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-. 又因为α，β均为锐角，所以-<α-β<.故α-β=-. - [变式拓展] 将本例中条件“sin α=”改为“sin α=”，其余条件不变，则α+β=______.  解析：∵α，β均为锐角，sin α=，cos β=，∴cos α=，sin β= .∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-. 又∵0<α+β<π，∴α+β=. |思|维|建|模| 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值. 针对训练 1.定义运算=ad-bc.若cos α==，0<β<α<，则β=______.  解析：依题设得=sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=. ∵0<β<α<，∴cos(α-β)=.又cos α=，∴sin α=，∴sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=，∴β=. 题型(二)　证明恒等式 02 [例2]　已知3sin β=sin(2α+β)，求证tan(α+β)=2tan α. 证明：由已知得3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]， 即3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α] =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α， 即2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α， 所以tan(α+β)=2tan α. |思|维|建|模| 　　解决有关的证明问题，首先需仔细审视等号两边式子的结构特征(函数名及角之间的关系)，确定证明的方向，然后利用公式证明. 针对训练 2.证明：=tan(α+β). 证明：= ===tan(α+β)， 所以原式得证. 题型(三)　角的变换 03 [例3]　已知<β<α<，cos(α-β)=，sin(α+β)=-，求sin 2α，sin 2β. 解：∵<β<α<， ∴0<α-β<，π<α+β<. 又∵cos(α-β)=，sin(α+β)=-， ∴sin(α-β)=，cos(α+β)=-. ∴sin 2α=sin =sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-， sin 2β=sin =sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)=-. |思|维|建|模| 　　在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角. 针对训练 3.已知0<α<，-<β<0，cos α=，cos=. (1)求cos的值; 解：因为0<α<，cos α=，所以sin α=. 所以cos=cos αcos-sin αsin=×-×=. (2)求sin的值. 解：因为0<α<，所以<α+<. 所以sin=. 因为-<β<0，所以<-<. 所以sin=. 所以sin=sin =sincos-cossin =×-×=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知θ为锐角，且cos=，则sin θ=(　　) A. B. C. D. √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：∵cos=>0(θ为锐角)，∴θ+为锐角. ∴sin==. ∴sin θ=sin=sincos-cossin =×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若sin αcos-cos αsin=，α∈[0，2π)，则α等于(　　) A. B. C.或 D.或 √ 解析：因为sin αcos-cos αsin=sin=，又α∈[0，2π)，所以α=或. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知cos=，0<α<π，则sin α=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为cos=，且0<α<π，所以<α+<. 所以sin==. 所以sin α=sin=sincos-cossin =×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(2022·新课标Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β，则(　　) A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1 √ 解析：法一　由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β，整理得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0，即sin(α-β)+cos(α-β)=0，所以tan(α-β)=-1，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　设β=0，则sin α+cos α=0，即tan α=-1，取α=，排除A、B; 设α=0，则sin β+cos β=2sin β，tan β=1，取β=，排除D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知sin α+cos β=-，cos α+sin β=，则sin(α+β)=(　　) A. B. C.- D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为sin α+cos β=-，cos α+sin β=， 所以(sin α+cos β)2=，(cos α+sin β)2=. 所以sin2α+2sin αcos β+cos2β=， cos2α+2cos αsin β+sin2β=， 两式相加可得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以2+2sin αcos β+2cos αsin β=， 即2+2(sin αcos β+cos αsin β)=. 所以2+2sin(α+β)=， 解得sin(α+β)=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在△ABC中，若2cos Bsin C=sin A，则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 √ 解析：由题意，sin A=sin(π-A)=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B，则2cos Bsin C=sin Bcos C+sin Ccos B⇔sin Bcos C-cos Bsin C=sin(B-C) =0，则B=C，即△ABC的形状是等腰三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)已知cos α=，cos(α+β)=-，且α，β∈，则(　　) A.cos β= B.sin β= C.cos(α-β)= D.sin(α-β)=- √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为α∈，cos α=， 所以sin α===. 又α，β∈，所以α+β∈(0，π). 所以sin(α+β)= ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-+=.故A正确. 因为β∈，所以sin β===.故B错误. cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.故C正确. sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=.故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π)，则θ=_______.  解析：∵sin 2x-cos 2x=2cos(2x-θ)(-π<θ<π)，∴sin=cos(2x-θ). 即cos=cos(2x-θ)，∴θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)的值是______.  解析：原式= = ==tan 60°=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在锐角△ABC中，已知cos A=，sin B=，则角C的值为___.  解析：因为△ABC为锐角三角形，又cos A=，sin B=，所以sin A =，cos B=. 则sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=. 又C∈，即C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知tan α，tan β是方程3x2+5x-7=0的两根，则=____ .  解析：由已知得tan α+tan β=-，tan αtan β=-. 故= ===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求证：sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β. 证明：∵sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α =sin[(α+β)+α]-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α-2cos(α+β)sin α =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =sin[(α+β)-α]=sin β， ∴sin(2α+β)-2cos(α+β)sin α=sin β.∴原式得证. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知α，β∈，cos α=，cos(α+β)=. (1)求sin β的值；(5分) 解：∵α，β∈，∴α+β∈(0，π).又cos α=，cos(α+β)=， ∴sin α==，sin(α+β)==. ∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求2α+β的值.(5分) 解：cos(2α+β)=cos[(α+β)+α] =cos(α+β)cos α-sin αsin(α+β)=×-×=0. 由α，β∈，得2α+β∈. ∴2α+β的值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)若sin=，cos=，且0<α<<β<，求cos(α+β)的值. 解：∵0<α<<β<， ∴<+α<π，-<-β<0. 又sin=，cos=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴cos=-，sin=-. ∴cos(α+β)=sin=sin=sin cos-cos·sin=×-×=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $