9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

向量数量积的坐标表示 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用. 3.会利用数量积计算长度与角度. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量数量积的坐标表示 若两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=__________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.向量的模 (1)公式：设a=(x，y)，则|a|=__________. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB=_________________________. x1x2+y1y2 3.向量的夹角公式 设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，它们的夹角为θ， 则cos θ==_______________. 4.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b⇔____________. 基础落实训练 1.已知a=(-3，4)，b=(5，2)，则a·b的值是 (　　) A.23 B.7 C.-23 D.-7 解析：a·b=(-3，4)·(5，2)=-3×5+4×2=-7. √ 2.设a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 √ 解析：∵a+2b=(-5，6)，∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. 3.已知a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为_____.  解析：因为a·b=3×5+4×12=63，|a|==5，|b|==13，所以a与b夹角的余弦值为==. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 　　题型(一)　平面向量数量积的坐标表示 [例1]　(1)已知向量a=(0，-2)，b=(1，t)，若向量b在向量a上的投影向量为-a，则a·b=(　　) A.-2 B.- C.2 D. √ 解析：由题意，设a与b的夹角为θ，则b在a上的投影向量为|b|cos θ· ==(0，t). 又-a=(0，1)，∴t=1，即b=(1，1)， ∴a·b=0×1+(-2)×1=-2. (2)如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边CD上， 且=2，则·的值是______.  解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. ∵AB=，BC=2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)， D(0，2).∵点E在边CD上， 且=2，∴E， ∴==，∴·=-+4=. |思|维|建|模| 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 针对训练 1.设a=(1，-2)，b=(3，1)，c=(-1，1)，则(a+b)·(a-c)= (　　) A.11 B.5 C.-14 D.10 解析：由题意，得a+b=(4，-1)，a-c=(2，-3)，所以(a+b)·(a-c)= 4×2+(-1)×(-3)=11. √ 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且= 2，则·=_____.  解析：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，E(1，2)，C(2，2)，F，∴=(-1，2)，=，∴·=2-=. 题型(二)　平面向量模的坐标表示 [例2]　设平面向量a=(1，1)，b=(0，2).求a-2b的坐标和模的大小. 解：∵a=(1，1)，b=(0，2)，∴a-2b=(1，1)-2(0，2)=(1，-3). ∴|a-2b|==. [变式拓展] 1.例题中的条件不变，若c=3a-(a·b)·b，试求|c|. 解：∵a·b=1×0+1×2=2， ∴c=3(1，1)-2(0，2)=(3，-1). ∴|c|==. 2.将例题中的“b=(0，2)”改为“b=(0，-2)”，其他条件不变，若ka-b的模等于，试求k值. 解：∵ka-b=k(1，1)-(0，-2)=(k，k+2)，∴=， 化简得k2+2k-3=0，解得k=1或k=-3.即当k=1或k=-3时满足条件. |思|维|建|模| 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=. 针对训练 3.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，P是CD的中点，则|+2|=(　　) A. B.2 C.4 D.5 √ 解析：以B为坐标原点，分别以BC，BA所在的直线为x轴，y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，1)，C(1，0)， D(2，1).∵P是CD的中点， ∴P.∴==.  ∴+2=+2=. ∴|+2|==. 4.已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，c=a+λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为_______.  解析：∵a=(1，2)，b=(-3，4)， ∴c=a+λb=(1-3λ，2+4λ)， ∴|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时，|c|min=2. - 题型(三)　平面向量夹角及垂直的坐标表示 [例3]　(1)若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. 解析：∵2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)， ∴cos<2a+b，a-b>===.故2a+b与a-b的夹角为. √ (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c> =<b，c>，则t= (　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 解析：由题意，得c=a+tb=(3+t，4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.∵<a，c>=<b，c>，∴cos<a，c>=cos<b，c>，即=，即=3+t，解得t=5，故选C. √ (3)(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=_____.  解析：∵a-b=(1，1-2x)，a⊥(a-b)， ∴由a·(a-b)=0，得x+1-2x=0，解得x=1，故|a|=. |思|维|建|模| 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|= 计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 针对训练 5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥ (a+μb)，则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 √ 解析：因为a=(1，1)，b=(1，-1)，所以a+λb=(1+λ，1-λ)，a+μb= (1+μ，1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb)，所以(a+λb)·(a+μb)=0，所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0，整理得λμ=-1.故选D. 6.已知a=(4，3)，b=(-1，2). (1)求a与b夹角的余弦值; 解：因为a·b=4×(-1)+3×2=2， |a|==5，|b|==， 设a与b的夹角为θ， 所以cos θ===. (2)若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值. 解：因为a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)， 又(a-λb)⊥(2a+b)， 所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0，解得λ=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(2022·全国乙卷)已知向量a=(2，1)，b=(-2，4)，则|a-b|= (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 15 解析：由题意知a-b=(2，1)-(-2，4)=(4，-3)，所以|a-b|= =5，故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若向量a=(1，1)，b=(0，-1)，则a与b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. √ 15 解析：因为cos<a，b>===-，又<a，b>∈[0，π]， 所以<a，b>=，即a与b的夹角等于.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 √ 15 解析：因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0， 即4+x2-4x=0，解得x=2，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2B. C.0 D.- √ 15 解析：因为a=(1，)，b=(3，m)，所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m.又a，b的夹角为，所以cos ===， 所以+m=，解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知向量a，b在平面直角坐标系中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 (　　) A.a·b=4 B.向量b在向量a上的投影向量为a C.(a+b)⊥(a-b) D.若c=(-1，2)，则c∥(a-b) √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题图可知a=(3，0)，b=(2，2)，则a·b=2×3+0×2=6，故A错误;向量b在向量a上的投影向量为·=·=a，故B正确;因为a+b=(5，2)，a-b=(1，-2)，则(a+b)·(a-b)=5×1+2×(-2)=1，所以a+b与a-b不垂直，故C错误;因为c=(-1，2)，a-b=(1，-2)，则c=-(a-b)，所以c与a-b平行，故D正确.故选BD. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知向量a=(-1，2)，b=(3，4)，c=2a-λb，若c⊥b，则实数λ= (　　) A.- B. C.- D. √ 15 解析：由题意得c=2a-λb=2(-1，2)-λ(3，4)=(-2-3λ，4-4λ)，b=(3，4)，且c⊥b，所以c·b=3(-2-3λ)+4(4-4λ)=0，解得λ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=，设点D为AC的中点，E在BC上，且·=0，则·=(　　) A.16 B.12 C.8 D.-4 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)， 设E(0，b)，则=(-4，b)，=(2，3)，=(0，6). 由题意可知·=0，即(-4，b)·(2，3)=0， 即-8+3b=0，解得b=.所以E， =，所以·=16. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知点A(1，0)，B(-2，1)，向量e=(0，1)，则在e方向上的投影向量的模为_____.  15 解析：由A(1，0)，B(-2，1)，可得=(-3，1)，所以在e方向上的投影向量的模为==1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知向量a=(-2，3)，非零向量b满足a⊥b，则b=________. (写一个向量坐标即可)  15 解析：设b=(x，y)，则由a⊥b得a·b=-2x+3y=0，取x=3，则y=2，b=(3，2). (3，2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，在2×4的方格纸中，若向量a，b的起点和 终点均在格点，则向量a+b，a-b夹角的余弦值是　　　.  15 - 解析：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(2，-1)，b=(3，2)，所以a+b=(5，1)，a-b=(-1，-3). 所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8，|a-b|=，|a+b|=.所以向量a+b，a-b夹角的余弦值为=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知平面向量=(-1，k)，=(2，1)，若△ABC是直角三角形，则k的取值可能是______.  15 解析：因为=(-1，k)，=(2，1)，所以=-=(3，1-k). 若A=90°⇒·=0，∴-2+k=0⇒k=2;若B=90°⇒·=0， ∴-3+k(1-k)=0，无解;若C=90°⇒·=0，∴6+(1-k)=0⇒k=7. 2或7 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知点A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)，求证：△ABC是直角三角形. 15 证明：因为A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)， 所以=(8，-4)，=(2，4)，=(-6，8). 所以||===4，||===2， ||===10. 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(5分) 15 解：由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，-= (4，4).所以|+|=2，|-|=4.故所求的两条对角线的长分别为2，4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设实数t满足(-t)·=0，求t的值.(5分) 15 解：由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)，由(-t)· =0，得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知向量a=(-3，0)，b=(μ+3，-1)，c=(1，λ). (1)若λ=8，μ=-6，求向量a-c与b的夹角;(5分) 15 解：当λ=8，μ=-6时，b=(-3，-1)，c=(1，8)，a-c=(-4，-8).设向量a-c与b的夹角为θ，则cos θ===.因为θ∈[0，π]，所以向量a-c与b的夹角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若(a+b)⊥c，且a在c上的投影向量的模为1，求λ与μ的值.(5分) 15 解：由题意知，a+b=(μ，-1)，c=(1，λ).因为(a+b)⊥c，所以(a+b)·c =μ-λ=0，得μ=λ.又因为a在c上的投影向量的模为1，则=1，所以=3，解得λ=μ=2或λ=μ=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，向量=(3，1)，=(2，-1)，=(a，b)，其中a>0，b>0. (1)若与的夹角为45°，求的值;(6分) 解：由题意知向量=(2，-1)，=(a，b)，因为与的夹角为45°，所以cos<>===，解得=(负值舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若⊥，求+的最小值.(9分) 解：因为=-=(-1，-2)，=-=(a-3，b-1)，又⊥，所以·=(-1)·(a-3)+(-2)·(b-1)=0，即得a+2b=5.又a>0，b>0，故+=(a+2b)·=≥，当且仅当=且a+2b=5，即a=，b=时取得等号，所以=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $