9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

9.3.2 向量坐标表示与运算 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.借助于平面直角坐标系，理解向量坐标的概念，会求点的坐标. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的坐标表示 逐点清(二) 向量线性运算的坐标表示 逐点清(三) 向量坐标运算的综合应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的坐标表示 01 多维理解 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个__________ i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x， y)，使得_________. 我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a=_______. 特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). 单位向量 a=xi+yj (x，y) |微|点|助|解| 点的坐标与向量坐标的区别和联系 区 别 表示形式不同 向量a=(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a=(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 1.如图所示，e1，e2为单位正交基底，则向量a，b的坐标 分别是 (　　) A.(3，4)，(2，-2) B.(2，3)，(-2，-3) C.(2，3)，(2，-2) D.(3，4)，(-2，-3) √ 微点练明 解析：根据平面直角坐标系，可知a=2e1+3e2，b=2e1-2e2.∴a=(2，3)，b=(2，-2). √ 2.已知D是△ABC所在平面内一点，=3，设=e1，=e2，则在基底e1，e2下的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：因为=3， 所以==(-). 所以=+=+(-) =-+=-e1+e2. 因此向量在基底e1，e2下的坐标为. 3.若i，j为正交基底，设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于 (　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：x2+x+1=+>0，x2-x+1=+>0，因此a对应的坐标满足x2+x+1>0，-(x2-x+1)<0.所以向量a对应的坐标位于第四象限. √ 4.已知O为坐标原点，点A在第二象限，||=2，∠xOA=120°，则向量的坐标为___________.  解析：如图，由∠xOA=120°可得∠yOA=30°. 因为||=2， 所以A(-1，). 故=(-1，). (-1，) 逐点清(二) 向量线性运算的坐标表示 02 多维理解   文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b=______________ 减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a-b=______________ (x1+x2，y1+y2) (x1-x2，y1-y2) 数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a=(x，y)，λ∈R，则λa=________ 向量 的坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=______________ (λx，λy) (x2-x1，y2-y1) 续表 |微|点|助|解| (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变. (2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标. (3)由向量坐标的定义知，相同的向量的坐标一定相同，但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说，两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同，即若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a=b⇔ 微点练明 1.已知平面向量a=(1，1)，b=(1，-1)，则向量a-b=(　　) A.(2，1) B.(-2，1) C.(1，2) D.(-1，2) 解析：a-b=(1，1)-(1，-1)=(-1，2). √ 2.已知a=(5，-2)，b=(-4，-3)，若a-2b+3c=0，则c= (　　) A. B. C. D. √ 解析：由a-2b+3c=0，可得c=-a+b=-(5，-2)+(-4，-3)= . 3.在平面直角坐标系中，已知P1(-1，1)，P2(1，3)，点P满足= -3，则点P的坐标为________.  解析：设点P的坐标为(x，y)，因为P1(-1，1)，P2(1，3)， 所以=(x+1，y-1)，=(1-x，3-y). 因为=-3，所以解得 所以点P的坐标为(2，4). (2，4) 4.已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，设=a，=b，=c，且=3c，=-2b. (1)求满足a=mb+nc的实数m，n; 解：由题意得 a=(5，-5)，b=(-6，-3)，c=(1，8)，所以mb+nc= (-6m+n，-3m+8n). 因为a=mb+nc，所以解得 (2)求M，N的坐标及向量的坐标. 解：设O为坐标原点，因为=-=3c， 所以=3c+=(3，24)+(-3，-4)=(0，20). 所以点M的坐标为(0，20). 因为=-=-2b， 所以=-2b+=(12，6)+(-3，-4)=(9，2). 所以点N的坐标为(9，2). 故=(9，-18). 逐点清(三) 向量坐标运算的综合应用 03 [典例]　已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及=+t(t∈R). (1)t为何值时，P在x轴上?t为何值时，P在y轴上? 解：由题意得=(1，2)，=(3，3)， 则=+t=(1+3t，2+3t). 若P在x轴上，则2+3t=0，∴t=-; 若P在y轴上，则1+3t=0，∴t=-. (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出t的值;若不能，请说明理由. 解：不能.理由如下： 由题意知=(1，2)，=-=(3-3t，3-3t).若四边形OABP为平行四边形，则=， ∵无解，∴四边形OABP不能成为平行四边形. |思|维|建|模| (1)待定系数法是最基本的数学方法之一.先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件：相同的向量的对应坐标相等，对应坐标相等的向量是相同的向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. 针对训练 已知O(0，0)，向量=(2，1)，=(3，-2). (1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标; 解：设点C的坐标为(x，y)， 由题意，得A(2，1)，B(3，-2)， 则=(x-3，y+2)，若四边形OACB为平行四边形，可得=， 则解得故点C的坐标为(5，-1). (2)若点P为线段AB靠近点B的三等分点，求点P的坐标. 解：设点P的坐标为(a，b)，由(1)可知A(2，1)，B(3，-2)， 则=(a-2，b-1)，=(1，-3).若点P为线段AB靠近点B的三等分点，则=，即解得 故点P的坐标为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)下列各式不正确的是 (　　) A.若a=(-2，4)，b=(3，4)，则3a-2b=(-12，4) B.若a=(5，2)，b=(2，4)，则2b-a=(-1，6) C.若a=(1，0)，b=(0，1)，则a+b=(0，1) D.若a=(1，1)，b=(1，-2)，则a+b=(2，1) √ 15 解析：由向量加、减法的坐标运算可得. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，c=(3，4)，且c=λ1a+λ2b，则λ1，λ2的值分别为 (　　) A.-2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2 √ 15 解析：因为c=λ1a+λ2b，所以(3，4)=λ1(1，2)+λ2(2，3). 所以解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在△ABC中，点P在BC上，且=2，点Q是AC的中点，若= (4，3)，=(1，5)，则等于(　　) A.(-2，7) B.(-6，21) C.(2，-7) D.(6，-21) √ 15 解析：∵点Q是AC的中点，∴=(+)，∴=2-，∵=(4，3)，=(1，5)，∴=(-2，7)，又=2，∴=3=(-6，21). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为(　　) A.(3，1) B.(1，-1) C.(3，-1)或(-1，1) D.(3，1)或(1，-1) √ 15 解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴=(2，2)，∵点P在直线AB上，且||=2||，∴=2或=-2，故=(1，1)或=(-1，-1)，故P点坐标为(3，1)或(1，-1)，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-2)，若表示向量4a，4b-2c，2(a-c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d= (　　) A.(2，6) B.(-2，6) C.(2，-6) D.(-2，-6) √ 15 解析：设d=(x，y)，由题意知4a=(4，-12)，4b-2c=(-6，20)，2(a-c) =(4，-2)，易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0，解得x=-2，y=-6， 所以d=(-2，-6). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若α，β是一组基底，向量γ=xα+yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p=(1，-1)，q=(2，1)下的坐标为(-2，2)，则a在另一组基底m=(-1，1)，n=(1，2)下的坐标为 (　　) A.(2，0) B.(0，-2) C.(-2，0) D.(0，2) √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由a在基底p，q下的坐标为(-2，2)，则a=-2p+2q=-2(1，-1) +2(2，1)=(2，4).设(x，y)为a在基底m，n下的坐标，则a=xm+yn= (-x+y，x+2y)，即(2，4)=(-x+y，x+2y)，则解得 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足= +λ，则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) B. C. D. 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：法一　设P(x，y)，则=(x-2，y-3)，=(3，1)，=(5，7)， 又=+λ=(3，1)+λ(5，7)=(3+5λ，1+7λ)， 所以(x-2，y-3)=(3+5λ，1+7λ). 所以即因为点P在第四象限， 所以解得-1<λ<-.故实数λ的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 法二　因为=+=++λ=+λ=(5，4)+λ(5，7) =(5+5λ，4+7λ)， 所以P(5+5λ，4+7λ).因为点P在第四象限，所以 解得-1<λ<-. 故实数λ的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底a，b表示c，则 (　　) A.c=3a-2b B.c=-3a+2b C.c=-2a+3b D.c=2a+3b √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：法一　如图①，建立平面直角坐标系，设网格中最小的正方形的边长为1，则a=(1，1)，b=(-2，3)，c=(7，-3). 设向量c=ma+nb(m，n∈R)， 则解得 所以c=3a-2b. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　如图②，以i，j为基底，则a=i+j，b=-2i+3j，c=7i-3j. 设c=λa+μb=(λ-2μ)i+(λ+3μ)j，λ，μ∈R，所以 解得所以c=3a-2b. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知点A(-1，5)，向量a=(-1，2)，若=3a，则点B的坐标是_________.  15 解析：易知=(-3，6). 设B(x，y)，则(-3，6)=(x+1，y-5)， 解得x=-4，y=11.故点B的坐标是(-4，11). (-4，11) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知两点M(7，8)，N(1，-6)，点P是线段MN上靠近点M的三等分点，则点P的坐标为　　　　.  15 解析：由题意得=3，设P(x，y)，则(-6，-14)=3(x-7，y-8)，解得x=5，y=，即P. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知向量a=(3，-2)，b=(-2，1)，c=(-12，7)，若c=ma+nb，其中m，n∈R，则m+n的值为_____.  15 解析：因为a=(3，-2)，b=(-2，1)，c=(-12，7)， 所以ma+nb=(3m-2n，-2m+n).因为c=ma+nb， 所以(-12，7)=(3m-2n，-2m+n).所以解得m=-2，n=3.所以m+n=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标. 15 解：如图所示，正三角形ABC的边长为2，则点A(0，0)， B(2，0)，C(1，)，又点D是AC的中点， 知D.所以=(2，0)，==(1-2，-0)= (-1，). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，用表示++. 15 解：∵=(1，3)，=(2，4)，=(-3，5)， =(-4，2)，=(-5，1)， ∴++=(-3，5)+(-4，2)+(-5，1)=(-12，8). 根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n， 使得++=m+n， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 ∴(-12，8)=m(1，3)+n(2，4)， 即(-12，8)=(m+2n，3m+4n)， ∴解得 ∴++=32-22. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，若=e1-e2，=2e1+λe2，=e1+e2，且A，P，C三点共线. (1)求实数λ的值;(3分) 15 解：=+=e1-e2+2e1+λe2=3e1+(λ-1)e2，由A，P，C三点共线，设=t(t∈R)，则=t(e1+e2)=te1+te2，即解得λ=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若e1=(1，0)，e2=(0，1). ①求;(3分) ②若D(-2，4)，A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，求点A的坐标.(4分) 15 解：①∵=+=2e1+4e2+e1+e2=3e1+5e2， ∴向量的坐标为(3，5). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 ②设A的坐标为(x，y)，∵A，B，C，D恰好构成平行四边形ABCD，∴=. 由=(-2-x，4-y)，=(3，5)， 得解得 ∴A的坐标为(-5，-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知平行四边形ABCD中，=2=2=2. (1)用表示;(5分) 解：因为=+， =+=2， 所以-=2(-)， 所以=+=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若||=6，||=3，∠BAD=45°，如图建立 平面直角坐标系，求和的坐标.(10分) 解：过点D作AB的垂线交AB于点D'，如图所示， 于是在Rt△ADD'中，由∠BAD=45°，可知AD'=3. 根据题意得A(0，0)，B(6，0)，D(3，3)，F(7，1)，=+=(6，0)+(3，3)=，所以G. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以=(6，0)，==(4，-2)， =-=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $