9.2.3 第1课时 向量的数量积-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

9.2.3　 向量的数量积 向量的数量积 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过物理中功等实例，理解向量数量积的概念及意义，会计算平面向量的数量积. 2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 3.掌握平面向量数量积运算律及运算性质，并能解一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的数量积 逐点清(二)　投影向量 逐点清(三)　数量积的运算律及 运算性质 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的数量积 01 多维理解 1.向量的数量积 定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量__________叫作向量a和b的数量积 记法 记作a·b，即a·b=__________ 规定 零向量与任一向量的数量积为___ |a||b|cos θ |a||b|cos θ 0 2.向量的夹角、垂直及模 (1)设两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ=_______. (2)a⊥b⇔_________ (a，b是两个非零向量). (3)a·a=|a|2或|a|=________. a·b=0 |微|点|助|解| (1)向量的数量积a·b，不能表示为a×b或ab. (2)两个向量的数量积的结果是一个实数，而不是向量；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数. (3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积，由于|a|，|b|均为正数，故其符号由夹角来决定. 微点练明 1.已知|a|=，|b|=2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　) A.3 B.-3 C.-3 D.3 √ 解析：由平面向量数量积的定义可得a·b=|a||b|cos 120°=×2 ×=-3. 2.已知|a|=3，|b|=2，若a·b=-3，则a与b夹角的大小为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 解析：因为|a|=3，|b|=2， a·b=-3，所以cos<a，b>===-. 因为0°≤<a，b>≤180°，所以<a，b>=120°. 3.若a与b满足|a|=|b|=1，<a，b>=60°，则a·a+a·b等于 (　　) A. B. C.1+ D.2 √ 解析：由题意得a·a+a·b=|a|2+|a||b|·cos 60°=1+=，故选B. 4.已知等边三角形ABC的边长为1，设=a，=b，=c，那么a·b+b·c+c·a=(　　) A.3 B.-3 C. D.- √ 解析：在等边三角形ABC中，有a·b+b·c+c·a=1×1×cos 120° +1×1×cos 120°+1×1×cos 120°=-.故选D. 5.已知向量a，b的夹角为，且|a|=，|b|=1，则|a+2b|=(　　) A.1 B. C.2 D. 解析：|a+2b|=== =1. √ 逐点清(二)　投影向量 02 多维理解 1.投影向量的定义 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为_______________上的投 影向量.设向量a，b的夹角为θ，则=____________. 向量a在向量b 2.向量数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的__________________的数量积. 投影向量与向量b |微|点|助|解| (1)a与b平行时，a在b上的投影向量是其本身；a⊥b时，a在b上的投影向量为0. (2)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量. 微点练明 1.已知|a|=1，|b|=2，其中a，b的夹角为，则a在b上的投影向量的模为(　　) A.1 B. C. D. 解析：由题意，a在b上的投影向量的模为|a|cos=1×=. √ 2.已知向量e是与向量b方向相同的单位向量，且|b|=2，若a在b方向上的投影向量为2e，则a·b= (　　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 √ 解析：a·b=|b||a|cos<a，b>=|b||2e|=2×2=4.故选C. 3.已知O为正三角形ABC的中心，则向量在向量上的投影向量为(　　) A.- B. C.- D. √ 解析：取AB中点D，连接OD，因为O为正三角形ABC的中心，所以OD⊥AB，则向量在向量上的投影向量为=-，故选C. 4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，a·b=-3，则b在a上的投影向量为 (　　) A.-a B.-a C.-a D.-a √ 解析：设向量a，b的夹角为θ， 因为|a|=2，|b|=3，a·b=-3， 所以a·b=|a||b|cos θ=2×3cos θ=-3， 所以cos θ=-， 所以b在a上的投影向量为 |b|cos θ·=3cos θ·=3×·=-a. 逐点清(三)　数量积的运算律及 运算性质 03 多维理解 1.向量数量积的运算律 交换律 a·b=_____ 结合律 (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b 分配律 (a+b)·c=_________ b·a a·c+b·c 2.向量数量积的运算性质 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)当a与b同向时，a·b=|a||b|，当a与b反向时，a·b=-|a||b|. (3)|a·b|≤|a||b|，当且仅当向量a，b共线，即a∥b时等号成立. |微|点|助|解| (1)已知实数a，b，c(b≠0)，则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b=b·c不能推出a=c. (2)对于实数a，b，c有(ab)c=a(bc)，但对于向量a，b，c，(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立. 微点练明 1.(多选)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论不正确的是 (　　) A.0·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c) C.a·b=0⇒a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2 √ √ 解析：0·a=0，A错误； (a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，但a与c不一定共线，B错误；a·b=0⇒a⊥b，C正确；(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2，D正确.故选AB. 2.已知向量a，b夹角的余弦值为-，且|a|=4，|b|=1，则(a-b)·(b-2a) =(　　) A.-36 B.-12 C.6 D.36 √ 解析：(a-b)·(b-2a)=a·b-2a2-b2+2a·b=3a·b-b2-2a2=3×4× 1×-1-2×16=-36.故选A. 3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，b·(2a-b)=-18，则a与b的夹角等于(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° √ 解析：由b·(2a-b)=2a·b-b2=2a·b-12=-18，得a·b=-3， 则cos<a，b>===-.因为0°≤<a，b>≤180°， 所以a与b的夹角等于150°. 4.若单位向量a，b满足(a-2b)·(a+b)=-，则|a-b|等于(　　) A.1 B. C. D. √ 解析：因为a，b为单位向量，所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2= -a·b-1=-.所以a·b=-.所以|a-b|== =，故选C. 5.已知向量a，b满足|a|=，|b|=2，且a⊥(a-b)，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：因为a⊥(a-b)，所以a·(a-b)=0，即|a|2-|a||b|cos<a，b>=0，解得cos<a，b>=.又因为0°≤<a，b>≤180°，所以a与b的夹角为30°，故选A. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在等腰Rt△ABC中，若C=90°，AC=，则·的值等于(　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 √ 15 解析：·=||||cos B=2××cos 45°=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知a，b是互相垂直的单位向量，若c=a-2b，则b·c= (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 √ 15 解析：b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影向量的模为 (　　) A.2 B. C.2 D.4 √ 15 解析：因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×=4×× =b，所以a在b的方向上的投影向量的模为|b|=2，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知|a|=3，|b|=6，当a∥b时，a·b= (　　) A.18 B.-18 C.±18 D.0 √ 15 解析：若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b=|a||b|cos 0°= 3×6×1=18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b= |a||b|·cos 180°=3×6×(-1)=-18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知|a|=|b|=1，向量a与b的夹角为60°，则|3a-4b|= (　　) A.5 B.13 C.3 D. √ 15 解析：因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9|a|2+16|b|2-24a·b =9×12+16×12-24×1×1×=13，所以|3a-4b|=，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在四边形ABCD中，=，且(+)·(-)=0，那么四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 √ 15 解析：由=，可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)· (-)=0，得-=0，即=，所以||=||. 所以四边形ABCD为菱形.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知a，b是单位向量，c=a+2b，若a⊥c，则|c|= (　　) A.3 B. C. D. 15 √ 解析：因为a，b是单位向量，所以|a|=|b|=1.又a⊥c⇒a·c=0， 即(a+2b)·a=a2+2a·b=0⇒a·b=-. 又c=a+2b⇒|c|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1-2+4=3，所以|c|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则·=(　　) A.9 B.-9 C.12 D.-12 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，AD=5，HE=1，设AH=x，由勾股定理可得(x+1)2+x2=52，解得x=3，所以sin∠ABH==cos∠GBC， 所以·=||||cos(π-∠GBC)=5×3×=-9. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是(　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3，∴|a+b|=，故A错误；∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0， ∴(4a+b)⊥b，故C正确；a·b=1×2×cos 120°=-1，故D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.已知|a|=，b是非零向量，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为-e，则a与b的夹角为(　　) A.45° B.60° C.120° D.135° √ 15 解析：设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影向量为e，则e=-e，所以=-1，即cos θ=-1， 所以cos θ=-.因为0°≤θ≤180°，所以θ=135°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若|a|=3，|b|=4，a·b=-12，则向量a和b的夹角为______.  15 解析：设向量a和b的夹角为θ， 则cos θ===-1. 因为0°≤θ≤180°，所以θ=180°. 180° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 12.(5分)已知△ABC中，BC=7，AC=8，C=60°，则·=_______.  解析：因为C=60°，BC=7，AC=8，所以·=-·=-7×8 ×cos 60°=-28. -28 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 13.(5分)已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，则|2α+β|的值是_______.  解析：由α⊥(α-2β)知，α·(α-2β)=0，则2α·β=1， 所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求： (1)·；(5分) 15 解：因为||=5，||=4，||=3， 所以||2+||2=||2，即AC⊥BC，所以cos B==. 所以·=||||cos(π-B)=5×4×=-16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在上的投影向量；(5分) 15 解：由(1)知，AC⊥BC，所以cos A==， 所以在上的投影向量为 ||cos A·=3××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)在上的投影向量.(5分) 15 解：由(1)知，cos B=， 所以在上的投影向量为||cos (π-B)·=5××=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2. (1)求|a|；(5分) 解：由题意知，e1·e2=1×1×cos=. 因为a=3e1+4e2，所以|a|====. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a⊥(a+b)，求实数λ的值.(10分) 解：因为向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2， 所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ. 因为a⊥(a+b)， 所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0， 解得λ=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $