9.2.1 第2课时 向量的减法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

向量的减法 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算. 2.理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量的减法 定义 若b+x=a，则向量x叫作a与b的___，记为_____.求___________的运算，叫作向量的减法 减法法则 在平面内任取一点O，作=a，=b，则= _____， 如图所示.这就是说，当向量a，b起点相同时， 从b的终点指向a的终点的向量就是_____ 差 a-b 两个向量差 a-b a-b 2.向量减法的性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量，于是-0=0. (2)互为相反向量的两个向量的和为0，即a+(-a)=(-a)+a=0. (3)若a+b=0，则a=-b，b=-a. |微|点|助|解| (1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，- =，就可以把减法转化为加法. (2)两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. (3)在用三角形法则作向量减法时，要注意“共起点，连终点，指向被减”.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量. (　　) (2)=-. (　　) (3)a-b的相反向量是b-a. (　　) (4)|a-b|<|a+b|. (　　) √ √ √ × 2.在△ABC中，=a，=b，则=(　　) A.|a+b| B.a-b C.b-a D.-a-b √ 3.在▱ABCD中，-+=(　　) A. B. C. D. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量减法法则的应用 [例1]　(1)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则a-b=，c-d=. (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a+b-c. 解：法一　如图①所示，在平面内任取一点O，作=a， =b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c. 法二　如图②所示，在平面内任取一点O，作=a， =b，则=a+b，再作=c，连接OC，则= a+b-c. |思|维|建|模| 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a，b，如图①所示，作=a，=b，利用向量减法的三角形法则可得a-b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如图②所示，作=a，=b，=-b，则=a+(-b)，即=a-b. 针对训练 1.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，=a，=b， =c，试作向量a-b+c. 解：如图，连接BD， 则=a-b， 作向量=c，连接DE， 则=+=a-b+c. 题型(二)　向量的加、减运算 [例2]　化简下列各式： (1)(+)+(--)； 解：法一　原式=+++ =(+)+(+) =+=. 法二　原式=+++ =+(+)+ =++ =+0=. (2)--； 解：法一　原式=-=. 法二　原式=-(+) =-=. (3)(-)-(-). 解：法一　(-)-(-) =(+)-(+) =-=0. 法二　(-)-(-) =(-)-(-) =-=0. 法三　在平面内任取一点O， 则(-)-(-)=(-)-(-)-[(-)-(-)] =--+-++-=0. |思|维|建|模| 化简向量和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号. (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简. (3)化简向量的差时注意共起点，由减数向量的终点指向被减数向量的终点. [提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化简的重要技巧. 针对训练 2.在▱ABCD中，设=a，=b，=c，=d，则下列等式不正确的是(　　) A.a+b=c B.a-b=d C.b-a=d D.c-a=b √ 解析：a+b=+==c，故A正确；a-b=-=+== -d，故B错误；b-a=-==d，故C正确； c-a=-===b，故D正确. 3.化简：(1)--++； 解：--++=++++=+=. (2)(++)-(--). 解：(++)-(--)=++-++= (+)+(-)+(+)=++0=0. 题型(三)　用已知向量表示未知向量 [例3]　如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是 平行四边形，且=a，=b，=c，试用a，b，c 表示向量及. 解：∵四边形ACDE是平行四边形，∴==c，=-=b-a，=-=c-a，=-=c-b.∴=+=b-a+c. |思|维|建|模| 用已知向量表示未知向量的基本步骤 第一步：观察各向量的位置； 第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果. 针对训练 4.如图，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，试用a，b，c，d，e，f表示-+-+ +. 解：=-=c-a， =-=d-a， -==-=d-b， +=-+-=b-a+f-c， -==-=f-d， ++=0. 题型(四)　向量加减法的综合应用 [例4]　如图，在▱ABCD中，=a，=b，用向量 a，b表示，并回答下面几个问题. (1)当a，b满足什么条件时，AC⊥BD? 解：∵=a，=b，∴=a+b，=a-b. 当|a|=|b|时，▱ABCD为菱形，因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD. (2)当▱ABCD满足什么条件时，|a+b|=|a-b|? 解：当▱ABCD为长方形时，因为长方形的对角线相等，所以|a+b| =|a-b|. [变式拓展] 若将本例中的条件变为“设平面内四边形ABCD及任一点O，=a，=b，=c，=d，若a+c=b+d且|a-b|=|a-d|”.试判断四边形ABCD的形状. 解：由a+c=b+d，得a-b=d-c， 即-=-. ∴=.于是AB CD， ∴四边形ABCD为平行四边形. 又|a-b|=|a-d|，从而|-|=|-|， ∴||=||. ∴四边形ABCD为菱形. |思|维|建|模| (1)以向量=a，=b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为=a+b，=b-a. (2)在▱OACB中，=a，=b. ①若|a|=|b|，则▱OACB为菱形. ②若|a+b|=|a-b|，则▱OACB为矩形. ③若|a|=|b|，且|a+b|=|a-b|，则▱OACB为正方形. 针对训练 5.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且||=||=1，+ =+=0，cos∠DAB=，求|+|与|+|. 解：因为+=+=0，所以=-=-，即四边形ABCD为平行四边形. 又因为||=||=1， 所以四边形ABCD为菱形，如图所示，cos∠DAB=，0<∠DAB<π， 所以∠DAB=.所以|+|=|+|=||=2||=，|+|=|-|=||=1. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.化简-++等于(　　) A. B. C. D. √ 15 解析：原式=(+)+(+)=+0=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则-=(　　) A. B. C. D. √ 15 解析：在矩形ABCD中，=，又因为AC∩BD=O，则=，因此，-=-==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知O是平面上一点，=a，=b，=c，OD=d，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 √ 15 解析：易知-=-=，而在平行四边形ABCD中有=，∴-=-，即b-a=c-d，故a-b+c-d=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+ --的结果为(　　) A.0 B. C. D. √ 15 解析：+--=(-)+(-)=+=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在四边形ABCD中，若=-，且|-|=|+|，则四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ 15 解析：由=-⇒=，所以四边形ABCD是平行四边形. 由|-|=|+|⇒||=||，所以平行四边形ABCD的对角线相等，因此该四边形是矩形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 6.设a表示“向东走6 km”，b表示“向南走3 km”，则b-a+b所表示的意义为 (　　) A.向东南走6 km B.向东南走3 km C.向西南走6 km D.向西南走3 km √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：如图，分别作出=a，==b，则=b-a，=+=b-a+b. 易知△OAB为等腰直角三角形，故∠OAB=45°，且|| =6，于是b-a+b所表示的意义为向西南走6 km. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.平面上有三点A，B，C，设m=+，n=-，若m，n的长度恰好相等，则有(　　) A.A，B，C三点必在同一直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，作平行四边形ABCD，则+=-=-=. 因为|m|=|n|，所以||=||.所以平行四边形ABCD为矩形.所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知向量a，b在正方形网格中的位置如图所示， 则向量a-b与b的夹角为 (　　) A.45° B.90° C.120° D.135° √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，令=a，=b，则=a-b.设最小的 小正方形边长为1，则||=||=，||=2， 所以||2+|BA|2=||2，所以△OAB是等腰直角三角形. 所以∠OBA=45°，则向量a-b与b的夹角为∠OBA的补角，为135°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上运动，且=2，设=x，=y，若|-|=，则x+y的最大值为(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵|-|===2，∴x2+y2=4.∴(x+y)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)=8，当且仅当x=y时取等号. ∴x+y≤2，即x+y的最大值为2，故选C. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)+-=_____.  15 解析：+-=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在正六边形ABCDEF中，=m，=n，则=______.(结果用m，n表示)  15 解析：如图，根据正六边形的性质可知，ED∥AB，且ED=AB.所以==-=m-n. m-n 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知=a，=b，||=5，||=12，∠AOB=90°，则|a-b| =____.  15 解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，由∠AOB=90°，知四边形OACB为矩形，∴|a-b|=||==13. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，O为△ABC内一点，=a，=b， =c，求作b+c-a. 15 解：法一　如图1，以为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则=+=b+c，=-=b+c-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 法二　如图2，作==b，连接AD，则=-=c-a，=+=c-a+b=b+c-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|-+ -|，试判断△ABC的形状. 15 解：∵-+-=+-=，∴|+|=||. ∴以AB，AC为邻边的平行四边形ABDC的两条对角线的长度相等. ∴此平行四边形为矩形.∴AB⊥AC. ∴△ABC是直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，M是斜边AB的中点，=a，=b. 求证：(1)|a-b|=|a|；(5分) 证明：如图，因为△ABC为等腰直角三角形， 所以||=||. 由M是斜边AB的中点， 得||=||. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在△ACM中，=-=a-b. 由||=||，得|a-b|=|a|. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)|a+|=|b|.(5分) 证明：在△MCB中，==a-b， ∴=-=a-b+a=a+. 由||=||，得|a+|=|b|. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $