9.2.1 第1课时 向量的加法-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

9.2 向量运算 9.2.1 向量的加减法 向量的加法 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义，会用向量的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量的计算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.向量加法的定义 求_____________的运算叫作向量的加法. 两个向量和 2.向量加法的两种法则   法则 图示 三角形法则 已知向量a和b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则向量叫作___________，记作______.即a+b=+=____ a与b的和 a+b 平行四边形法则 分别作=a，=b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量就是向量a与b的和 特例 ①任一向量与其相反向量的和是零向量， 即a+(-a)=________=____. ②对于零向量和任一向量a，我们规定a+0=_____=___ (-a)+a 0 0+a a 续表 |微|点|助|解| 　　平行四边形法则与三角形法则的区别与联系 区别 (1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调“共起点”. (2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和 联系 平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定 3.向量加法的运算律 交换律 a+b=＿＿＿ 结合律 (a+b)+c=＿＿＿＿ b+a a+(b+c) |微|点|助|解| (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立. (2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)，a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量. (　　) (2)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.(　　) (3)如果a，b是共线的非零向量，那么a+b的方向必与a，b之一的方向 相同. (　　) (4)若a+b=0，则a=0且b=0. (　　) √ × × × 2.在△ABC中，必有++等于(　　) A.0 B.0 C.任一向量 D.与三角形形状有关 √ 3.在正方形ABCD中，||=1，则|+|=______.  课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　向量加法法则的应用 [例1]　(1)如图甲所示，求作向量和a+b； 解：首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图①所示. (2)如图乙所示，请用三角形法则作向量和a+b+c. 解：如图②所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则得向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+ c=a+b+c. [变式拓展] 本例(2)条件不变，请用平行四边形法则作向量和a+b+c. 解：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则=+=a+b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则=+=a+b+c. |思|维|建|模| 　　用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”.两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置.两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用. 针对训练 1.如图，已知向量a，b，c，求作a+b+c. 解：在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，如图，则由向量加法的三角形法则，得=a+b，=a+b+c. 题型(二)　向量加法及其运算律 [例2]　化简下列各式： (1)++++； 解：++++ =(+)+++=0. (2)++； 解：++=(+)+=+=. (3)++； 解：++=(+)+=. (4)++++. 解：++++ =++(++) =++=(+)+=+=0. |思|维|建|模| 向量加法运算的注意点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0. 针对训练 2.如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点， 则++=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得++ =+=. 3.向量++++=_______.  解析：++++=(+)+(+)+=++= (+)+=+=. 题型(三)　向量加法的实际应用 [例3]　在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水+v船=v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形， 在Rt△ACD中， ||=||=v水=10 m/min，||=|v船|=20 m/min，∴cos α===. ∴α=60°，从而船与水流方向成120°角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向. [变式拓展] 若本例条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少? 解：由题意可知||=||， 即v实际=v船=×20=10(m/min) =(km/h)，则经过3小时，该船的实际航程是3×=(km). |思|维|建|模| 应用向量解决平面几何问题的基本步骤 表示 用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题 运算 应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题 还原 根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题 针对训练 4.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A，C两地相距300 km，求飞机从B地到C地飞行的方向及B，C间的距离. 解：如图所示，=+，∠BAC=90°，||=||= 300 km，所以||=300 km.又因为∠ABC=45°，且A 地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处.故飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15°，B，C两地间的距离为300 km. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.(多选)下列等式不正确的是 (　　) A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|<|a|+|b| √ 15 √ 解析：A正确；B错误，+=0；C正确；D错误，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知正八边形ABCDEFGH如图所示，其中O为正八边形的中心，则++=(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. √ 15 解析：由平面向量的加法法则及正八边形的性质，可得++ =+=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于(　　) A. B. C. D. √ 15 解析：+++=(+)+(+)=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+ =(　　) A.　　　　　 B. C.　　　　 　 D. √ 15 解析：由题图易知，+=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)设a=(+)+(+)，b是一个非零向量，则下列结论正确的是(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| √ 15 解析：因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0，又b是一个非零向量，所以a∥b成立，A正确.a+b=0+b=b，B不正确，C正确.由|a+b|=|b|，|a|+|b|=|b|，可得|a+b|=|a|+|b|，D不正确.故选AC. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知||=10，||=7，则||的取值范围是(　　) A.[3，17] B.(3，17) C.(3，10) D.[3，10] √ 15 解析：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解.即||-||≤||≤||+||，故3≤||≤17.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是(　　) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 15 解析：∵a+b=+=，∴||=||=1，||=，∴||2+||2=||2.∴△ABC为等腰直角三角形.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知=a，=b，=c，=d，=e，则a+b+c+d=___.  15 解析：a+b+c+d=+++==e. e 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图，在▱ABCD中，O是AC和BD的交点，则 (1)++=_______； 15 解析：++=(+)+=+=. (2)++=_____.   0 解析：++=(+)+=+=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)在边长为1的等边△ABC中，|+|=___，|+|=_____.  15 解析：易知|+|=||=1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)，则|+|=||=2||sin 60°=2×1×=. 　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在矩形ABCD中，||=，||=2，则向量++的长度为______.  15 解析：因为+=，所以++的长度为长度的2倍. 又||==3，所以向量++的长度为2||=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB， BC，CA的中点.求证： (1)+=+；(5分) 15 证明：由向量加法的三角形法则， 知+=+=， 故+=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)++=0.(5分) 15 证明：由向量加法的平行四边形法则， 知=+=+=+， 故++=+++++=(+)+(+)+ (+)=0+0+0=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知||=|a|=3，||=|b|=3，∠AOB=60°，求|a+b|. 15 解：如图，作平行四边形OACB， ∵||=||=3，∴四边形OACB为菱形.连接OC， AB，则OC⊥AB，设垂足为D.∵∠AOB=60°，∴∠DOB=30°. 在Rt△BDO中，OD=， ∴|+|=||=×2=3，即|a+b|=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：如图所示，设分别表示A，B处所受的力， 10 N的重力用表示，则+=. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°，∠FCG=180°-120°=60°. ∴||=||cos 30°=10×=5(N)，||=||cos 60°=10×=5(N). ∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图，已知G是△ABC所在平面内一点.求证：G是△ABC的重心的充要条件是++=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 证明：(充分性)如图1，以GB，GC为邻边作▱GBEC，连接GE，交BC于点M，则M是BC的中点，也是GE的中点.因为+=，且++=0，所以=.于是可得点G在线段AM上，且AG=2GM.又AM是△ABC边BC上的中线，所以G是△ABC的重心. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (必要性)如图2，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG=2GD.延长GD到E'，使DE'=GD，连接E'B，E'C，则四边形GBE'C是平行四边形， 所以+='=-，故++=0. 综上，G是△ABC的重心的充要条件是++=0. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $