9.1 向量概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

第9章 平面向量 9.1 向量概念 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，会用有向线段和字母表示向量. 2.理解向量的有关概念：零向量与单位向量、向量的模与夹角、两向量的关系(平行与垂直)等. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的概念与表示 逐点清(二)　平行向量、相等向量 及相反向量 逐点清(三)　向量的夹角与垂直 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的概念与表示 01 多维理解 1.向量的定义与表示 定义 既有______又有_____的量叫作向量 表示 方法 ①几何表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的______，箭头所指的方向表示向量的______.以A为起点、B为终点的向量记为______. ②字母表示：用小写字母a，b，c来表示 大小 方向 大小 方向 2.模、零向量、单位向量 长度(模) 向量的_____称为向量的长度(或称为模)，记作______ 零向量 长度为__的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于_______________的向量，叫作单位向量 大小 || 0 1个单位长度 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)向量强调长度和方向两个元素. (3)有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素. (4)零向量方向任意，不能认为零向量无方向. (5)向量不能比较大小，向量的模为非负实数，能比较大小. 微点练明 1.(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 (　　) A.也可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M √ √ √ 2.下列命题正确的是 (　　) A.温度有零上和零下之分，所以温度是向量 B.向量的模是一个非负实数 C.有向线段由方向和长度两个要素确定 D.向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b是同一向量 √ 解析：温度虽有大小却无方向，故不是向量，A错误；易知B正确；有向线段由起点、方向、长度三要素组成，C错误；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，D错误. 3.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是 (　　) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 √ 解析：由单位向量的定义知，这些向量终点都在单位圆上. 4.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量； 解：向量，如图所示. (2)求||. 解：由题意，可知AB∥CD，∵||=||， ∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，∴||=200. 逐点清(二)　平行向量、相等向量 及相反向量 02 多维理解 平行 向量 方向____________的非零向量叫作平行向量，平行向量又称为共线向量. ①记法：向量a与向量b平行，记作_______. ②规定：零向量与__________平行 相同的 向量 所有长度______且方向______的向量都看作相同的向量.向量a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作______ 相同或相反 a∥b 任一向量 相等 相同 a=b 相反 向量 ①把与向量a长度相等，方向______的向量叫作a的相反向量，记作____，a与-a互为相反向量.对任意一个向量a，总有-(-a)=___. ②规定：零向量的相反向量仍是_______ 相反 -a a 零向量 续表 |微|点|助|解| (1)向量共线有三种情形：①共线且同向；②共线且反向；③有一个是零向量. (2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点容易出现错误. 微点练明 1.已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于 (　　) A.0 B.a C.b D.不存在这样的向量 解析：零向量与任一向量是共线向量，故c=0满足条件.若c≠0，则a∥c且b∥c，得到a∥b，这与条件矛盾，排除.综上所述，c=0，故选A. √ 2.如图，在四边形ABCD中，若=，则图中相等的向量是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 解析：由=，可得四边形ABCD为平行四边形.与互为相反向量，A错误；与互为相反向量，B错误；与满足相等向量的定义，C正确；与方向不同不满足相等向量的定义，D错误.故选C. 3.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中 (　　) A.向量的模相等 B.||= C.向量共线 D.||+||=10 √ √ 解析：因为||==，||==2， 所以||≠||，A错误.||==，B正确. 因为∠CDG=∠CFH=45°，所以DG∥HF.所以向量共线， C正确.||+||=2+=5≠10，D错误. 4.如图，E，F，G依次是正三角形ABC的边AB，BC，AC的中点. (1)在以A，B，C，E，F，G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； 解：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，且EF=AC，所以与向量共线的向量为. (2)在以A，B，C为起点，E，F，G为终点的向量中， 找出与向量的模相等的向量； 解：因为△ABC是正三角形，所以AB=AC=BC.因为E，F，G依次是正△ABC的边AB，BC，AC的中点， 所以AE=EB=GF=EF=GC=AG=BF=FC=EG，所以在以A，B，C为起点，E，F，G为终点的向量中，与向量的模相等的向量为 . (3)在以E，F，G为起点，A，B，C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 解：在以E，F，G为起点，A，B，C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 逐点清(三)　向量的夹角与垂直 03 多维理解 (1)定义：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一 点O，作=a，=b，∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 叫作向量a与b的夹角(如图所示). (2)范围：______________. (3)当θ=_____时，a与b同向；当θ=______时，a与b反向； 当θ=____时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b. 0°≤θ≤180° 0° 180° 90° |微|点|助|解| (1)两向量的夹角是对两个非零向量而言的，零向量与任一向量不存在夹角问题. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 微点练明 1.在△ABC中，AB=，BC=1，AC=2，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. √ 解析：∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形， 且B=，∠BCA=.如图，延长AC至D，使AC=CD， 则=， 所以∠BCD即为向量与的夹角，则∠BCD=π-=. 2.如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，A=60°， 则下列说法正确的是 (　　) A.和的夹角为0° B.与的夹角为60° C.与的夹角为120° D.与的夹角为60° 解析：根据向量夹角的定义，知和的夹角为180°，与的夹角为120°，与的夹角为60°，与的夹角为60°，故选D. √ 3.如图，已知以O为圆心，1为半径的圆上有8个等 分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的 9个点为起点和终点作向量. (1)与的夹角是多少? 解：由题意，得弧DE所对的圆心角是45°，即有∠DOE=45°，所以与的夹角为45°. (2)与垂直的向量有哪些? 解：由题易知BF是圆O的直径，OD⊥BF，CE∥BF∥AG，如图所示，所以与垂直的向量有 . 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 √ 解析：速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如图，在正方形ABCD中，与的夹角为(　　) A.30°　 B.90° C.120°　 D.180° √ 解析：因为ABCD是正方形，所以向量与的夹角是90°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.下列结论正确的是 (　　) A.零向量的大小为0，没有方向 B.||=|| C.起点相同的单位向量，终点必相同 D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；由于与方向相反，长度相等，故B正确；起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，且==，||=||，则(　　) A.AC⊥BD B.四边形ABCD是梯形 C.四边形ABCD是菱形 D.四边形ABCD是矩形 √ 解析：由==，||=||，知四边形ABCD的对角线互相平分且相等，所以四边形ABCD为矩形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若a≠b，则|a|≠|b| B.若a=b，则a∥b C.若|a|>|b|，则a>b D.若|a|=0，则a=0 √ √ 解析：当a=-b时，不满足|a|≠|b|，A错误；若a=b，则a∥b，B正确；若|a|>|b|，则a与b不能比较大小，C错误；若|a|=0，则a=0，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心， C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||=2，则|| 等于(　　) A.1 B. C. D.2 √ 解析：如图，连接AC，由||=||，得∠ABC=∠OCB=30°.因为C为半圆上的点，所以∠ACB=90°.所以||=||=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)， 若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模 为的向量共有(　　) A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据相同的向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论一定成立的是 (　　) A.||=|| B.||=|| C.= D.=- √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：∵四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180°，即D，C，E三点共线，∴AB=EF，CD=FG，AB∥DC∥HG∥HF，即||=||，=-与共线，且||=||，A、B、D正确；若与共线，则必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，该条件不一定成立，如∠GCE=90°时，∠HED≠45°，故与共线不一定成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则=____.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量共线的向量为_________；与向量的夹角为120°的向量为______________.(填图中所画出的向量)  解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA=OB=OC.∴结合共线向量及向量夹角的定义可知与共线的向量为；与的夹角为120°的向量为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与相等的向量为_______________，的相反向量为____________________.  　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为四边形EFGH为正方形，所以EF=FG=GH=HE， 且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点， 所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有. 的相反向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知线段AB被n(n≥2)等分，等分点分别为M1，M2，M3，…，Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量?(5分) 解：当n=4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，构成互不相等的非零向量.当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，总共有8个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求互不相等的非零向量的总数，用n表示.(5分) 解：由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A，B，C，D，O}，向量集合T={|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：由题可知，S中任意两点连成的有向线段共有20个， 即 .由平行四边形的性质可知， 共有8对向量相等， 即======= =.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $