5.4 随机事件的独立性-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“随机事件的独立性”，涵盖定义、概率公式、性质及推广，采用习题讲评式拓展融通课，通过古典概型复习导入，对比互斥事件构建知识支架，衔接前后概率知识体系。 其亮点是多维理解（如分组选人、取球情境判断独立事件）与思维建模（分步骤计算概率），结合数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）。实例丰富（如棒球对抗赛、停车付费问题），助力学生提升应用意识，教师可直接用题型系统与检测题，提高教学效率。

5.4 随机事件的独立性 (教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学) 课时目标 了解两个事件独立性的含义,结合古典概型,会利用事件的独立性计算概率. 1.事件的独立性 设A,B为两个事件,若P(A∩B)=___________,则称事件A,B相互独立,简称独立. 2.独立事件的概率公式 若事件A,B独立,则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=_________. 3.相互独立事件的性质 若事件A,B相互独立,则____与____;与____,与____也独立. P(A)P(B) P(A)P(B) A B 4.推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2,n∈N+)个事件的相互独立性,即若事件A1, A2,…, An相互独立,则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=__________________. P(A1)P(A2)…P(An) CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　相互独立事件的判断 题型(二)　相互独立事件概率的计算 题型(三)　相互独立事件 概率的综合应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　相互独立事件的判断 01 多维理解 [例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”; 解：“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件. (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”. 解：“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为,若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以两者不是相互独立事件. |思|维|建|模|　 相互独立事件与互斥事件的关系 A,B关系 概率记法 A,B互斥 A,B相互独立 至少一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) 1-P()P() 同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 都不发生 P( ) 1-[P(A) +P(B)] P()P() 恰有一个发生 P(A+B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) 至多一个发生 P(B+A+ ) 1 1-P(A)P(B) 续表 针对训练 1.判断下列各对事件哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件. (1)掷一枚骰子一次,事件M：“出现的点数为奇数”;事件N：“出现的点数为偶数”. 解：∵二者不可能同时发生,∴M与N是互斥事件. (2)掷一枚骰子一次,事件A：“出现偶数点”;事件B：“出现3点或6点”. 解：样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6}, ∴P(A)==,P(B)==,P(AB)==×,即P(AB)=P(A)P(B).故事件A与B相互独立.当“出现6点”时,事件A,B可以同时发生,因此,A,B不是互斥事件. 题型(二)　相互独立事件 概率的计算 02 [例2]　甲、乙两位队员进行棒球对抗赛,每局依次轮流发球,连续赢2个球者获胜,则对抗赛结束.不论谁发球,每个球必有输赢.已知甲发球时甲赢的概率为,乙发球时乙赢的概率为,每次发球的结果互不影响,已知某局甲先发球. (1)求该局至多打4个球且甲赢的概率; 解：该局至多打4个球且甲赢的情况有3种,甲赢前2个球;甲输第1个球再连赢球;甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球. 故该局至多打4个球且甲赢的概率为×+××+×××=. (2)求该局恰好打6个球结束的概率. 解：若甲胜,则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜,则甲胜的概率P1=×××××=. 若乙胜,则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负,则乙胜的概率P2=×××××=. 所以该局恰好打6个球结束的概率P=P1+P2=+=. |思|维|建|模| (1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的; ②确定这些事件可以同时发生; ③求出每个事件的概率,再求积. (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们同时发生. 针对训练 2.某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队,要求选拔过程分前后两次进行,当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔,两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平,第一次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4;第二次选拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5. (1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率; 解：分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1,B1,设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格, 则P(E)=P(A1)=0.5×0.4=0.2. (2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后,恰有一人合格的概率. 解：分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A,B,C,事件F表示经过前后两次选拔后,恰有一人合格,则P(A)=0.5×0.6=0.3,P(B)=0.6×0.5=0.3,P(C)=0.4×0.5=0.2, 所以P(F)=P(A　)+P(B)+P(　C)=0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2=0.434. 题型(三)　相互独立事件 概率的综合应用 03 [例3]　为了庆祝“五四”青年节,某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛,由甲、乙两队参与竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.假设甲队每人回答问题正确的概率均为,乙队每人回答问题正确的概率分别为,,,且两队各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率; 解：记“甲队总得分为3分”为事件A,“甲队总得分为1分”为事件B, 甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=××=. 甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人回答错误, 其概率为P(B)=××+××+ ××=. 故甲队总得分为3分与1分的概率分别为,. (2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率. 解：记“甲队总得分为2分”为事件C,“乙队总得分为1分”为事件D, 事件C即甲队有2人答对,其余1人答错, 则P(C)=××+××+××=. 事件D即乙队只有1人答对,其余2人答错, 则P(D)=××+××+× ×=. 由题得事件C与事件D相互独立, 所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为P(CD)=P(C)P(D)=×=. |思|维|建|模| 求较复杂事件的概率的一般步骤 (1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示. (2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式. (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率. 针对训练 3.某停车场临时停车按停车时长收费,收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费,超过半小时的部分每小时收费3元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人在该停车场临时停车,两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时. (1)若甲停车的时长在不超过半小时,半小时以上且不超过1.5小时,1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同,乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同,求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率; 解：设甲停车付费a元,乙停车付费b元,其中a,b∈{0,3,6}. 所以甲、乙两人停车付费(a,b)的所有可能情况为(0,0),(0,3),(0,6),(3,0),(3,3),(3,6),(6,0),(6,3),(6,6),共9种. 其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”包含(0,6),(3,3),(6,0),共3种情况, 故甲、乙两人停车付费之和为6元的概率为=. (2)若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为,,停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为,,求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率. 解：设甲停车的时长不超过半小时、乙停车的时长不超过半小时分别为事件A1,B1, 甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时、乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件A2,B2, 甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时、乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件A3,B3, 则P(A1)=1-P(A2)-P(A3)=1--=,P(B1)=1-P(B2)-P(B3)=1--=, 所以甲、乙两人临时停车付费相同的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=×+×+×=. 所以甲、乙两人临时停车付费不相同的概率为1-=. 课时跟踪检测 04 1.周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是(　　) A.0.80 B.0.75 C.0.60 D.0.48 √ 解析：设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,且P(AB)=P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.故选B. 2.在某道路的A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这段道路上匀速行驶,则在这三处都不停车的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××=. 3.甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛,比赛采取三场两胜制(当一个班获得两场胜利时,该班获胜,比赛结束),假设每场比赛甲班获胜的概率为,每场比赛结果互不影响,则甲班最终获胜的概率为(　　) A. B. C. D. √ 解析：甲班最终获胜有三种情况：①甲班前两场获胜;②甲班第1场和第3场获胜,第2场输;③甲班第1场输,第2场和第3场获胜.故甲班最终获胜的概率为+××+×=. 4.(多选)已知A,B是一个随机试验中的两个随机事件,若P(AB)=,P(A)=,P(B)=,则(　　) A.事件A与B互为对立 B.事件A与B相互独立 C.P(A∪B)= D.P()= √ √ 解析：因为P(AB)=≠0,所以事件A与B不互斥,所以事件A与B不互为对立,A错误;因为P(A)P(B)=×=,所以P(AB)=P(A)P(B).所以事件A与B相互独立,B正确;P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,C正确;P()=1-P(AB)=1-=,D错误. 5.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立,则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　) A.0.25 B.0.30 C.0.31 D.0.35 √ 解析：设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.6,P(B)=P(C)=0.5,P(D)=0.4,恰好3人使用设备的概率P1=P(BCD∪ACD∪ABD∪ABC)=(1-0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1-0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1-0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1-0.4)=0.25,4人使用设备的概率P2=P(ABCD)=0.6×0.5×0.5×0.4=0.06,故所求概率P=P1+P2=0.25+0.06=0.31.故选C. 6.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘,记 转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针 停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数 对(x,y)中,满足xy=4的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：满足xy=4的所有可能为x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.∴所求事件的概率为P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=×+×+×=. 7.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意知,P()·P()=,P()·P(B)=P(A)·P(). 设P(A)=x,P(B)=y, 则即∴x2-2x+1=. ∴x-1=-,或x-1=(舍去).∴x=. 8.（5分）已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的概率为　　　　.  0.009 解析：3人向目标各发1枪,由相互独立事件的概率计算公式,得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009. 9. （5分）加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为　　　　.  解析：加工出来的零件的正品率是××=,因此加工出来的零件的次品率为1-=. 10. （5分）甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概率是　　　,三人中至少有一人达标的概率是　　　.  0.24 0.96 解析：由题意可知三人都达标的概率为P=0.8×0.6×0.5=0.24;三人中至少有一人达标,概率为P'=1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.96. 11. （5分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出2个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　.  0.128 解析：由已知条件知,第2个问题答错,第3,4个问题答对,记“问题回答正确”事件为A,则P(A)=0.8,故P=P[(A+)AA]=[1-P(A)]·P(A)·P(A) =0.128. 12.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求： (1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率; （4分） 解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5; 记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6; 记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”; 记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”; 记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”. 易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3. (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率; （3分） 解：易知D=(A)∪(B),则P(D)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率. （3分） 解：易知= ,则P()=P( )=P()P()=0.5×0.4=0.2.故P(E)=1-P()=0.8. 13.(15分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p,乙发球时甲得分的概率为,各球的结果相互独立.已知在某局双方10∶10平后,甲先发球. (1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为,求p的值; （5分） 解：由题意可知,甲先发球,两人又打了2个球该局比赛结束,所对应的事件为A=“甲连赢两球或乙连赢两球”,所以P(A)=p×+(1-p)× =,解得p=,即p的值为. (2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率. （10分） 解：由题意可知,若两人又打了4个球且甲获胜,所对应的事件为B=“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,因为甲发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为1-=,乙发球时甲得分的概率为,乙得分的概率为1-=,所以P(B)=××=. 14.(15分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,每轮比赛甲、乙各射击一次,已知甲中靶的概率为,乙中靶的概率为,每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响,求下列事件的概率： (1)第一轮射击中恰好有一人中靶; （5分） 解：记每轮比赛中,“甲中靶”为事件A,“乙中靶”为事件B, 则P(A)=,P()=1-=,P(B)=, P()=1-=, 记“第一轮射击中恰好有一人中靶”为事件M, 则包含事件甲中靶乙不中靶,或甲不中靶乙中靶, 所以P(M)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=, 所以第一轮射击中恰好有一人中靶的概率为. (2)经过两轮射击,两人共中靶3次. （10分） 解：记“经过两轮射击,两人共中靶3次”为事件N, 则P(N)=P(BAB)+P(AAB)+P(ABB)+P(ABA)=P()P(B)P(A) P(B)+P(A)·P()P(A)P(B)+P(A)P(B)P()P(B)+P(A)P(B)P(A)P() =2[P()P(B)P(A)P(B)+P(A)P()P(A)P(B)] =2×=, 所以经过两轮射击,两人共中靶3次的概率为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $