5.3 用频率估计概率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“用频率估计概率”，核心知识点包括频率的稳定性、利用频率估计概率的方法及实际应用。通过逐点理清式教学，从频率定义出发，逐步讲解频率与概率的关系、估计步骤，构建从具体到抽象的学习支架，衔接概率初步认知与实际应用。 其亮点在于结合大量生活实例（如产品合格率、冷饮需求统计等），通过“微点练明”和跟踪检测题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析频率与概率关系、用数学语言表达结论的核心素养。逐点突破的教学方法帮助学生扎实掌握知识，教师使用时能提升教学效率，学生则增强应用意识与实践能力。

5.3　 用频率估计概率 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 课时目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性、随机模拟的含义,会用频率估计概率. 2.理解概率的意义,会用概率的知识解释现实生活中的概率问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　频率的稳定性 逐点清(二)　利用频率估计概率 逐点清(三)　频率与概率的实际应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　频率的稳定性 01 1.频率 设Ω是某个试验的样本空间, A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次,则称 Fn(A)=_______________________是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 多维理解 2.频率与概率的关系 在相同的条件下,将一试验独立重复n次,若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率,则当n增加时,Fn(A)将向一个固定的数值p靠近,这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的估计. 微点练明 1.某工厂生产的产品的合格率是99.99%,这说明 (　　) A.该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件 B.该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件 C.该厂生产的10 000件产品中没有不合格的产品 D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99% √ 解析：该厂生产的10 000件产品中不合格的产品不一定有1件,可能是多件或者没有,故A错误;该厂生产的10 000件产品中合格的产品不一定是9 999件,故B错误;该厂生产的10 000件产品中可能有不合格产品,故C错误;该厂生产的产品合格的可能性是99.99%,故D正确.故选D. 2.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的 (　　) A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近于8 √ 解析：做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故=为事件A的频率. 3.下列关于概率和频率的叙述中正确的有　　　　.(填序号)  ①随机事件的频率就是概率; ②随机事件的概率是一个确定的数值,而频率不是一个固定的数值; ③频率是客观存在的,与试验次数无关; ④概率是随机的,在试验前不能确定; ⑤概率可以看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小,而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率. ②⑤ 解析：随机事件的频率是概率的近似值,频率不是概率,故①错误;随机事件的频率不是一个固定的数值,而概率是一个确定的数值,故②正确;频率是随机的,它与试验条件、次数等有关,而概率是确定的值,与试验次数无关,故③④错误;由频率与概率的关系可知⑤正确. 逐点清(二)　利用频率估计概率 02 多维理解 1.用频率估计概率 如果随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验的次数n很大时,可以将事件A发生的频率作为事件A的概率的近似值. 2.用频率估计概率的步骤 (1)确定随机事件A的频数nA; (2)由Fn(A)=计算频率Fn(A)(n为试验的总次数); (3)由频率Fn(A)估计概率P(A). 微点练明 1.一批瓶装纯净水,每瓶标注的净含量是550 mL,现从中随机抽取10瓶,测得各瓶的净含量为(单位：mL)： 若用频率分布估计总体分布,则该批纯净水每瓶净含量在547.5~552.5 mL之间的概率估计为 (　　) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.7 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 √ 解析：从数据可知,在随机抽取的10瓶水中,净含量在547.5~552.5 mL之间的瓶数为7,频率为=0.7,由频率分布估计总体分布,可知该批纯净水中,净含量在547.5~552.5 mL之间的概率为0.7.故选D. 2.某超市计划按月订购一种冷饮,根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25 ℃,需求量为600瓶;如果最高气温位于区间[20 ℃,25 ℃)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20 ℃,需求量为100瓶.为了确定6月份的订购计划,统计了前三年6月份各天的最高气温数据,得到下面的频数分布表： 最高气温 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 3 6 25 38 18 将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率,若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1,则x= (　　) A.100 B.300 C.400 D.600 √ 解析：由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.1,所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1. 3.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计,统计结果如下表所示： 分组 [0, 900) [900, 1 100) [1 100, 1 300) [1 300, 1 500) [1 500, 1 700) [1 700, 1 900) [1 900, +∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率               (1)将各组的频率填入表中; 解：频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率. 解：样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48+121+208+223=600. 所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是=0.6, 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. 逐点清(三)　频率与概率 的实际应用 03 1.(多选)甲、乙两人做游戏,下列游戏公平的是 (　　) A.抛一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7则甲胜,否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜 D.甲、乙两人从1~10中各写一个整数,若是同奇或同偶则甲胜,否则乙胜 √ √ √ 解析：对于A、C、D,甲胜、乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等,但点数等于7时乙胜,所以甲胜的概率小,游戏不公平. 2.某商场为提高服务质量,用简单随机抽样的方法从该商场调查了60名男顾客和80名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,结果如表所示. (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; 项目 满意 不满意 男顾客 50 10 女顾客 50 30 解：估计男顾客对该商场服务满意的概率为=;女顾客对该商场服务满意的概率为=. (2)估计顾客对该商场满意的概率; 解：估计顾客对该商场满意的概率为=. (3)若该商场一天有2 100名顾客,大约有多少人对该商场的服务满意? 解：2 100×=1 500(人),所以约有1 500人对该商场的服务满意. (4)通过以上数据能否说明顾客对该商场的服务是否满意与性别有关?并说明理由. 解：由(1)知男顾客对该商场服务满意的比例约为≈0.833, 女顾客对该商场服务满意的比例约为=0.625, 因为这两个比例相差较大,所以可以认为顾客对该商场的服务是否满意与性别有关. 3.有A,B两种乒乓球,A种乒乓球的次品率是1%,B种乒乓球的次品率是5%. (1)甲同学买的是A种乒乓球,乙同学买的是B种乒乓球,但甲买到的是次品,乙买到的是正品,从概率的角度如何解释? 解：因为A种乒乓球的次品率是1%,所以任选一个A种乒乓球是正品的概率是99%.同理,任选一个B种乒乓球是正品的概率是95%.因为99%>95%,所以“买一个A种乒乓球,买到的是正品”的可能性比“买一个B种乒乓球,买到的是正品”的可能性大, 但并不表示“买一个A种乒乓球,买到的是正品”一定发生,乙买一个B种乒乓球,买到的是正品,而甲买一个A种乒乓球,买到的却是次品,即可能性较小的事件发生了,而可能性较大的事件却没有发生,这正是随机事件的不确定性的体现. (2)如果你想买到正品,应选择购买哪种乒乓球? 解：因为任意选取一个A种乒乓球是正品的可能性为99%,所以如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验,“买到的是正品”的频率会稳定在0.99附近.同理,做大量重复买一个B种乒乓球的试验,“买到的是正品”的频率会稳定在0.95附近.因此若希望买到的是正品,则应选择购买A种乒乓球. 课时跟踪检测 04 1.在天气预报中,有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”,这是指 (　　) A.明天该地区有85%的地区降水,其他15%地区不降水 B.明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水 C.气象台的专家中,有85%的人认为会降水,另外15%的专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为85% √ 解析：概率的本质含义是事件发生的可能性大小,所以D正确. 2.根据统计,某篮球运动员在1 000次投篮中,命中的次数为560次,则该运动员 (　　) A.投篮命中的频率为0.56 B.投篮10次至少有5次命中 C.投篮命中的概率为0.56 D.投篮100次有56次命中 √ 解析：由题意可知投篮命中的频率为=0.56,得到的频率可能比概率大,也可能小于概率,也可能等于概率,故A正确,C错误;投篮10次或100次相当于做10次或100次试验,每一次的结果都是随机的,其结果可能一次没中,或者多次投中等,频率、概率只反映事件发生的可能性的大小,不能说明事件是否一定发生,故B、D错误.故选A. 3.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.一个人打靶,打了10发子弹,有6发子弹中靶,因此这个人中靶的概率为0.6 B.某地发行福利彩票,其回报率为47%,有个人花了100元钱买彩票,一定会有47元回报 C.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则乙与甲中奖的可能性相同 D.大量试验后,可以用频率近似估计概率 √ √ 解析：某人打靶,射击10次,击中6次,那么此人中靶的频率为0.6,故A错误;买彩票是一个随机事件,中奖或者不中奖都有可能,但事先无法预料,故B错误;根据古典概型的概率公式可知C正确;大量试验后,可以用频率近似估计概率,故D正确. 4.在这个热“晴”似火的7月,多地持续高温,某市气象局发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上),在今后的3天中,每一天最高气温37摄氏度以上的概率是.某人用计算机生成了20组随机数,结果如下： 116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027 若用0,1,2,3,4表示高温橙色预警,用5,6,7,8,9表示非高温橙色预警,则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有12个,分别为116,812,730,452,125,217,109,361,284,147,318,027,则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是=. 5.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表： 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 (　　) A. B. C. D. 满意状况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 √ 解析：由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300.所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为=.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为. 6.(多选)支气管炎患者会咳嗽失眠,给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%,中年患者治愈率为30%,青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者,500名中年患者,400名青年患者,则 (　　) A.若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本,老年患者应抽取12人 B.该医院青年患者所占的频率为 C.该医院的平均治愈率为28.7% D.该医院的平均治愈率为31.3% √ √ √ 解析：由分层抽样可得,老年患者应抽取30×=12人,故A正确;青年患者所占的频率为=,故B正确;医院的平均治愈率为≈28.7%,故C正确,D错误. 7.（5分）在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生,从中抽选4个,并选出2个男生2个女生”的概率时,可让计算机产生1~9的随机整数,并且1~4代表男生,用5~9代表女生.因为是选出4个,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是　　　　　　　　　　　　　.  选出的4人中,只有1个男生 解析：用1~4代表男生,用5~9代表女生,4678表示1个男生3个女生. 8. （5分）某种福利彩票的中奖概率为0.1%,若某人买这种彩票999次,均未中奖,则此人第1 000次买这种彩票中奖的概率为　　　.  0.1% 解析：概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率,“某彩票的中奖概率为0.1%”意味着购买彩票中奖的可能性为0.1%. 9. （5分）某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检,共抽检了100套,发现有2套次品,则该厂所生产的2 500套座椅中大约有　　套次品.  50 解析：设该厂所生产的2 500套座椅中大约有n套次品,由概率的统计定义知,=,解得n=50,所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品. 10. （5分）有m个大小相同的球共有3种颜色,已知红色球为4个,任取一个出现黑色球的频率为0.35,出现白色球的频率为0.45,则m的值为　　　.  20 解析：因为任取一个出现黑色球的频率为0.35,出现白色球的频率为0.45,所以任取一个出现红色球的频率为1-0.35-0.45=0.2,故m==20. 11.(10分)种子公司在春耕前为了支持农业建设,采购了一批稻谷种子,进行种子发芽试验,在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽,他们要求种子的发芽率在95%以上,你认为这批种子合格吗? 解：合格,理由如下,“种子发芽”这个事件发生的频率为=0.981,约为0.98.由于试验的种子总数很大,因此我们可以用它近似地估计其发生的概率,所以“种子发芽”这个事件发生的概率约为0.98=98%>95%.故这批种子合格. 12.(15分)如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下： 所用时间(单位：分) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;(3分) 解：由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人), 所以用频率估计概率可知,P==0.44. 解：选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为 所用时间(单位：分) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (5分) (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. (7分) 解：设A1,A2分别表示事件“甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站”,B1,B2分别表示事件“乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站”. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5. 因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1. 同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9. 因为P(B1)<P(B2),所以乙应选择L2. 13.(15分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表： 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (5分) 解：这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25 ℃.由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率. (10分) 解：当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25 ℃,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20 ℃,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以Y的所有可能值为900,300,-100,Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃.由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $