5.1.2 事件的运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦“事件的运算”，涵盖事件关系（包含、互斥、对立等）与运算（交、并、差）核心知识点。课前通过表格梳理定义、符号及图示帮助学生自主落实基础，课堂以梯度进阶式教学，通过例题与变式拓展实现从概念理解到迁移应用的衔接，构建完整学习支架。 其亮点在于运用维恩图和集合类比培养数学眼光，通过“思维建模”总结互斥对立判断、事件运算等方法发展数学思维，符号化表达强化数学语言。如例1辨析互斥与对立事件，例2用集合关系表示运算，助力学生提升逻辑推理能力，教师可依托结构化资源高效开展分层教学。

5.1.2 事件的运算 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 理解事件的关系和运算.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.事件的关系   定义 符号表示 图示 包含 关系 如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的_____________都在B中，则称A包含于B，或B包含A ________________ 相等 关系 对于事件A，B，如果______，且______，则称A与B等价，或称A与B相等 ______________ 每个样本点 A⊆B A⊆B B⊆A A=B 事件 A，B 互斥 如果事件A∩B为___________，则称事件A，B互斥(或互不相容).如果事件A1，A2，…，An中任意两个_________，则称它们两两互斥 _________ 对立 事件 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件 续表 不可能事件 都互斥 A∩B=∅ Ω\A或 |微|点|助|解|　 (1)互斥事件与对立事件的区别与联系 ①区别：两个事件A与B是互斥事件，包括以下三种情况：事件A发生，事件B不发生；事件B发生，事件A不发生；事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件时，A∪B不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个. ②联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立. (2)从集合的角度理解互斥事件与对立事件 ①几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.事件的运算 事件A 与B的 交(或积) 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B_________，则称该事件为事件A与B的交(或积)，记作________ (或_____).事件A∩B由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成.显然有Ω∩A=____.如图 同时发生 A∩B AB A 事件A 与B的并 (或和) 如果某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称该事件为事件A与B的并(或和)，记作A∪B(或A+B).事件A∪B由至少属于事件A或B之一的样本点组成，且∅∪A=____.如图 事件A 与B的差 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B_________，则称该事件为事件A与B的差，记作A\B.显然，A\B由属于事件A但不属于事件B的样本点组成.如图 续表 或 A 不发生 3.概率论中事件的运算性质 (1)A∪B=________，A∩B=_______； (2)(A∪B)∪C=____________，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)； (3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)； (4)=∩=_______. B∪A B∩A A∪(B∪C) ∪ 基础落实训练 1.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶 √ 解析：由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们为互斥事件. 2.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数是1或2”，事件B=“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为 (　　) A.A∪B B.A∩B C.A⊆B D.A=B √ 解析：由题意可得A={1，2}，B={2，3，4}，∴A∩B={2}. 3.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为　　　　　.  B∪D∪E 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　事件的关系 [例1]　从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件. ①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”； ②“至少有1件次品”和“全是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”. 解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件； 同理可以判断： ②中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件； ③中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件. |思|维|建|模| 　　判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件. 针对训练 1.(多选)从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是 (　　) A.A与B互斥且为对立事件 B.B与C互斥且为对立事件 C.A与C存在有包含关系 D.A与C不是对立事件 √ √ √ 解析：取出的三件产品分类为M=“三件产品全是正品”，N=“两件正品，一件次品”，P=“一件正品，两件次品”，Q=“三件产品全是次品”，它们之间两两互斥.于是A=M，B=Q，C=M∪N∪P，所以A与B互斥但不对立，A错误；B、C、D正确. 2.掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系. 解：当事件A发生时，事件C一定发生， 当事件B发生时，事件C一定发生， 因此有A⊆C，B⊆C； 当事件A发生时，事件B一定不发生， 当事件B发生时，事件A一定不发生， 因此事件A与事件B之间不存在包含关系. 综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C. 题型(二)　用集合关系表示事件的运算 [例2]　盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A={3个球中有1个红球2个白球}，事件B={3个球中有2个红球1个白球}，事件C={3个球中至少有1个红球}，事件D={3个球中既有红球又有白球}. 求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系? 解：对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故A⊆D，B⊆D，且D=A∪B. (2)事件C与A的交事件是什么事件? 解：对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A=A. [变式拓展] 　在本例中，设事件E={3个红球}，事件F={3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系?C与F的交事件是什么? 解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C；事件F包括的可能结果有1个白球2个红球或2个白球1个红球或3个白球，所以C∩F={1个红球2个白球，2个红球1个白球}=D. |思|维|建|模| 事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算. 针对训练 3.掷一个骰子，下列事件：A={出现奇数点}，B={出现偶数点}，C={出现点数小于3}，D={出现点数大于2}，E={出现点数是3的倍数}.求： (1)A∩B，B∩C； 解：A={出现奇数点}={1，3，5}，B={出现偶数点}={2，4，6}，C={出现点数小于3}={1，2}. A∩B=∅，B∩C={2}. (2)A∪B，B∪C； 解：A∪B={1，2，3，4，5，6}，B∪C={1，2，4，6}. (3)记是事件H的对立事件，求∩C，∪C，∪. 解：∵D={出现点数大于2}={3，4，5，6}，E={出现点数是3的倍数} ={3，6}，={2，4，6}，={1，3，5}，={1，2，4，5}，∴= {1，2}，∩C={2}，∪C={1，2，3，5}，∪={1，2，4，5}. 题型(三)　随机事件运算的含义 [例3]　从某大学数学系图书室中任选一本书.设A={数学书}，B={中文版的书}，C={2000年后出版的书}.问： (1)A∩B∩表示什么事件? 解：由题意知A={数学书}，B={中文版的书}，C={2000年后出版的书}，所以A∩B∩={2000年或2000年前出版的中文版的数学书}. (2)在什么条件下有A∩B∩C=A? 解：由题意知A={数学书}，B={中文版的书}，C={2000年后出版的书}，可得在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下，才有A∩B∩C=A. (3)⊆B表示什么意思? 解：由题意知B={中文版的书}，C={2000年后出版的书}，可得⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的. (4)如果=B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的? 解：是.由题意知A={数学书}，B={中文版的书}，可得=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书，=B等价于=A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的. |思|维|建|模|　 随机事件的运算与集合运算的对应关系 符号 事件的运算 集合的运算 A 随机事件 子集 A的对立事件 A的补集 AB 事件A与B的交事件 集合A与B的交集 A∪B 事件A与B的并事件 集合A与B的并集 针对训练 4.记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A，B，C，D，指出下列事件的含义： (1)A∪B∪C； 解：∵A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A∪B∪C=射中10环或9环或8环. (2)B∩； 解： ∵C=射中8环，∴=射中环数不是8环，则B∩=射中9环. (3). 解： ∵B∪C∪D=射中9环或8环或7环， ∴=射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环. 课时跟踪检测 03 1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是(　　) A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球 √ 解析：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球，∵白球共有2个，∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.故选B. 2.该学生说：“本周我至少做完三套练习题.”设该学生所说的事件为A，则A的对立事件为 (　　) A.至多做完三套练习题 B.至多做完两套练习题 C.至多做完四套练习题 D.至少做完两套练习题 √ 解析：至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题. 3.(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A={两弹都击中飞机}，事件B={两弹都没击中飞机}，事件C={恰有一弹击中飞机}，事件D={至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是 (　　) A.A⊆D B.B∩D=∅ C.A∪C=D D.A∪C=B∪D √ √ √ 解析： “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪C≠B∪D. 4.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则 (　　) A.A⊆B B.A=B C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3 √ 解析：由题意，可知A={1，2}，B={2，3}，则AB={1}，A+B={1，2，3}， ∴A+B表示向上的点数为1或2或3. 5.设A，B为两个事件，则(A∪B)(∪)表示(　　) A.必然事件 B.不可能事件 C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生 √ 解析：∵A∪B表示事件A，B至少有1个发生，∪表示事件A，B至少有一个不发生， ∴(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生. 6.(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是(　　) A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生” √ √ 解析：A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件，当选出的两人是一男一女时，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生；C不是互斥事件；D是互斥事件. 7.同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 (　　) A.一个是5点，另一个是6点 B.一个是5点，另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 √ 解析：同时掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. 8.（5分）在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件AB的含义是　　　　　　　　　　　　　　　.  该生是大三男生，但不是运动员 解析：A表示男生，AB表示大三男生，AB表示大三男生且该生不是运动员. 9. （5分）同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和是2，3，4，…，11，12中的一个.记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为　　　　.  A∩B∩ 解析：∵事件A={2，4，7，12}，事件B={2，4，6，8，10，12}，∴A∩B={2，4，12}.又C={9，10，11，12}，∴A∩B∩={2，4}. 10. （5分）从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  {10，20，30，40，50，32，42，52，54} 解析：从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数，所有的样本点为10，12，13，14，15，20，21，23，24，25，30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25个， 则事件A={10，12，14，20，24，30，32，34，40，42，50，52，54}， 事件B={10，20，30，40，50，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54}， 故事件A∩B用样本点表示为{10，20，30，40，50，32，42，52，54}. 11. （5分）如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. (用B，C，D间的运算关系式表示)  (BC)∪(BD)(或(BC)+(BD)或B∩(C∪D)或B(C+D)) 解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩(C∪D)或B(C+D)；也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表示为(BC )∪(BD)或(BC )+(BD). 12.(10分)连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同}，事件B={两次出现的点数之和为4}，事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D={两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；（6分） 解：由题意得，事件A={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，事件B={(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件C={(1，5)，(2，6)，(5，1)， (6，2)}，事件D={(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}. C∩D={(1，5)，(5，1)}，A∪B={(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}. (2)若事件E={(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(5，1)，(6，2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系? （4分） 解：E=B∪C. 13.(15分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak=“甲组有k名女生”. (1)事件A1含有多少个样本点? （5分） 解：用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1=“甲组有1名女生”，所以A1={(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)， (1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12个样本点. (2)若事件B=“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系? （5分） 解：事件B=“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B=A1∪A2. (3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系? （5分） 解：因为A2与A0∪A1是对立事件，所以=A0∪A1，所以∪A0=A0∪A1，所以事件A2与事件∪A0是对立事件. 14.(15分)连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A=“第一次掷出1点”，事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6，事件B=“2次掷出的点数之和为6”，事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；（5分） 解：试验的样本空间为Ω={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)， (3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)， (4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)， (5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}. 因为事件A=“第一次掷出1点”， 所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)， (1，6)，即A={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}. 因为事件B=“2次掷出的点数之和为6”， 所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即B={(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}. 所以A∩B={(1，5)}，A∪B={(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}. (2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；（5分） 解：因为事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C={(1，4)，(2，5)，(3，6)}. 因为A∩B={(1，5)}≠∅，A∩C={(1，4)}≠∅，B∩C=∅， 所以事件A与事件B，事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件. (3)试用事件Aj表示随机事件A. （5分） 解：因为事件Aj=“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j=1，2，3，4，5，6， 所以A1={(1，1)}，A2={(1，2)}，A3={(1，3)}，A4={(1，4)}，A5= {(1，5)}，A6={(1，6)}， 所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $