4.1.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的定义、结构特征及简单组合体、旋转体计算，通过“逐点清”模块从圆柱到球逐步展开，以定义→特征→应用为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于“多维理解”结合图形旋转定义培养几何直观（数学眼光），“微点练明”通过辨析题训练推理能力（数学思维），“思维建模”归纳相似比等计算方法（数学语言）。实例如圆柱母线辨析、圆台母线长计算，助力学生建立空间观念，教师可直接用于结构化教学提升效率。

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 (教学方式：基本概念课——逐点理清式教学) 第2课时 课时目标 1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征. 3.能运用圆柱、圆锥、圆台、球的特征描述现实生活中简单物体的结构. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　圆柱的结构特征 逐点清(二)　圆锥、圆台、 球的结构特征 逐点清(三)　简单组合体 4 逐点清(四)　旋转体的有关计算 3 课时跟踪检测 逐点清(一)　圆柱的结构特征 01 多维理解 如图，将矩形ABCD(及其内部)绕其___________所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆柱，_______________叫作圆柱的轴，由_____ _______________而成的圆面叫作圆柱的底面，由________________而成的曲面叫作圆柱的侧面，边CD叫作圆柱的一条______.图中的圆柱记作圆柱AB. 一条边AB 边AB所在直线 边AD 和BC绕轴旋转 边CD绕轴旋转 母线 |微|点|助|解|　 圆柱的结构特征 (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等. (2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆. (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形. (4)过任意两条母线的截面是矩形. 微点练明 1.给出下列命题：①圆柱的底面是圆;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;④圆柱的任意两条母线互相平行.其中真命题的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析：圆柱的底面是圆，故①正确;圆柱任意两条母线的截面是矩形，故②正确;连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段，必须是平行圆柱轴的才是母线，故③错误;圆柱的母线是相互平行的，故④正确.综上所述，正确的命题个数是3，故选C. 2.(多选)下列关于圆柱的说法正确的是 (　　) A.圆柱的所有母线长都相等 B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面 C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面 D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 √ √ √ 解析：圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，故A正确;用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，故B正确;用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，故C错误;一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，故D正确. 3.若圆柱的母线长为10，则其高为____.  10 解析：圆柱的母线长与高相等，则其高等于10. 逐点清(二)　圆锥、圆台、 球的结构特征 02 多维理解 1.圆锥的结构特征 (1)定义：如图，将直角三角形ABC(及其内部)绕其_______________所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆锥. 一条直角边AB (2)相关概念：___________________叫作圆锥的轴，点A叫作圆锥的______，由直角边BC绕轴旋转而成的圆面叫作_____________，由斜边AC绕轴旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，_________叫作圆锥的一条母线. (3)记法：圆锥也用表示它的轴的字母来表示，图中的圆锥记作圆锥AB.圆锥与棱锥统称为锥体. 直角边AB所在直线 顶点 圆锥的底面 斜边AC 2.圆台的结构特征 (1)定义：如图，将直角梯形ABCD(及其内部)绕其_________________所在直线旋转一周，所形成的旋转体叫作圆台. 垂直于底边的腰BC (2)相关概念：________________叫作圆台的轴，由_______________绕轴旋转而成的圆面叫作圆台的底面，由腰AD绕轴旋转而成的曲面叫作____________，腰AD叫作圆台的一条母线. (3)记法：图中的圆台记作圆台BC.圆台与棱台统称为台体. 腰BC所在直线 底边AB和CD 圆台的侧面 |微|点|助|解|　 (1)圆台也可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到的圆锥底面与截面之间的几何体. (2)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆. (3)圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形. 3.球(1) 定义及相关概念 如图，将圆心为O的半圆(及其内部)绕其_________________ 旋转一周，所形成的旋转体叫作球，记作球O.半圆的圆弧 旋转一周所形成的______叫作球面(即球的表面)，把点O称 为_____，把原半圆的半径和直径分别称为____________和 __________. 直径AB所在直线 曲面 球心 球的半径 球的直径 (2)球的性质 ①球面上所有的点到球心的距离都______，等于球的______; ②用任何一个平面去截球面，得到的截面都是____，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径______，等于球的______. 相等 半径 圆 最大 半径 微点练明 1.下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是 (　　) √ 解析：根据定义，A中图形形成的是圆台，B中图形形成的是球，C中图形形成的是圆柱，D中图形形成的是圆锥. 2.以下命题正确的是 (　　) A.直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台 √ 解析：直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误;因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误;圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故C正确;当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错误. 3.已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括 (　　) A.一个圆柱、一个圆锥 B.一个圆柱、两个圆锥 C.一个圆台、一个圆柱 D.两个圆柱、一个圆台 √ 解析：直角梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，矩形绕其一边旋转一周得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥，可得几何体为一个圆柱、一个圆锥.故选A. 4.下列说法正确的是 (　　) A.到定点的距离等于定长的点的集合是球 B.球面上不同的三点可能在同一条直线上 C.经过球面上不同的两点只能作一个大圆 D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面 √ 解析：球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，不是球体，故A错误;球面上不同的三点一定不共线，故B错误;过球的直径可以作无数个大圆，故C错误，球心与截面圆心(截面不过球心)的连线必垂直于该截面，故D正确. 逐点清(三)　简单组合体 03 1.简单组合体的定义 由____________组合而成的几何体叫作简单组合体. 2.简单组合体的构成形式 一种是由简单几何体______而成;一种是由简单几何体___________一部分而成. 简单几何体 拼接 截去或挖去 [例1]　如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的? 解：旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的. |思|维|建|模| 判断旋转体结构特征的方法 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得. (2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状. 针对训练 1.描述下列几何体的结构特征. 解：题图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;题图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;题图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体. 逐点清(四)　旋转体的有关计算 04 [例2]　如图，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是4 cm，求圆台O'O的母线长. 解：设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r，4r，过轴SO作截面，如图所示. 则△SO'A'∽△SOA，SA'=4 cm. 所以=，所以=，即=， 解得l=12(cm)，即圆台的母线长为12 cm. 1.把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm”，则它的轴截面的面积是________.  63 cm2 [变式拓展] 解析：作轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM=5-2=3(cm)，AM==9(cm)，所以S四边形ABCD==63(cm2). 2.把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为___.  1 解析：作轴截面，如图，则==，所以r=1. |思|维|建|模| (1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构造相关几何变量的方程(组)而得解. (2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键. 针对训练 2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.0.5 √ 解析：如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1=，r2=2.∵球心到两个截面的距离d1=，d2=，∴d1-d2=-=1.∴R2=9.∴R=3. 课时跟踪检测 05 1.如图所示的图形中有 (　　) A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥 C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球 √ 解析：根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故选B. 2.下列几何体的轴截面一定是圆面的是 (　　) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 √ 解析：圆柱的轴截面为矩形;圆锥的轴截面为等腰三角形;球的轴截面是圆面;圆台的轴截面是等腰梯形.故选C. 3.有下列四个说法，其中正确的是 (　　) A.圆柱的母线与轴垂直 B.圆锥的母线长等于底面圆直径 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 √ 解析：圆柱的母线与轴平行;圆锥的母线长大于底面圆的半径，不一定等于底面圆的直径;圆台的母线延长线与轴相交;球的直径必过球心.故选D. 4.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的 几何体形状为 (　　) A.一个球体 B.一个球体中间挖出一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个长方体 √ 解析：圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，故选B. 5.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是 (　　) A.2 B.2π C.或 D.或 √ 解析：设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr=8，所以r=;同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr=4，所以r=.故选C. 6.(多选)对如图的组合体的结构特征有以下几种说法， 其中说法正确的是 (　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成 √ √ 解析：如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成. 7.我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何?”其意思为：“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺?”(注：1丈等于10尺) (　　) A.29尺 B.24尺 C.26尺 D.30尺 √ 解析：由题意，圆木的侧面展开图如图所示，AB=5， AD=24.E，F分别为AD，BC的中点，则葛藤最少长为AF +EC，即2=26(尺). 8.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.2 √ 解析：设圆台的母线长为l，高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，它们满足关系式l2=h2+(R-r)2，由题意知l=5，R=7，r=6，求得h=2，即两底面之间的距离为2. 9.作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为 (　　) A.2∶1 B.3∶1 C.∶1 D.2∶ √ 解析：如图所示，两圆半径分别为OA，OF，在Rt△AOF中，∠OAF=，∠AFO=，故=.故选A. 10.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括 (　　) A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 √ 解析：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，轴截面如图.故选D. 11. (5分)若圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于___.  5 解析：如图，设圆锥SO的高为h，底面半径为r，母线长为l，则h=r，l=5.又l2=h2+r2，则l2=2r2，即(5)2=2r2，解得r=5. 12. (5分)已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是_____ cm.  8 解析：如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心 之间的距离为d，球半径为R.由示意图易构造出一个直 角三角形，解该直角三角形即可.由已知，R=10 cm， 由πr2=36π cm2，得r=6 cm，所以d===8(cm). 13.(12分)指出图中的几何体是由哪些简单几何体组成的. 解：第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体;第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面)，四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面(可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体)，中间还挖去两个小圆柱. 14.(10分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD⁃A1B1C1D1内接于圆锥(即正方体一个面上的四个顶点在圆锥侧面上)，求这个正方体的棱长. 解：如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的 轴截面， 设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中， 正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.∵△VA1C1∽△VMN， ∴=. ∴x=. 即圆锥内接正方体的棱长为. 15.(15分)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm， 10 cm，母线长AB=20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一 条绳子绕圆台侧面转到点A，求： (1)绳子的最短长度; (7分) 解：如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为 侧面展开图中AM的长度， 设OB=l，∠AOA'=θ， 则θ·l=2π×5，θ·(l+20)=2π×10， 解得θ=，l=20 cm.∴OA=40 cm，OM=30 cm. ∴AM==50(cm). 即绳子的最短长度为50(cm). (2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离. (8分) 解：如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB'于点P，则PQ即为所求的最短距离. ∵OA·OM=AM·OQ，∴OQ=24(cm). 故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $