精品解析：四川凉山州宁南中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

宁南中学2027届高二下期入学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】直线方程可化为：，故直线的一个方向向量为：，因为，所以D对. 故选：D 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线一般式中平行满足的系数关系，即可结合充分不必要条件的定义求解. 【详解】直线与直线平行,则满足 ，解得或， 因此“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：C 3. 已知为等比数列，若，则值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选:B. 4. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】B 【解析】 【分析】由即可判断. 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 5. 若直线与圆相切，则m的值为（ ） A. 21或 B. 或1 C. 5或 D. 或15 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】圆的圆心为圆，半径为2， 由题意可得：，解得或. 故选：D. 6. 在等差数列，中，，其前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 18 C. 30 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列前项和为，利用已知即可计算出，即得，从而得. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，，所以， 故选：D. 7. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 故选：A 8. 已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的左焦点为，不妨设，根据题意分析可得，，结合勾股定理可得，即可得离心率. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 不妨设，则， 因为，且，可知为矩形， 则，， 又因为，， 即， 可得，，则， 在中，， 即，解得， 可得，则， 即，可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 2．焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，三个正确选项的选对一个得2分，两个正确选项的选对一个得3分，有选错的得0分. 9. 记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则有最小值 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列的定义判断即可；对于B，由题设得到即可判断；对于C，由可得数列是公差为的等差数列，举例即可判断；对于D，利用累加法求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 则数列是等差数列，故A正确； 对于B，由，得，则， 即，所以数列是递增数列，故B正确； 对于C，由，则数列是公差为等差数列， 则数列是递减数列， 若，此时随着增大，越来越小，无最小值，故C错误； 对于D，由，， 则 ，， 显然满足上式，则，故D正确. 故选：ABD 10. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】由互斥、相互独立、事件的运算求解即可. 【详解】对于A：若A与B互斥，则，故A正确； 对于B：若，则，故B错误； 对于C：若A与B相互独立，则与也相互独立，则，故C正确； 对于D：，与矛盾，故D错误； 故选：AC 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 焦点到准线的距离是4 C. 最小值为8 D. 若点P的坐标为，则的最小值为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义判断AB选项，根据焦点弦性质判断C选项，利用抛物线定义和距离公式求D选项. 【详解】A项，抛物线，所以，焦点坐标为，即，所以A错误； B项，焦点到准线的距离为，即4，所以B正确； C项，焦点弦MN，由几何性质可知通径最小，为，所以C正确； D项，如图所示，，当M，，P三点共线时有最小值为，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为，，则两人中至少有一人获胜的概率为________. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】先求出两人均没有获胜的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案. 【详解】两人均没有获胜的概率为 故两人中至少有一人获胜的概率为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意有，，由，两边同时平方，利用数量积的性质即可得出. 【详解】由条件，知，，， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）记，求证：数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质求数列的通项公式； （2）先求出，再根据等差、等比数列的性质求； （3）先求出，进而求出，利用的性质证明结论． 【小问1详解】 已知等差数列，设首项为，公差为， 则，解得， ． 【小问2详解】 ， ， ． 【小问3详解】 ， ， ， ． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）根据三角形的面积公式结合题设可得。再利用余弦定理可得，进而求解即可； （3）根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得：， 在中，，则，即， 又，故． 【小问2详解】 由，，则． 由余弦定理，解得， 则的周长为． 【小问3详解】 因为 ， 又因为，所以，则， 所以的取值范围为． 17. 郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 [40,50) 3 [50,60) 3 [60,70) 15 [70,80) 19 [80,90) 35 [90,100) 25 （1）在抽样的100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数； （2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率； （3）如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1） 【答案】（1）32（2）（3）乙 【解析】 【分析】（1）由甲教师分数的频率分布直方图，求得得的值，进而可求得甲教师的评分低于70分的概率，得到甲教师的评分低于70分的人数； （2）由题意，对乙教师的评分在范围内的有3人，设为，对乙教师的评分在范围内的有3人，设为，利用列举法得到基本事件的总数，和恰有2人评分在范围内所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解． （3）由甲教师分数的频率分布直方图和由乙教师的频率分布表，分别求得甲教师和乙教师的中位数，比较即可得到结论． 【详解】解：（1）由甲教师分数的频率分布直方图，得 对甲教师的评分低于70分的概率为 所以，对甲教师的评分低于70分的人数为； （2）对乙教师的评分在范围内的有3人，设为 对乙教师的评分在范围内的有3人，设为 从这6人中随机选出2人的选法为：，，，，，，，，，，，，，，，共15种 其中，恰有2人评分在范围内的选法为：，，共3种 故2人评分均在范围内的概率为． （3）由甲教师分数的频率分布直方图， 因为 设甲教师评分的中位数为，则，解得： 由乙教师的频率分布表， 因为 设乙教师评分的中位数为，则： ，解得： 所以乙教师可评为该年度该校优秀教师 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1，同时在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值，再利用三角函数的基本关系求线面角的余弦值即可. 小问1详解】 连接，交于点，连接， ∵为中点，为中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； 【小问2详解】 由底面是矩形且平面， 故可以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 则点到平面的距离； 【小问3详解】 由轴平面，故平面的法向量可为， 设直线与平面所成角为，则， ∴， ∴，即直线与平面所成角的余弦值为. 19. 已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点的距离与P到直线的距离之比等于，设动点P的轨迹为曲线C．过点F作直线l与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为． （1）求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）； （2）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （3）设O为坐标原点，证明：． 【答案】（1）； （2）或; （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合两点间距离公式列式化简即可； （2）利用已知条件，求出点坐标，进而利用两点式求出直线方程； （3）分斜率存在和不存在两种情况讨论，证明结论． 【小问1详解】 设动点，由已知可得： ，化简得：， 动点P的轨迹方程为：． 【小问2详解】 已知，则点A的横坐标为1， 代入椭圆方程得，解得， 点或， 又，则或， 直线的方程为或． 【小问3详解】 证明，即证明． 当直线l的斜率不存在时，A，B关于x轴对称，由（2）知， ； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立，整理得， ，，恒成立， 则①， 又A，B两点在直线上，则，， 代入①式，整理得 ，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁南中学2027届高二下期入学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A B. C. D. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为等比数列，若，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（ ） A. 直线 B. 两条射线 C. 椭圆 D. 双曲线 5. 若直线与圆相切，则m的值为（ ） A. 21或 B. 或1 C. 5或 D. 或15 6. 在等差数列，中，，其前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 18 C. 30 D. 36 7. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆上两点、关于原点对称，为椭圆的右焦点，交椭圆于点，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，三个正确选项的选对一个得2分，两个正确选项的选对一个得3分，有选错的得0分. 9. 记数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列是等差数列 B. 若，则数列是递增数列 C. 若，则有最小值 D. 若，，则 10. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. 焦点到准线的距离是4 C. 的最小值为8 D. 若点P的坐标为，则的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲乙两人参加一场比赛，假设甲乙获胜的概率分别为，，则两人中至少有一人获胜的概率为________. 13. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 14. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和； （3）记，求证：数列的前n项和． 16. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）求的取值范围． 17. 郴州市某中学从甲乙两个教师所教班级的学生中随机抽取100人，每人分别对两个教师进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，.得到甲教师的频率分布直方图，和乙教师的频数分布表： 乙教师分数频数分布表 分数区间 频数 [40,50) 3 [50,60) 3 [60,70) 15 [70,80) 19 [80,90) 35 [90100) 25 （1）在抽样100人中，求对甲教师的评分低于70分的人数； （2）从对乙教师的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率； （3）如果该校以学生对老师评分的中位数是否大于80分作为衡量一个教师是否可评为该年度该校优秀教师的标准，则甲、乙两个教师中哪一个可评为年度该校优秀教师？（精确到0.1） 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为PD中点，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值． 19. 已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点的距离与P到直线的距离之比等于，设动点P的轨迹为曲线C．过点F作直线l与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为． （1）求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）； （2）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （3）设O为坐标原点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $