3.2.4 离散型随机变量的方差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，涵盖概念、性质及两点分布、二项分布等常见分布的方差计算。课前自主预习夯实基础，课堂通过梯度进阶式教学，从定义理解到性质应用再到实际问题解决，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于结合射击比赛、公司招聘等实际情境，用数学眼光观察现实问题，通过“定义-分布列-均值-方差”的思维建模步骤培养数学思维，以分布列、公式推导等数学语言表达，助力学生提升数据分析与模型应用能力，为教师提供系统教学资源与梯度训练，提高教学效率。

3.2.4 离散型随机变量的方差 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义. 2.掌握方差的性质，能计算离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题. 3.会求两点分布、二项分布、超几何分布的方差及标准差. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则D(X)=E{[X-E(X)]2}=_____________________________________，则称_________为随机变量X的方差，并称_________为X的标准差.通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差. (x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn D(X) 2.几种常见分布的方差 (1)两点分布的方差：若X~B(1，p)，则D(X)=___________； (2)二项分布的方差：若X~B(n，p)，则D(X)=___________. 3.离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=____________. p(1-p) np(1-p) a2D(X) 1.若随机变量X的分布列如表，则X的方差D(X)是 (　　) 基础落实训练 X -1 0 1 P A.0 B.1 C. D. √ 解析：由题意，得E(X)=-1×+0×+1×=0，所以D(X)=×(-1-0)2 +×(0-0)2+×(1-0)2=. 2.若随机变量X满足D(X)=0.8，则D(2X-3)= (　　) A.0.8 B.1.6 C.3.2 D.0.2 解析：因为D(X)=0.8，所以D(2X-3)=22×D(X)=4×0.8=3.2. √ 3.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)=E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机__________的包装质量较好.  乙 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　随机变量的方差与标准差 [例1]　已知X的分布列如下： X -1 0 1 P a (1)求X2的分布列； 解：由分布列的性质，知++a=1，故a=，从而X2的分布列为 X2 0 1 P (2)计算X的方差； 解：法一　由(1)知a=，∴X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-. 故X的方差D(X)=×+×+×=. 法二　由(1)知a=，∴X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-， X2的均值E(X2)=0×+1×=，∴X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=. X -1 0 1 P a (3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 解：∵Y=4X+3， ∴E(Y)=4E(X)+3=2，D(Y)=42D(X)=11. X -1 0 1 P a |思|维|建|模| 求离散型随机变量X方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差. 针对训练 1.已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及标准差； 解：∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16， ∴D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2 ×=384，∴=8. (2)设Y=2η-E(η)，求D(Y). η 0 10 20 50 60 P 解：∵Y=2η-E(η)，∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536. 题型(二)　两点分布与二项分布的方差 [例2]　某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品数的方差； 解：用ξ表示抽得的正品数，则ξ=0，1. ξ服从两点分布，且P(ξ=0)=0.02， P(ξ=1)=0.98， 所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.019 6. (2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差. 解：用X表示抽得的正品数，则X~B(10，0.98)， 所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196， 标准差为≈0.44. |思|维|建|模| 两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断：判断随机变量服从什么分布. (2)计算：直接代入相应的公式求解方差. 针对训练 2.某运动员投篮命中率p=0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为_____________. 解析：依题意知，X服从两点分布，所以D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16. 0.16 3.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为. (1)求n和p的值，并写出ξ的分布列； 解：由题意知，ξ服从二项分布，即ξ~B(n，p)， P(ξ=k)=pk(1-p)n-k，k=0，1，…，n. 由E(ξ)=np=3，D(ξ)=np(1-p)=，得1-p=，从而n=6，p=. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 6 P (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率. 解：记“需要补种沙柳”为事件A， 则P(A)=P(ξ≤3)=+++=， ∴需要补种沙柳的概率为. 题型(三)　离散型随机变量方差的实际应用 [例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； 解：由题意得0.5+3a+a+0.1=1，解得a=0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)比较甲、乙的射击技术. 解：由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96，D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2 =1.21. 由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. |思|维|建|模| 　　均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析. 针对训练 4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示. 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1   乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列； 解：根据题意可知，随机变量η的可能取值有0，1，2， 则P(η=0)=0.8×0.8=0.64，P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32，P(η=2)=0.2×0.2=0.04， 所以随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 (2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率； 解：小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49. (3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司?请说明理由. 解：入职甲公司，月薪的均值为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6， 方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1. 入职乙公司，月薪的均值为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6， 方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4， 乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4， 即E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，0.4<0.49， 即两家公司月薪的均值相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.设随机变量X的方差D(X)=1，则D(2X+1)的值为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：D(2X+1)=4D(X)=4×1=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.[多选]已知X的分布列为 √ X 1 2 3 4 P 则 (　　) A.E(X)= B.D(X)= C.D(X)= D.E(X)= √ 解析：E(X)=1×+2×+3×+4×=，∴D(X)=×+×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于 (　　) A. B. C. D.5 √ 解析：同时抛掷两枚均匀的硬币一次，两枚硬币同时出现反面的概率为P==，∴ξ~B，∴D(ξ)=10××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.投资甲、乙两种股票，每股收益(单位：元)分别如下表： √ 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是 (　　) A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大 C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：甲收益的期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29，乙收益的期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1，方差D(Y)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49，所以E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票甲、乙的期望收益相等，投资股票甲比投资股票乙的风险高. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则D(X)=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意可知，X的取值可能为-2，0，2，因为P(X=2)=×=，P(X=-2)=×=，P(X=0)=××=，所以E(X)=×2+(-2)×+ ×0=，故D(X)=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知随机变量X~B(5，p)(0<p<1)，若P(X=2)+P(X=3)=，且Y=2X+1，则D(Y)=(　　) A. B. C.5 D.6 √ 解析：因为P(X=2)+P(X=3)=p2(1-p)3+p3(1-p)2=，所以p2(1-p)2=，即p(1-p)=，解得p=，所以D(X)=5××=.又Y=2X+1，所以D(Y)=22D(X)=4×=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n=1，2，3，4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若η=aX+b，E(η)=1，D(η)=11，则a+b的值是 (　　) A.1或2 B.0或2 C.2或3 D.0或3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，E(X)=×0+×1+×2+×3+×4=，D(X)=×+×+×+×+×=.由D(η)=a2D(X)，得a2×=11，即a=±2.又E(η)=aE(X)+b，所以当a=2时，由1=2×+b，得b=-2，此时a+b=0；当a=-2时， 由1=-2×+b，得b=4，此时a+b=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为X，则随机变量X的期望与方差分别为 (　　) A.2， B.2，1 C.3，1 D.3， √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为，则向左的次数服从二项分布B.因为P(X=1)=×=，P(X=2)=×=，P(X=3)=×=，P(X=4)=×=，P(X=5)=×=， 所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3， D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)=0，D(X)=1，则a=__________，b=____________.  X -1 0 1 2 P a b c 解析：由题意知解得 　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知随机变量X，且D(10X)=，则X的标准差为_________.  解析：由题意可知D(10X)=， 即100D(X)=，所以D(X)=， 所以=，即X的标准差为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)=，(1)求D(X)的值；(6分) 解：由题意可得 解得所以D(X)=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若Y=3X-2，求的值.(4分) 解：因为Y=3X-2，所以D(Y)=9D(X)=5，所以=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)元旦晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率；(5分) 解：设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)==，所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差.(10分) 解：由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4. 则P(X=0)=，P(X=1)==，P(X=2)=+=，P(X=3)==，P(X=4)==.所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2， D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负)，且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数. (1)求随机变量X的分布列和期望E(X)；(5分) 解：由题意知随机变量X可能的取值为2，3，则P(X=2)=p2+(1-p)2 =2p2-2p+1，P(X=3)=2p2(1-p)+2p(1-p)2=2p-2p2，故X的分布列为 X 2 3 P 2p2-2p+1 2p-2p2 故E(X)=2×(2p2-2p+1)+3×(2p-2p2) =-2p2+2p+2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若0<p<，设随机变量X的方差为D(X)，求证：D(X)<.(10分) 解：证明：由(1)知，D(X)= Pi-[E(X)]2=4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)- (-2p2+2p+2)2，令t=2p-2p2=-2+，因为0<p<<，故0<t<， 此时4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2=4(1-t)+9t-(t+2)2=-t2+t. 因为二次函数y=-t2+t关于t=对称，又0<t<，当t=时，y=， 所以-t2+t<，即D(X)<. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $