3.2.4 离散型随机变量的方差 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦离散型随机变量的方差及标准差，通过旧知回顾复习均值及两点分布、二项分布的均值公式，再以甲、乙射手射击环数分布列（均值相等但离散程度不同）的问题导入，衔接旧知引出方差概念，搭建知识支架。 这份资料以问题链驱动教学，结合射手射击、产品检验、投资决策等真实情境，通过数学建模将实际问题转化为方差计算，数据分析处理分布列数据推导方差性质，逻辑推理探究方差与均值关系。例3投资决策案例培养学生应用意识，对学生提升运算与建模能力，对教师提供清晰流程和典型案例，便于高效教学。

3.2 离散型随机变量及其分布列 第四课时 教学设计 一、内容分析 《离散型随机变量的方差》是湘教版高中教材《数学.选择性必修.第二册》第三章第2节《离散型随机变量及其分布列》的第四节内容，是在上一节研究了数学期望之后设计的，反映了随机变量与其均值的平均偏离程度，从而更进一步的研究随机变量的现象．解决一些简单的实际问题，揭示了离散型随机变量的统计规律．离散型随机变量的方差作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值，是本章的关键知识之一． 二、教学目的 理解离散型随机变量的方差、标准差的意义、性质及应用，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决实际问题． 三、重点难点 重点：离散型随机变量的方差、标准差． 难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题． 四、核心素养 ○直观想象、●数学运算、●数据分析、○数学抽象、●逻辑推理、●数学建模． 五、教学准备 课件 六、教学流程 旧知回顾 ->问题导入 ->新知探索 ->讨论升华 ->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 ㈠ 旧知回顾 复习1：离散型随机变量X的均值： … x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 复习2：两种特殊分布的均值: （1）若X~B(1，p)，则E(X)=p. （2）若X~B(n，p)，则E(X)=np. 1. 开始语：上节课我们学习离散型随机变量的均值，大家还记得它的公式和意义吗？请一个同学回答. 2. 有两种特殊分布的均值，大家回忆一下？ 师：今天，我们将对随机变量偏离期望值的程度，也就是随机变量的离散的程度进行研究. 1. 回顾离散型随机变量X的均值，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2.回顾两点分布与二项分布两种特殊分布的均值. 2分钟 ㈡ 问题导入 问题：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为 X1 6 7 8 9 10 P1 0.16 0.14 0.42 0.1 0.18 X2 6 7 8 9 10 P2 0.19 0.24 0.12 0.28 0.17 1. 根据已学知识，我们怎么比较两名同学射击水平的高低？ 生回答，并求均值，发现均值相等. 2. 认真观察分布列，学生发现甲比乙偏离均值小. 师：如何刻画离散型随机变量与其期望的偏离程度? 由复习引出新的问题，为新知学习铺垫. 2分钟 ㈢ 新知探索 探究1：随机变量方差、标准差的概念 |X-E(X)| 表示随机变量X与其期望E(X)偏离的大小; E{|X-E(X)|} 表示平均偏离的大小. 为了便于数学处理，可用或表示平均偏离的大小. x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ：随机变量X的方差，也可用表示. ：随机变量X的标准差，也可用表示. 探究2：随机变量方差、标准差的意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量X偏离于期望E(X)的平均程度. 方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散. 计算上述问题中甲、乙两名射手射击成绩的方差，得出结论. 引导学生探讨表示平均偏离的大小的量，请学生回答，教师板书或演示. 通过师生一问一答，激发学生思考，从旧知迁移到新知，逐步形成随机变量方差、标准差的概念. 学生通过计算，得出结论: 射手甲的射击成绩稳定性较好，稳定在8环左右；而射手乙的射击成绩稳定性略差. 旧知类比新知，知识迁移，形成概念. 呼应问题引入，立即应用新知. 8分钟 ㈣ 讨论升华 思考：随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数, 而样本的方差依赖于样本的选取,带有随机性,即样本方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差会接近于总体方差,因此,我们常用样本方差估计总体的方差. 提出问题，引导学生思考、讨论 深度理解随机变量的方差. 2分钟 ㈤ 典例剖析 例1．若随机变量X的概率分布如下表所示，求方差和标准差. 0 1 P 1-p p 进一步探究，得： 1.根据方差的定义和数学期望的性质： 2.方差的几点重要性质： （1）若X~B(1, p)，则D(X)=p(1-p). （2）若X~B(n, p)，则D(X)=np(1-p). （3）若Y=aX+b，a，b为常数，则D(Y)=a2D(X). 例2．若某厂一批产品的正品率是98%，检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算： （1）抽出的10件产品中平均有多少件正品； （2）抽出的10件产品中正品数的方差和标准差． 例3．某人欲投资10万元，有两种方案可供选择.设X表示方案一所得收益(单位:万元),Y表示方案二所得收益(单位:万元).其分布列分别为： -2 8 -3 12 P 0.7 0.3 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 1.给出例1，学生可通过随机变量方差和标准差的定义得到结果. 小结：若X~B(1，p)，则D(X)=p(1-p). 2. 师生延续例1的探究方向，共同探究，通过新旧知识的类比，得出结果. 3.给出例2，学生分析，得出抽到的正品数服从二项分布，学生根据公式计算. 3. 给出例3，引导思考：随机变量的决策问题应该利用哪些数字特征？如何比较？ 再解题并小结：先计算均值，比较随机变量平 均水平的高低，再计算方差，比较随机变量取值的稳定性. 例1考查服从两点分布的随机变量的方差和标准差. 探究出方差的计算公式及3点重要性质. 通过产品检验的情境考查服从二项分布的随机变量的数学期望"方差和标准差 例3是方差的实际应用问题，借助生活中的投资问题，考查学生对于数学期望、方差和标准差含义的理解. 15 分钟 ㈥ 练习巩固 练习1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的方差和标准差. 练习2. 甲每次投篮命中的概率为0.8,用X表示甲在10次相互独立的投篮中命中的次数,计算E(X)和D(X). 练习3. 设随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 P 求的值. 练习4. 已知投资项目A和B有如下资料可供投资者参考,试说明投资哪个项目较佳. 投资回报率x/% 4 5 6 7 8 9 10 概率P(x) 0.05 0.1 0.15 0.4 0.15 0.1 0.05 练习1，师生共同完成； 练习2和练习3，让学生口答解法，大家快速计算； 练习4，学生练习，让一学生展示解答，师点评. 利用授课助手，展示学生练习，点评后小结：对两个变量的均值相等的情况下，比较方差，方差小说明取值比较集中稳定. 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 9分钟 ㈦ 归纳小结 本节课学习了一些？ 1.熟记方差计算公式 2. 三个重要的方差公式 3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤： 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟 八、板书设计 大致板书如下： 离散型随机变量的方差 （方差、标准差的计算公式） （方差的几点性质） （讲课草稿演算区） 学科网（北京）股份有限公司 $