3.2.3 离散型随机变量的数学期望-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的数学期望，涵盖定义、性质及两点分布、二项分布、超几何分布的均值计算。通过实例导入衔接概率分布知识，以“微点助解”“思维建模”为支架，引导学生从概念理解逐步过渡到实际应用。 其亮点是采用梯度进阶式教学，整合生活实例与数学理论。如两校答题、粽子抽取等情境培养数学眼光，“思维建模”步骤强化数学思维，帮助学生用数学语言表达问题，既提升学生解决实际问题的能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

3.2.3 离散型随机变量的数学期望 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值. 2.理解离散型随机变量均值的性质.掌握两点分布、二项分布与超几何分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.离散型随机变量的数学期望的定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=__________________为X的数学期望或均值. x1p1+x2p2+…+xnpn |微|点|助|解| 　　理解数学期望要注意以下三点 (1)离散型随机变量的数学期望是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足pi=1，所以数学期望是以概率pi为权数的加权平均数. (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但E(X)是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平. (3)E(X)与随机变量X本身具有相同的单位. 2.离散型随机变量数学期望的意义 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的__________. 3.几种常见分布的数学期望 (1)两点分布的数学期望：若X服从两点分布，则有若X~B(1，p)，则E(X)=_____. (2)若离散型随机变量X服从二项分布，则有若X~B(n，p)，则E(X)=____. (3)若离散型随机变量X服从超几何分布H(N，M，n)，则有若X~H(N， M，n)，则E(X)=_______. 4.数学期望的性质 若Y=aX+b，a，b为常数，则E(Y)=____________. 平均水平 p aE(X)+b np 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化. (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)=2，则E(2X)=4. (　　) (4)随机变量X的均值E(X)=. (　　) 基础落实训练 × × √ × 2.已知随机变量X~B，Y~H(10，m，2)，若E(X)=E(Y)，则m=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：由题意得E(X)=np=，E(Y)===.因为E(X)=E(Y)，所以=，解得m=3. 3.若随机变量X的分布列如表，则X的数学期望为___________.  X -1 2 4 5 P 0.2 0.35 0.25 0.2 解析：E(X)=-1×0.2+2×0.35+4×0.25+5×0.2=2.5. 2.5 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　离散型随机变量的均值 [例1]　(2025·北京高考，节选)有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率. 解：用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为=. (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.　 解：设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8，P()=0.2， 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75，P()=0.25， 设C为“恰有1人做对”， 故P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.35. 而X可取0，1，2，P(X=0)=P( )=0.05，P(X=1)=0.35，P(X=2)=0.8×0.75=0.6，故X的分布列如表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. |思|维|建|模|　求离散型随机变量X均值的步骤 针对训练 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； 解：依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=. (2)设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与数学期望. 解：由题意得X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. 题型(二)　特殊分布的分布列与均值 [例2]　杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据： (1)从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率； 解：由题知数学成绩不低于120分的人数为7， 故数学成绩不低于120分的概率为P=. (2)杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记X为选出获得奖励的学生人数，求X的分布列和数学期望； 解：由题知数学成绩不低于135分的人数为4，X的取值可能为0，1，2，3.P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==， P(X=3)==，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 期望E(X)=0++2×+3×=. (3)杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评.规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测评记为合格.在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为，每轮测评互不影响.若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评. 解：设甲同学在一轮测评中合格为事件A， 则P(A)=×+=， 又甲同学在n(n∈N+)轮测评中合格的次数Y~B， 则期望E(Y)=n≥5，解得n≥， 所以至少要进行20轮测评. |思|维|建|模| 求常见的几种分布的均值的关注点 (1)关键：根据题意准确判断分布类型. (2)计算：若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，则可直接代入公式求得均值. 针对训练 2.某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡，“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员，占比20%，“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员，占比50%，“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员，占比30%.现对会员进行水果质量满意度调查，根据调查结果得知，1号会员对水果质量满意的概率为，2号会员对水果质量满意的概率为，3号会员对水果质量满意的概率为. (1)随机选取1名会员，求其对水果质量满意的概率； 解：设事件A：随机选取1名会员，其对水果质量满意，则P(A)=0.2×+0.5×+0.3×=. (2)从会员中随机抽取2人，记抽取的2人中，对水果质量满意的人数为X，求X的分布列和数学期望. 解：由题意知X的可能取值为0，1，2，且X~B，则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=np=2×=. 题型(三)　离散型随机变量均值的性质 [例3]　已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X，则E(Y)=______________.  解析：由离散型随机变量分布列的性质，得+++m+=1，解得m=， ∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.由Y=-2X， 得E(Y)=-2E(X)=-2×=. 　[变式拓展] 1.本例条件不变，若Y=2X-3，求E(Y). 解：由公式E(aX+b)=aE(X)+b及E(X)=-，得E(Y)=E(2X-3) =2E(X)-3=2×-3=-. 2.本例条件不变，若Y=aX+3，且E(Y)=-，求a的值. 解：因为E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=-，所以a=15. |思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 (1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b求解即可. 针对训练 3.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=，则以下正确的是(　　) A.E(X)= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= √ 解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，所以P(X=1)=，故E(X)=0×+1×=，故A错误；E(2X+3)=2E(X)+3=，故B错误；E(2X+2)=2E(X)+2=，故C错误；E(2X+1)=2E(X)+1=，故D正确. √ 4.[多选]已知随机变量X的分布列为 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)=7.5，则以下结论正确的是 (　　) A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 √ √ 解析：由分布列的性质，可知0.3+0.1+b+0.2=1，解得b=0.4，故B正确；∵E(X)=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5，∴a=7，故A不正确；由均值的性质，可知E(aX)=aE(X)=7×7.5=52.5，故C正确；E(X+b)=E(X)+b=7.5+0.4=7.9，故D正确.故选BCD. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知某一随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=6.3，则a的值为 (　　) √ X a 7 9 P b 0.1 0.4 A.4 B.5 C.6 D.7 解析：根据随机变量X分布列的性质可知b+0.1+0.4=1，所以b=0.5.又E(X)=ab+7×0.1+9×0.4=6.3，所以a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6，则其成功概率为 (　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 √ 解析：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，∴E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知随机变量ξ和η，其中η=4ξ-2，且E(η)=7，若ξ的分布列如下表，则n的值为 (　　) √ ξ 1 2 3 4 P m n A.B. C. D. 解析：∵η=4ξ-2，∴E(η)=4E(ξ)-2=7，∴E(ξ)=，∴=1×+2×m+3×n+4 ×=2m+3n+，又+m+n+=1，联立求解可得n=，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间考查后，X，Y的分布列分别是 √ X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1   Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定 (　　) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由分布列可得E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7， ∵E(Y)>E(X)，∴甲比乙质量好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动.教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的数学期望为 (　　) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：依题意得，X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3， P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5， P(X=2)=0.4×0.5=0.2. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 ∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ+1)= (　　) A.2 B.1 C.3 D.4 √ 解析：由题意，知随机变量ξ的取值为0，1，2， 则P(ξ=0)==；P(ξ=1)==，P(ξ=2)==， 所以E(ξ)=0×+1×+2×=，所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是 (　　) A. B. C.D. √ 解析：根据题意，知发球次数为1的概率P(X=1)=p，发球次数为2的概率P(X=2)=(1-p)p，发球次数为3的概率P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2，则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75，解得p>或p<.由p∈(0，1)可得p∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示选中高二(1)班的候选人的人数，则E(X)的值为____________.  解析：X的可能取值为0，1，2，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，则E(X)=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P a 若η=2ξ+a，则E(η)=____________.  解析：由分布列的性质可知+++a=1，解得a=，所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=，所以(η)=E=2E(ξ)+=2×+=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)(2025·全国Ⅰ卷)一个箱子里有5个球，分别以1~5标号，若有放回取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则E(X)=__________.  解析：X可取1，2，3，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==， X 1 2 3 P ∴E(X)=1×+2×+3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)一个盒子里装有5张卡片，其中有红色卡片3张，白色卡片2张，从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的2张卡片中，至少有1张红色卡片的概率；(4分) 解：设“取出的2张卡片中，至少有1张红色卡片”为事件A，则P(A)=1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)在取出的2张卡片中，白色卡片数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(6分) 解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2. 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==.所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)某全国连锁咖啡店，男会员占60%，女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查，根据调查结果得知，男会员对服务质量不满意的概率为，女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员，求其对服务质量不满意的概率；(6分) 解：设事件A1：会员是男会员，A2：会员是女会员，事件B：对服务质量不满意.由题意，得P(A1)=，P(A2)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=， 于是，由全概率公式可得，P (B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量不满意的人数为X，求X的分布列和数学期望.(9分) 解：由题意知，X~B，则P(X=0)==， P(X=1)=××=，P(X=2)=×=， P(X=3)==.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X~B，所以E(X)=3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足的A，B两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择A教室的概率为p1(0<p1<1)，任意连续两天选择相同教室的概率为p2. (1)求p2的取值范围；(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：设事件A为“甲在某天选择A教室自习”，事件B为“甲在某天选择B教室自习”， 则P(A)=p1(0<p1<1)，P(B)=1-p1. 依题意知，p2=+=2-2p1+1=2+.∵0<p1<1， ∴当p1=时，p2取最小值，为， ∴易知p2的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若p1=p2，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量X(若甲任意连续两天都不在相同教室自习，则X=1)，求X的分布列和数学期望.(10分) 解：∵p1=p2，∴p2=p1=2-2p1+1，解得p1=或p1=(舍去). 依题意知，X的所有可能取值为1，2，3，4， ①当这四天的选择依次为ABAB或BABA时， P(X=1)=×××+×××=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ②当这四天的选择依次为AABA，ABAA，BBAB，BABB，ABBA，BAAB，AABB或BBAA时，P(X=2)=×××2+×××2+××4==. ③当这四天的选择依次为AAAB，BAAA，BBBA或ABBB时，P(X=3)=××2+××2=. ④当这四天的选择依次为AAAA或BBBB时，P(X=4)=+=. ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)=1×+2×+3×+4×=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $