2.4.2 第2课时 向量与平行-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

向量与平行 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 空间中平行关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线平行 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1∥l2⇔u1∥ u2⇔∃λ∈R，使得___________ 线面平行 设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔__________ 面面平行 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得_________ u1=λu2 u·n=0 n1=λn2 |微|点|助|解| 用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点 (1)线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合. (2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的，所以运用时应以运算简便为标准. (3)线线平行、面面平行中向量仍平行，但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性，异类相反”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行，则这条直线与这个平面平行. (　　) (2)两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直. (　　) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直. (　　) (4)两个(不重合)平面的法向量平行，则这两个平面平行，两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. (　　) √ √ √ × 2.[多选]若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是 (　　) A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 解析：若l∥α，则a·n=0.A中a·n=0，B中a·n=1+5=6，C中a·n=-1，D中a·n=-3+3=0. √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　证明直线与直线平行 [例1]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在棱DD1上，且SD1=2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 证明：法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M， N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则分别为MN，RS的方向向量， 又==， 所以=，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS. 法二　设=a，=b，=c， 则=++=c-a+b， =++=b-a+c.所以=， 所以∥.又R∉MN，所以MN∥RS. 　|思|维|建|模|　证明线线平行的两种方法 基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明 坐标法 建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示 针对训练 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，点M在DB上，且DM=DB，DA=DP=1，CD=2. 求证：MN∥AP. 证明：法一：坐标法　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直.如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，P(0，0，1)，E，N，M，所以=(-1，0，1)，=， 所以=，所以MN∥AP. 法二：基向量法　由题意得=+=+=+×(+) =++=+=(+)=， 所以MN∥AP. 题型(二)　证明直线与平面平行 [例2]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC， ∠BAC=90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=2，AB=1.求证：MN∥平面BDE. 证明：因为PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，建立空间直角坐标系如图所示， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，E(0，1，1)，M，N，P(0，0，2)， 所以=(0，1，0)，=(1，0，-1)， 设n=(x，y，z)为平面BDE的一个法向量， 则即 不妨设z=1，可得n=(1，0，1)，又=， 所以·n=1×+0×1+1×=0， 即⊥n，因为MN⊄平面BDE， 所以MN∥平面BDE. |思|维|建|模| 利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 针对训练 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，=λ(λ为常数，且0<λ<1).若直线BF∥平面ACE，求实数λ的值. 解：因为PA⊥底面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD. 由题意可知，AB，AD，AP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，2)，E(0，2，1)， 所以=(2，2，0)，=(0，2，1)，=(-2，0，2)，=(2，2，-2)，则=λ=(2λ，2λ，-2λ)，所以=+=(2λ-2，2λ，2-2λ). 设平面ACE的法向量为m=(x，y，z).由得 不妨令x=1，得m=(1，-1，2).因为BF∥平面ACE，所以·m=2λ-2-2λ+4-4λ=0，解得λ=.故实数λ的值为. 题型(三)　证明平面与平面平行 [例3]　如图，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD两两垂直， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0). 所以=(2，0，-2)，=(0，-1，0)， =(1，1，-1)，=(0，2，0). 设n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量， 则n1⊥，n1⊥， 即得 令z1=1，则x1=1，y1=0，所以n1=(1，0，1). 设n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 由n2⊥，n2⊥， 即得 令z2=1，则x2=1，y2=0， 所以n2=(1，0，1)， 所以n1∥n2，又平面EFG与平面PBC不重合， 所以平面EFG∥平面PBC. |思|维|建|模| 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 针对训练 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面BDEF. 证明：如图，以点D为原点，分别以为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，M，N，E，F. 于是== ==. 设n1=(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量， 则 取z1=1，得x1=2，y1=-2，则n1=(2，-2，1). 设n2=(x2，y2，z2)是平面BDEF的法向量， 则 取z2=1，得y2=-2，x2=2，则n2=(2，-2，1)=n1. 又平面AMN与平面BDEF不重合，故平面AMN∥平面BDEF. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在空间直角坐标系中，a=(1，2，1)为直线l的一个方向向量，n=(2，t，4)为平面α的一个法向量，且l∥α，则t= (　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 √ 解析：因为l∥α，所以a=(1，2，1)与n=(2，t，4)垂直， 故a·n=(1，2，1)·(2，t，4)=2+2t+4=0，解得t=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设u=(2，0，-1)是平面α的一个法向量，a=(1，0，2)是直线l的一个方向向量，则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A.平行或直线在平面内 　　B.不能确定 C.相交但不垂直 　　D.垂直 √ 解析：因为u·a=2+0-2=0，所以u⊥a，所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知A(1，2，3)，B(-1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 　　B.垂直 C.相交但不垂直 　　D.无法确定 √ 解析：因为=(-2，-2，2)，=(1，1，-1)，所以=-2， 所以与平行.又四点不共线，所以直线AB与CD平行. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知平面α的法向量为n=(x，-1，t)，t>0，平面β的法向量为m=，若α∥β，则x+y的(　　) A.最大值为2 B.最大值为-2 C.最小值为-2 D.最小值为2 √ 解析：因为α∥β，所以m∥n，则存在唯一实数λ，使得n=λm，即(x，-1，t)=λ=，所以所以因为t>0，所以λ>0，所以x<0，y<0，则x+y=-[(-x)+(-y)]≤-2=-2，当且仅当-x=-y，即x=y=-1时取等号，所以x+y的最大值为-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(2025·全国Ⅰ卷)[多选]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点，则 (　　) A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：法一　对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AA1⊥AD， 则·=0.因为△ABC是正三角形，D为BC的中点， 则AD⊥BC，则·=0.又=++， 所以·=·=·++·=≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误;对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥B1C1.因为△ABC是正三角形，D为BC的中点，则AD⊥BC，AD⊥B1C1.又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确;对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确;对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾，所以AD∥A1B1不成立，故C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h， 则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)， B(0，1，0)，B1(0，1，h)，对于A，=(-，0，0)，=(-，-1，-h)， 则·=(-)×(-)+0+0=3≠0，则AD⊥A1C不成立，故A错误; 对于B、D，=(0，-2，0)，=(0，0，h)，=(0，0，h)， 设平面AA1D的法向量为n=(x，y，z)，则 得x=z=0，令y=1，则n=(0，1，0)， 所以=(0，-2，0)=-2n，·n=0， 则B1C1⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故B、D正确;对于C， =(-，1，0)，则≠，显然AD∥A1B1不成立，故C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的最小值为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴， DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，A(2，0，0)，E(1，2，0)， F(0，2，1)，A1(2，0，2)，所以=(-1，2，0)，=(-2，2，1)， 设平面AEF的一个法向量n=(x，y，z)，则⇒ 取y=1，得n=(2，1，2)，设P(a，2，c)，0≤a≤2，0≤c≤2， 则=(a-2，2，c-2)，因为A1P平行于平面AEF， 所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0，整理得a+c=3， ∴线段A1P长度||= = =，当且仅当a=c=时，线段A1P长度取最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，平面α∥平面BDD1B1且与线段AB1，A1D分别交于点E，H，则EH长度的最小值为 (　　) A.1 B. C. D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 连接DB，D1B1，AB1，A1D，EH， 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3， 所以D(0，0，0)，B(3，3，0)，B1(3，3，3)， A1(3，0，3)，A(3，0，0)，而=(3，0，3)， =(3，3，0)，=(3，3，3)，=(0，3，3)， 由题意得A，E，B1共线，A1，H，D共线，设=λ(0≤λ≤1)，=μ(0≤μ≤1)，E(a，b，c)，H(a1，b1，c1)，则=(a-3，b，c)，= (a1-3，b1，c1-3)，λ=(0，3λ，3λ)，得到a-3=0，b=3λ，c=3λ，解得a=3，则E(3，3λ，3λ)，而=(-3，0，-3)，故μ=(-3μ，0，-3μ)，得到a1-3=-3μ，b1=0，c1-3=-3μ，解得a1=3-3μ，b1=0，c1=3-3μ，则H(3-3μ，0，3-3μ)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 故=(-3μ，-3λ，3-3μ-3λ)，设平面BDD1B1的法向量为n=(x，y，z)， 结合=(3，3，0)，=(3，3，3)，则·n=3x+3y=0， ·n=3x+3y+3z=0，令x=1，则y=-1，z=0，故n=(1，-1，0)， 因为平面α∥平面BDD1B1，所以n=(1，-1，0)也是平面α的法向量， 则·n=0，即-3μ+3λ=0，解得λ=μ，此时=(-3λ，-3λ，3-6λ)， 由向量模长公式得EH=||=， ==， 若最小，则54λ2-36λ+9最小即可，令f(λ)=54λ2-36λ+9，由二次函数性质得对称轴为λ=，而0≤λ≤1，则当λ=时，f(λ)取得最小值，最小值为f=3，则的最小值为，即EH的最小值为，故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知直线a，b的方向向量分别为m=(4，k，k-1)和n=，若a∥b，则k=_____________.  解析：因为a∥b，所以m=λn，即(4，k，k-1)=λ， 所以 解得λ=-2，k=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)平面α经过点A(0，0，2)且一个法向量n=(1，-1，-1)，则平面α与x轴的交点坐标是=___________.  解析：设平面α与x轴的交点为B(m，0，0)，因为平面α经过点A(0，0，2)，所以AB⊂平面α.又=(m，0，-2)，平面α的一个法向量n=(1，-1，-1)，所以·n=0，即m×1+(-2)×(-1)=0，解得m=-2，故平面α与x轴的交点坐标是(-2，0，0). (-2，0，0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的三等分点(靠近D1点)，点F在棱C1D1上，且=λ，若B1F∥平面A1BE，则λ=______________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3， E(0，0，2)，A1(3，0，3)，B(3，3，0)，B1(3，3，3)， 设F(0，a，3)，所以=(-3，0，-1)，=(0，3，-3)， 设平面A1BE的法向量为m=(x，y，z)， 所以取x=1， 则m=(1，-3，-3)，=(-3，a-3，0)， 由于B1F∥平面A1BE，所以⊥m， 即·m=-3-3(a-3)=0，故a=2， 所以||=2，所以=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，正方形A1B1C1D1内部有一片区域I，E是BB1的中点，F是CC1的中点，若对于区域I内的任意一点P，总存在线段EF上一点Q，使得PQ∥平面AD1C，则区域I的面积最大值是____________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：以D为顶点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0)，E，F，线段EF满足y=1，z=，x∈[0，1]，设P(x0，y0，1)，Q，t∈[0，1]， 设平面AD1C的法向量为n=(x，y，z)， =(-1，0，1)，=(-1，1，0)， =， ⇒ 令x=1，得y=1，z=1，则n=(1，1，1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为PQ∥平面AD1C，所以⊥n，·n=(t-x0)+(1-y0)- =0⇒t=x0+y0-，因为点Q在线段EF上，所以0≤x0+y0-≤1，即≤x0+y0≤，所表示的范围为多边形GA1KJC1H，其中G，K，J，H， 面积为1-2×=， 所以区域I的面积最大值是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，PA⊥底面ABCD，PA=2，点M为PA的中点，点N为BC的中点，AF⊥CD于F，如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明：由题设知，在Rt△AFD中，AF=FD=，A(0，0，0)，B(1，0，0)，F，D，P(0，0，2)，M(0，0，1)， N.=， ==. 设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)， 则⇒ 令z=，得n=(0，4，).因为·n=·(0，4，)=0， 又MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.求证：平面A1C1B∥平面ACD1.(使用向量方法) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明：由题可以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(3，4，0)，C(0，4，0)，A1(3，0，2)，C1(0，4，2)，D1(0，0，2)，则=(-3，4，0)，=(0，4，-2)， =(-3，4，0)，=(-3，0，2). 设平面A1C1B的法向量为n=(x，y，z)， 则所以 取x=4，则y=3，z=6， 所以平面A1C1B的一个法向量为n=(4，3，6).设平面ACD1的法向量为m=(a，b，c)， 则所以 取a=4，则b=3，c=6，所以平面ACD1的一个法向量为m=(4，3，6)，因为m=n，即m∥n，所以平面A1C1B∥平面ACD1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD. (1)求证：BD⊥AA1;(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：证明：设BD与AC交于点O，则BD⊥AC，连接A1O， 在△AA1O中，AA1=2，AO=1，∠A1AO=60°，所以A1O2=A+AO2-2AA1·AOcos 60°=3，所以AO2+A1O2=A，所以A1O⊥AO. 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，A1O⊂平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(-，0，0)， A1(0，0，)，C1(0，2，). 因为=(-2，0，0)，=(0，1，)， ·=0×(-2)+1×0+×0=0， 所以⊥，即BD⊥AA1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.(9分) 解：假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1. 设=λ，P(x，y，z)，则(x，y-1，z) =λ(0，1，)，即x=0，y=λ+1，z=λ. 从而有P(0，1+λ，λ)，=(-，1+λ，λ). 设平面DA1C1的法向量为n=(x，y，z)，则 又=(0，2，0)，=(，0，)， 则取n=(1，0，-1). 因为BP∥平面DA1C1，所以n⊥，即n·=--λ=0，解得λ=-1， 即点P在C1C的延长线上，且CP=CC1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $