5.3《分式方程》第3课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 分式与分式方程 第3课 分式方程 第3课时 分式方程的应用 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过实际问题中等量关系的探究与分析,能准确梳理实际问题中的数量关系,掌握列分式方程解决实际问题的基本步骤. 2.通过反思完整解题过程,能熟练运用分式方程解决生活中的收支、工程类实际问题,提升数学建模能力与逻辑推理能力. 3.通过解决贴近生活、生产的真实应用问题,体会分式方程在解决实际问题中的必要性与实用性,发展数学应用意识,感受数学与现实生活的紧密联系. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题1:列方程解应用题的核心步骤是什么？ 审题提取已知量与未知量→寻找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验解的合理性→规范作答. 简化为：审、找、设、列、解、验、答. 最关键的环节是寻找并梳理等量关系,它是列方程的核心依据,直接决定方程能否正确列出. 问题2:你还记得分式方程的定义吗？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 追问:分式方程必须验根的原因是什么? 4 问题构建 问题3:我们常用的数量关系中,总价、单价、数量三者之间有什么关系？工作总量、工作效率、工作时间三者之间有什么关系？你能用等式分别表示出来吗？ 1.总价、单价、数量的等量关系： 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 2.工作总量、工作效率、工作时间的等量关系： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 5 问题构建 问题背景:某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋出租的租金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元. 问题4:读完这个情境,你能从中提取出哪些已知量？哪些是我们需要解决的未知量？ 已知量:租金增长额、第一年总租金、第二年总租金. 未知量:房屋数量、第一年每间房屋的租金、第二年每间房屋的租金. 追问1:你能找出这个情境中的等量关系吗？请你用文字语言把它们表述出来. 关系1:第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元 关系2:第一年出租的房屋总间数=第二年出租的房屋总间数 关系3:房屋总间数=出租总租金÷每间房屋的租金 问题构建 追问2:根据这个情境中的已知量和等量关系,你能提出哪些可以用方程解决的数学问题？ 1.出租的房屋一共有多少间？ 2.第一年每间房屋的租金是多少元？ 3.第二年每间房屋的租金是多少元？ 4.这两年每间房屋的租金分别是多少元？ 追问3:如果我们设第一年每间房屋的租金为元,那么第二年每间房屋的租金可以怎么表示？第一年出租的房屋总间数,怎么用的代数式表示？第二年的房屋总间数呢？ 第二年每间房屋的租金:(+500)元 第一年出租的房屋总间数:间 第二年出租的房屋总间数:​间 问题构建 追问4:“两年出租的房屋总间数相等”,你能根据这个等量关系,列出对应的方程吗？ = 追问5:请你试着解出这个分式方程,解完之后思考:这个方程的解,我们需要检验吗？要检验几次？每一次检验的目的是什么？ = 解这个方程得: 第1次检验（分式方程根的检验）: 把=8000代入最简公分母(+500),得8000×(8000+500)≠0,因此=8000是原分式方程的根. 第2次检验（实际意义检验）: 租金为8000元,是正数,符合实际生活中租金的取值要求. 问题构建 追问6:你能说说用分式方程解决这类问题的优势是什么吗？ 直接贴合题目最直观的等量关系（房屋总间数相等）,设元更直接，能便捷解决“未知量出现在分母上”的实际问题. 追问7:继续思考是否有其他设未知数的方法？如果有,你打算怎样做？方程是怎样的？ 该单位沿街出租的房屋共有间: =500 解得: 检验 追问8:用自己的语言对比分析两种设未知数和列方程的方法？ 协作破冰 例2：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品,师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品,师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍,求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品? 问题5:找出这个情境中的已知量、未知量,并用文字语言表述出其中的等量关系? 已知量:①师傅每天比徒弟多加工10个工艺品;②师傅加工的工作总量为300个;③徒弟加工的工作总量为120个;④师傅加工300个工艺品的时间=2×徒弟加工120个工艺品的时间. 未知量:①徒弟每天加工的工艺品数量;②师傅每天加工的工艺品数量. 等量关系:①师傅每天加工的工艺品数量=徒弟每天加工的工艺品数量+10个 ②师傅加工300个工艺品的时间=2×徒弟加工120个工艺品的时间. 协作破冰 追问1:如果我们设徒弟每天加工个工艺品,那么师傅每天加工的数量怎么表示？师傅加工300个工艺品的时间,怎么用含的代数式表示？徒弟加工120个工艺品的时间呢？ 师傅每天加工的工艺品数量：(+10)个 师傅加工300个工艺品的时间：​天 徒弟加工120个工艺品的时间：​天 追问2:你能根据等量关系列出方程吗？ =2×​ 11 协作破冰 追问3:你能给出这个方程的求解过程吗？ = 两边同乘最简公分母(+10)： 300=240(+10) 展开：300=240+2400 移项、合并同类项：60=2400 系数化为1: =40 思考:为什么我们必须先检验解是否是原分式方程的根,再检验是否符合实际意义？这两个检验可以省略其中一个吗？为什么？ 经检验: =40是原分式方程的解. 协作破冰 问题6:对比列一元一次方程解应用题,说说列分式方程解应用题的步骤，有什么相同点和不同点？ 对比维度 相同点 不同点 核心逻辑 解题步骤一致,均为：审题→找等量关系→设元→列方程→解方程→检验→作答;核心关键均为找等量关系 方程类型不同：一元一次方程是整式方程，分母不含未知数；分式方程分母含未知数 解方程 最终均转化为一元一次方程求解 求解步骤不同：分式方程需先去分母转化为整式方程，一元一次方程可直接求解 检验要求 均需检验解是否符合实际意义 检验要求不同：一元一次方程无需检验是否为方程本身的根（无增根）；分式方程必须先检验是否为原方程的根（排除增根），再检验实际意义，需双检验 适用场景 均可解决生活中的实际应用题 适用场景不同：分式方程更适配未知量在分母上的问题，设元更直接；一元一次方程适配未知量在分子上的问题 教师示范 补1:甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发,甲、乙的速度比是3:4,结果甲比乙提前20min到达目的地,求甲、乙的速度.请你先找出这个问题的等量关系,再设元列出分式方程. 设甲的速度为3km/h,乙的速度为4km/h 甲走6km的时间：h， 乙走10km的时间：h 列方程:​− ​= 提示：遇到未知量间的比例关系，设元时建议带着比例整体设元，可以降低计算的复杂程度，提高计算的准确率. 巩固拓展 问题7:在列分式方程解应用题的过程中,你觉得最容易出错的环节是什么？我们可以怎么避免这些错误？ 最容易出错的环节： ① 审题时单位不统一,导致方程列错； ② 找等量关系时搞反数量逻辑,列错方程； ③ 去分母时,常数项漏乘最简公分母,解方程出错； ④ 忘记“双检验”,只检验一次,甚至完全不检验； ⑤ 列代数式时分子分母颠倒,违背基础数量关系； ⑥ 设未知数、作答时漏写单位或单位错误. 避免错误的方法： ① 审题第一步先统一所有量的单位,标注在题目上,再列代数式； ② 列方程前,先用文字语言写清等量关系,再对应代入代数式,不直接跳步列方程； ③ 去分母时牢记“方程每一项都要乘最简公分母,包括常数项”,去分母后先检查再计算； ④ 把“双检验”作为固定步骤,养成解完方程先验根、再验实际意义的习惯； ⑤ 列代数式前,先在草稿纸写清基础数量公式,再对应代入,避免分子分母颠倒； ⑥ 规范书写,设未知数必须带单位,作答对应匹配单位. 15 当堂检测 1.数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已 知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时 做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每 小时做 个盒子，根据题意可列方程( ) A. B. C. D. C 当堂检测 2.为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施.如图，， 分 别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用（元）与行驶路程 （千米）的 关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用 的3倍少0.1元，则燃气汽车每千米所需的费用为____元. 0.2 17 当堂检测 3.下面是学习分式方程的应用时，老师在黑板上板书的问题和甲、乙两名同学根据 问题所列出的方程.问题：为奖励科技创新大赛获奖学生，学校计划购买A，B两种 型号的智能机器人套件.已知A型号套件比B型号套件的单价少120元，且用7200元购 买A型号套件的数量与用9 600元购买B型号套件的数量相等. 求A，B两种型号智能机 器人套件的单价.甲： . 乙： . 根据以上信息，解答下列问题. （1）甲同学所列方程中的 表示_________________，乙同学所列方程 中的 表示______________________. A型号套件的单价 购买型套件的数量 当堂检测 （2）请你从以上两个方程中，任选一个解方程并回答老师提出的问题. 解：选择甲同学所列的方程： ，解得 . 经检验， 是原方程的根，且符合题意. . 答：A种型号智能机器人套件的单价为360元，B种型号智能机器人套 件的单价为480元. 反思总结 1.本节课我们学习了列分式方程解决实际问题,请你回顾一下，列分式方程解应用题的完整步骤是什么？其中最核心的环节是什么？最需要注意的关键步骤是什么？ 2.对比我们之前学的列一元一次方程解应用题,列分式方程解应用题在逻辑原理和解题步骤上,有什么联系与区别？你能说说我们为什么要学习分式方程的应用吗？ 3.通过本节课的学习,你认为用数学方程解决实际问题的核心逻辑是什么？在今后的生活中,你会如何运用今天学到的方法,解决遇到的实际问题？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第146页 第1,2题 二、素养类作业 课本第147页 第8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $