8.2.1 第2课时 离散型随机变量的概率分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的概率分布，通过雷锋日志愿者名额分配等实例导入，衔接随机变量概念，以习题讲评式教学搭建从具体问题到抽象方法的学习支架，涵盖分布列求法与性质应用。 其亮点在于以生活情境（如志愿者分配、取款机使用）培养数学眼光，通过思维建模（求分布列三步骤）发展数学思维，用表格公式规范数学语言。例1从名额分配抽象超几何分布，变式拓展至二项分布，助力学生提升建模能力，也为教师提供系统习题与方法总结，提高教学效率。

离散型随机变量的概率分布 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步理解离散型随机变量的概率分布，掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　离散型随机变量的 概率分布 题型(二)　概率分布列的性质 及其应用 课时检测 题型(一)　离散型随机变量的 概率分布 01 [例1]　今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的概率分布. 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 解：由题意易知X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==， 则X的概率分布为 X 0 1 2 3 P [变式拓展] 本例条件不变，若将4名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的)，记安排到高一年级的教师人数为ξ，求随机变量ξ的概率分布. ξ 0 1 2 3 4 P 解：由题意易知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)===，P(ξ=3)==，P(ξ=4)==， 则ξ的概率分布为 |思|维|建|模|　求离散型随机变量概率分布的步骤 (1)根据问题设出一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值. (2)求随机变量X的每一个取值对应的概率. (3)用解析式或表格表示X的概率分布. [注意]　利用所有概率之和是否为1检验概率分布的正误. 针对训练 1.已知袋中有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记X= 则X的概率分布为_________.  答案： 解析：由题意得，P(X=0)==，P(X=1)==. 所以X的概率分布为 X 0 1 P X 0 1 P 2.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答错误得0分，第三个问题回答正确得20分，回答错误得-10分.已知一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功. (1)求至少回答正确一个问题的概率； 解：用事件A表示“至少回答正确一个问题”， 则P(A)=1-××=. (2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X(单位：分)的概率分布； X -10 0 10 20 30 40 P 解：X的可能取值为-10，0，10，20，30，40. P(X=-10)=××=，P(X=0)=×××=， P(X=10)=×=，P(X=20)=××=， P(X=30)=×××=，P(X=40)=×=. 所以X的概率分布为 (3)求这位挑战者闯关成功的概率. 解：这位挑战者闯关成功的概率为P(X≥10)=1-P(X=-10)-P(X=0)=1--=. 题型(二)　概率分布列的性质 及其应用 02 [例2]　设离散型随机变量X的概率分布为 (1)求随机变量η=|X-1|的概率分布； X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 解：由概率分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3， 列表为 即随机变量η的可能取值为0，1，2，3，可得P(η=0)=P(X=1)=0.1， P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3，P(η=2)=P(X=3)=0.3，P(η=3)=P(X=4)=0.3，故η=|X-1|的概率分布为 (2)求随机变量ξ=X2的概率分布. 解：列表得 即随机变量ξ=X2的可能取值为0，1，4，9，16. 从而ξ=X2的概率分布为 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 |思|维|建|模|　概率分布的性质及其应用 (1)利用概率分布中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 针对训练 3.设随机变量X的概率分布列P(X=k)=(k=1，2，3，4，5)，则P(X≥4)=(　　) A. B. C. D. √ 解析：P(X=k)===，∵ P(X=k)=1，∴×==1.则m=，∴P(X≥4)=×=. √ 4.某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k)，根据统计得到p(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意知，p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1， 则p(0)=p(0)=1，解得p(0)=，即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.随机变量X的概率分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，c为常数，则P=(　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意得+++=1，即c=1，解得c=， 所以P=P(X=1)+P(X=2)=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若离散型随机变量X的概率分布如表所示， 则常数a的值为(　　) A. B. C.或 D.1或 √ X 0 1 P 6a2-a 3-7a 解析：由离散型随机变量概率分布列的性质知， ∴a=，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P(X=3)= (　　) A. B. C. D. √ 解析： “X=3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P(X=3)===.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤2)= (　　) A. B. C. D. √ 解析：令X=k表示前k个球为白球，第k+1个球为红球，此时P(X=0)==，P(X=1)=×=，P(X=2)=××=，则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X= 2)=++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知随机变量X的概率分布列为P(X=n)=(n=0，1，2)，其中a是常数，则下列说法正确的是(　　) A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= C.P(0≤X<2)= D.P(X≥1)= √ √ √ 解析：由P(X=n)=(n=0，1，2)，得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1，即++=1，解得a=，故A、B正确；P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1) =+=，故C正确；P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=+=，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1.则下列结论正确的是 (　　) A.共有24对相交棱 B.P(ξ=0)= C.P(ξ=)= D.P(ξ=1)= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有=24对相交棱，因此P(ξ=0)== =，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ=)==，于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0) -P(ξ=)=1--=，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]设随机变量ξ的概率分布如下，则下列结论正确的是 (　　) A.P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3) B.当an=(n=1，2，3，4)时，a5= C.若{an}为等差数列，则a3= D.{an}的通项公式可能为an= √ ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析： P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)，1-P(ξ≥3)=1-P(ξ=3)-P(ξ=4)-P(ξ=5) =P(ξ=1)+P(ξ=2)，∴P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3)，故A正确；当an=(n=1，2，3，4)时，a5=1----==，故B正确；若{an}为等差数列，则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=1，∴a3=，故C正确；当{an}的通项公式为an==-时，a1+a2+a3+a4+a5=1-+-+-+-+-=1-=≠1，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的概率分布如表，其 中a，b，c成等差数列，且c=ab.则这名运动员得3分的概率是______.  解析：由题意得2b=a+c，c=ab，a+b+c=1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a=，b=，c=，故得3分的概率是. X 0 2 3 P a b c 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若随机变量X的概率分布如表所示： 则a2+b2的最小值为______.  X 0 1 2 3 P a b 解析：由概率分布的性质，知a+b=，又a2+b2≥ =，则a2+b2的最小值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知随机变量X的概率分布如表所示. 若Y=X2，P(Y<x)=，则实数x的取值范围为_________.   (4，9] X -2 -1 0 1 2 3 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由随机变量X的概率分布列知，Y的可能取值为0，1，4，9，且P(Y=0)=，P(Y=1)=+==，P(Y=4)=+==，P(Y=9)=. 可得Y的概率分布如表所示. ∵P(Y<x)=，∴P(Y<x)=1-P(Y=9)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=4)，∴实数x的取值范围是(4，9]. Y 0 1 4 9 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P(X=i)=pi>0 (i=1，2，…，n)， pi=1，定义M(X)= pipn+1-i.若p1pn= ，则当n=3时， M(X)的最大值为_______.  解析：当n=3时，p1p3=，则M(X)= pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1=2p1p3+= +[1-(p1+p3)]2，∵p1>0，p3>0，p1p3=，∴p1+p3≥2=，当且仅当p1=p3=时，等号成立.所以≤p1+p3<1，0<1-(p1+p3)≤，∴M(X)≤+=，即M(X)的最大值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知离散型随机变量X的概率分布为 (1)求3X+2的概率分布；(4分) 解：由题意，知3X+2=-4，-1，2，5，8， 则3X+2的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求|X-1|的概率分布；(3分) 解：由题意，知|X-1|=0，1，2，3，则|X-1|的概率分布为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求X2的概率分布.(3分) 解：由题意，知X2=0，1，4，则X2的概率分布为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记-1分，取出黄球记零分. (1)以X表示所得分数，求X的概率分布；(10分) 解：依题意，当取到2个白球时，随机变量X=-2； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X=-1； 当取到2个黄球时，随机变量X=0； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X=1； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X=2； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当取到2个黑球时，随机变量X=4， 所以随机变量X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4， 则P(X=-2)==，P(X=-1)==，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=4)==， 所以X的概率分布为 X -2 -1 0 1 2 4 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求得分X>0时的概率.(5分) 解：由(1)得P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=4)=++=， 所以得分X>0时的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(6分) 解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知每检测一件产品需花费100元，设检测结束时所需要的检测总费用为X元，求X的概率分布列.(9分) X 200 300 400 P 解：由题意可知，X的可能取值为200，300，400.则P(X=200)==，P(X=300)==，P(X=400)==. 所以X的概率分布为 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $