7.2 第3课时 排列、排列数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

排列、排列数的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 进一步学习排列数及排列数公式，掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　特殊元素或特殊位置问题 题型(二)　元素“相邻”与 “不相邻”问题 题型(三)　定序问题 4 课时检测 题型(一)　特殊元素或 特殊位置问题 01 [例1]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种? 解：法一　把元素作为研究对象. 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步计数原理，有4×种排法.由分类计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法. 法二　把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.由分步计数原理知，共有=2 160(种)排法. 法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有-=2 160(种). (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解：把位置作为研究对象. 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步计数原理，共有=1 800(种)排法. [变式拓展] 1.本例条件不变，甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解：把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步计数原理，共有=1 200(种)排法. 2.本例条件不变，甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种? 解：间接法.总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法， 所以共有-2+=1 860(种)排法. |思|维|建|模|　特殊元素、特殊位置问题的解题思路 直接法 元素分析法 以元素为主，优先考虑特殊元素 位置分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 间接法 若解题时分类太多，用直接法求解较为麻烦，往往采用间接法 针对训练 1.从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译)，则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　) A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 √ 解析：依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3=180种. 2.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、美术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是_____.(用数字作答)  408 解析：①若数学在第一节，则有=120种排法； ②若数学不在第一节，则数学有种排法，再排体育有种排法，最后将其余四个科目全排列有种排法，按照分步计数原理可得有=288种排法.综上，一共有120+288=408种排法. 题型(二)　元素“相邻”与 “不相邻”问题 02 [例2]　现有4名男生和3名女生相约一起去看电影， 他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种? 解：根据题意，先将3个女生排在一起，有=6种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有=120种排法，由分步计数原理知，共有6×120=720种排法. (2)女生互不相邻的坐法有多少种? 解：根据题意，先将4个男生排好，有=24种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有=60种方法，故符合条件的排法共有24×60=1 440种. (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种? 解：根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有=24种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有=2种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有=20种排法，故符合条件的排法共有24×2×20=960种. |思|维|建|模| 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 针对训练 3.某博物馆新增包括A，B在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且A，B都是清朝的.现将这些文物摆成一排，要求A，B必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为 (　　) A.1 440 B.2 160 C.2 880 D.3 050 √ 解析：先排列5件清朝的，由于A，B必须相邻，用捆绑法得排列数有=48；由于唐朝的3件文物不得相邻，用插空法得排列数有=60；由分步计数原理得所有不同的摆法种数为48×60=2 880. √ 4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方案种数为 (　　) A.18 B.24 C.36 D.42 解析：剪纸和插花课相邻的安排方法有=48种，剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有=12种，故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法种数为48-12=36. 题型(三)　定序问题 03 [例3]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法? 解：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法. 法一：整体法　5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40(种). 法二：插空法　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D，E相邻，则有种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法. 所以有+=20(种)不同的排列方法. 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法. 因此满足条件的排列有20+20=40(种). |思|维|建|模| 在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个： (1)整体法：若有(m+n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m+n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. (2)插空法：m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中. 针对训练 5.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? 解：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有=20(种). (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? 解：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定，所以出场顺序有=10(种). 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有 (　　) A.6种 B.9种 C.18种 D.24种 √ 解析：先排体育有种，再排其他的三科有种，共有=18(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.4名男生、2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为 (　　) A.48 B.96 C.120 D.240 √ 解析：第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即=240. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有 (　　) A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 √ 解析：若第一棒选A，则有种选派方法；若第一棒选B，则有2种选派方法.由分类计数原理知，共有3=36(种)选派方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (　　) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! √ 解析：利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为()3=(3!)4.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有 (　　) A.184种 B.196种 C.252种 D.268种 √ 解析：从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有=360种方法；甲在第一天值班有=60种方法；乙在第四天值班有=60种方法；甲在第一天值班且乙在第四天值班有=12种方法；因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有360-60-60+12=252种方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为 (　　) A.480 B.240 C.384 D.1 440 √ 解析：若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜，则有=2种，再将其与其他4道菜作全排列，共有=120种，所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有240种；而六道菜依次上菜的总顺序有=720种，所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数有720-240=480种.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)五位同学站成一排合影，甲站在最右边，乙、丙相邻，则不同的站法种数为______.  12 解析：由乙、丙相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，又甲站在最右边，只有1种情况，所以不同站法种数为1××=12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)书架上某层有6本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来6本书的原有顺序，则不同的插法共有_______种.  504 解析：把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入，因此插法种数为=504. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i=1，2，…，7)，若a4=7，a1+a2+a3<a5+a6+a7，则这样的数列共有_____个.  360 解析：∵1+2+3+4+5+6=21，∴前3项的和S3≤10，列举可知，①(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)有4个；②(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)有3个；③(1，4，5)有1个；④(2，3，4)，(2，3，5)有2个，共有10个，∴共计有10××=360个这样的数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)将1盆红花，2盆黄花，3盆紫花摆放在如图所示的花坛里，每格放置1盆.要求相邻的两格颜色不相同，则不同的放法共有____种.  10             1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：将花坛格子从左到右，用1，2，3，4，5，6进行标记，先放紫花. (1)当3盆紫花中间均间隔一格时，有两种摆放方式，紫花所在格为1，3，5或2，4，6，此时，红花可以从剩余的3个格子中任意选择位置进行摆放，即有种，剩余的2个格子摆放黄花，故共有2=6种摆放方式. (2)当有两盆紫花中间间隔二格时，有两种摆放方式，即紫花所在格为1，3，6或1，4，6，此时红花必须从紫花间隔的两格中选择一个，即有种，剩余的两个摆放黄花即可，故共有2=4种摆放方式；综上，不同的放法有6+4=10种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数为__________ (用数字作答).  288 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一名男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有2种排法.所以不同的排法种数为·2=288. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单. (1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法?(4分) 解：先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法，故共有不同排法=14 400(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法?(6分) 解：先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有-=37 440(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)三个女生和五个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(3分) 解：(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法.因此共有=4 320(种)不同的排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?(3分) 解：(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法，因此共有=14 400(种)不同的排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?(3分) 解：法一：位置分析法　因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法，所以共有=14 400(种)不同的排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二：间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有-2+= 14 400(种)不同的排法. 法三：元素分析法　从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法，所以共有=14 400(种)不同的排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?(3分) 解：法一：位置分析法　因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法，因此共有+=36 000(种)不同的排法. 法二：间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-=36 000(种)不同的排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两女生，可有多少种不同的排法?(3分) 解：男生甲、乙站好有种站法，从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法，再把甲、乙及中间两女生看成一个整体捆绑在一起，和另外4人排成一排有种站法，所以共有=1 440(种)不同的排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课. (1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法?(3分) 解：第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法； 第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排列，有种排法， 所以数学和语文必须排在一起共有=2×120=240种排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)语文必须排第一节，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种?(3分) 解：第一步，先排语文，有1种排法； 第二步，将历史、体育、英语全排列，有=6种排法； 第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有=12种排法. 所以总的排法有1×6×12=72种排法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法?(3分) 解：第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有=120种排法； 第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法，第2步，再从剩下的4个学科(不包括数学)中选一科排在最后一节，有4种排法，第3步，中间4节任意排，有=24种排法，所以总的排法有4×4×24=384. 综上，满足条件的排法有120+384=504种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上(三科不一定连续上)，则共有多少种不同的排法?(3分) 解：数学、语文、英语的上课顺序共有=6种，满足条件的顺序只有1种，故满足条件的排法有×=120种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法?(3分) 解：第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种； 第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种； 第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种. 所以总的排法有7×8×9=504种. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $