6.2.2 第1课时 函数与导数的极值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数与函数的极值，系统梳理极值的定义、导数与极值的关系及求极值的步骤，通过课前自主预习落实基础，课堂梯度进阶研究题型，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合“微点助解”辨析极值本质，“思维建模”总结解题逻辑，培养学生数学思维与推理能力。题型示例与跟踪检测联动，助力学生掌握极值求法及参数问题，教师使用可提升教学效率，学生能深化对导数应用的理解。

6.2.2 导数与函数的极值、最值 函数与导数的极值 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.体会导数与单调性、极值的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.极大值与极小值 一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 （1）f（x）<f（x0），则称______为函数f（x）的一个极大值点，且 f（x）在x0处取________； （2）f（x）>f（x0），则称______ 为函数f（x）的一个极小值点，且 f（x）在x0处取________. _________与__________都称为极值点，_______与_______都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小. x0 极大值 x0 极小值 极大值点 极小值点 极大值 极小值 |微|点|助|解| （1）对于极值的认识 ①函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的. ②若f（x）在某区间内有极值，则f（x）在该区间内一定不具有单调性，即在区间上具有单调性的函数没有极值. （2）对于函数极值点的认识 ①函数f（x）在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. ②当函数f（x）在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的. ③从曲线的切线角度看，曲线在极值点处切线的斜率为0.并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 2.可导函数的极值与导数的关系 一般地，设函数f（x）在x0处可导，且f'（x0）=0. （1）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）>0，对于x0右侧附近的任意x，都有___________，那么此时x0是f（x）的极大值点. （2）如果对于x0左侧附近的任意x，都有f'（x）<0，对于x0右侧附近的任意x，都有___________，那么此时x0是f（x）的极小值点. （3）如果f'（x）在x0的左侧附近与右侧附近均为______（或均为 ______），则x0一定不是y=f（x）的极值点. f'（x）<0 f'（x）>0 正号 负号 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）导数值为0的点一定是函数的极值点. （　　） （2）函数的极小值一定小于它的极大值. （　　） （3）函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. （　　） （4）如果f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内不具有单调性. （　　） 基础落实训练 × × × √ 2.函数f（x）的定义域为开区间（a，b）， 导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所 示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的 极小值点有 （　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 3.若函数y=-x3+6x2+m的极大值等于13，则实数m等于_______.  -19 解析：y'=-3x2+12x，由y'=0，得x=0或x=4，容易得出当x=4时函数取得极大值，所以-43+6×42+m=13，解得m=-19. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　函数极值的辨析 [例1]　[多选]已知函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y=（1-x）f'（x）的图象如图所示，则 （　　） A.函数f（x）有极大值f（2） B.函数f（x）有极大值f（-2） C.函数f（x）有极小值f（-2） D.函数f（x）有极小值f（2） √ √ 解析：由题图可知，当x<-2时，f'（x）>0；当-2<x<1时，f'（x）<0；当1<x<2时，f'（x）<0；当x>2时，f'（x）>0.由此可以得到函数f（x）在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值. 　　|思|维|建|模| 　　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的.若由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 针对训练 1.设f（x）=x2+cos x，则函数f（x）（　　） A.有且仅有一个极小值 　B.有且仅有一个极大值 C.有无数个极值 　D.没有极值 √ 解析：f'（x）=x-sin x，f″（x）=1-cos x≥0，∴f'（x）单调递增且 f'（0）=0，∴当x<0时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减，当x>0时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增，故f（x）有唯一的极小值点.故选A. 2.[多选]如图是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象，则下列说法正确的是 （　　） A.函数f（x）在区间（1，3）内单调递减 B.f（1）<f（2） C.函数f（x）在x=1处取极大值 D.函数f（x）在区间（-2，5）内有两个极小值点 √ √ 解析：由导函数y=f'（x）的图象，可知函数f（x）在（1，2）内单调递增，在（2，3）内单调递减，故f（1）<f（2），故A错误，B正确；由导函数的图象，可知f（x）在（-1，2）内单调递增，故x=1不是函数的极大值点，故C错误；由导函数图象可得在区间（-2，5）内有 f'（-1）=f'（4）=0，且在（-2，-1）与（3，4）内导函数小于0，在（-1，0）和（4，5）内导函数大于0，故x=-1和x=4为函数的两个极小值点，故在区间（-2，5）内有两个极小值点，故D正确. 题型（二）　求函数的极值 [例2]　求下列函数的极值点和极值. （1）f（x）=x3-x2-3x+3； 解：f（x）=x3-x2-3x+3的定义域为R，f'（x）=x2-2x-3.令f'（x）=0，得x1=3，x2=-1.当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表. x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此当x=-1时，f（x）有极大值，并且极大值为f（-1）=；当x=3时，f（x）有极小值，并且极小值为f（3）=-6. （2）f（x）=+3ln x. 解：函数f（x）=+3ln x的定义域为（0，+∞）， f'（x）=-+=，令f'（x）=0得x=1. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表. x （0，1） 1 （1，+∞） f'（x） - 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗ 因此当x=1时，f（x）有极小值，并且极小值为f（1）=3；无极大值. |思|维|建|模|　求可导函数f（x）的极值的步骤 （1）求函数的定义域； （2）求函数的导数f'（x）； （3）令f'（x）=0，求出全部的根x0； （4）列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f'（x），f（x）在每个区间内的变化情况列在一个表格内； （5）判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则在x0处取得极小值. 针对训练 3.（1）求f（x）=x2e-x的极值； 解：f'（x）=2xe-x-x2e-x，令f'（x）=0，得x=0或x=2， 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表. x （-∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞） f'（x） - 0 + 0 - f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以f（x）的极小值是f（0）=0，极大值是f（2）=. （2）求函数f（x）=的极值. 解：函数f（x）=的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）， f'（x）=.令f'（x）=0，得x1=-1，x2=2. 所以当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表. x （-∞，-1） -1 （-1，1） （1，2） 2 （2，+∞） f'（x） + 0 - + 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ ↗ 非极值 ↗ 故当x=-1时，f（x）有极大值，极大值为-. 题型（三）　由函数极值求参数的值或范围 [例3]　已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是 （　　） A.（-1，2）　　　　　　　　　 B.（-∞，-3）∪（6，+∞） C.（-3，6）　　　　　　　　　 D.（-∞，-1）∪（2，+∞） √ 解析：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以f'（x）=3x2+2ax+a+6，函数f（x）有极大值和极小值，所以其导函数f'（x）=0有两个不同的解，Δ=4a2-4×3（a+6）>0，所以a<-3或a>6. [例4]　[多选]已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则下列说法正确的是 （　　） A.a+b=0 B.a+b=-7 C.f（x）一定有两个极值点 D.f（x）一定存在单调递减区间 √ √ √ 解析：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2定义域为R，求导得f'（x）=3x2+2ax+b，依题意，即 解得或当时，f'（x）=3x2-6x+3= 3（x-1）2≥0，函数f（x）在R上单调递增，无极值不符合题意， 当时，f'（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），当x<-或x>1时，f'（x）>0，当-<x<1时，f'（x）<0，因此函数f（x）在，（1，+∞）上单调递增，在内单调递减， f（x）在x=1处取得极小值，符合题意，则a+b=-7，A不正确，B正确；函数f（x）在x=-处取得极大值，f（x）一定有两个极值点，C正确；f（x）一定存在单调递减区间，D正确. 　　|思|维|建|模| 已知函数的极值情况求参数时应注意两点 待定 系数法 根据极值点处导数值为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解 验证 因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证 针对训练 4.若函数f（x）=x3-ax2+ax在（0，1）内有极大值，在（1，2）内有极小值，则实数a的取值范围为（　　） A.（-∞，0） B. C. D. √ 解析：由f（x）=x3-ax2+ax，得f'（x）=x2-2ax+a， 因为f（x）在（0，1）内有极大值，在（1，2）内有极小值， 所以解得1<a<. 5.已知f（x）=ax5-bx3+c在x=±1处取得极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值. 解：f'（x）=5ax4-3bx2=x2（5ax2-3b），由题意，f'（x）=0应有根x=±1，故5a=3b，于是f'（x）=5ax2（x2-1），当a>0时，如表所示. x （-∞，-1） -1 （-1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞） f'（x） + 0 - 0 - 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 非极值 ↘ 极小值 ↗ 当a>0时，由表可得，f（x）极大值为f（-1）=4，即-a+b+c=4　①， f（x）极小值为f（1）=0， 即a-b+c=0　②，又5a=3b　③， 解①②③得a=3，b=5，c=2.当a<0时，同理可得f（x）极大值为f（1）=4，即a-b+c=4，f（x）极小值为f（-1）=0，即-a+b+c=0，又5a=3b，同理解得a=-3，b=-5，c=2.所以a=3，b=5，c=2或a=-3，b=-5，c=2. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.若函数y=f（x）可导，则“f'（x）=0有实根”是“f（x）有极值”的 （　　） A.必要不充分条件　　　　 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：f'（x）=0，但f'（x）在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时f（x）在零点处无极值，但f（x）有极值则f'（x）在极值点处一定等于0.所以“f'（x）=0有实根”是“f（x）有极值”的必要不充分条件.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.定义在区间上的函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A.函数f（x）在区间（0，4）内单调递增 B.函数f（x）在区间内单调递减 C.函数f（x）在x=0处取得极小值 D.函数f（x）在x=3处取得极小值 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：根据导函数图象可知，在区间内，f'（x）<0，f（x）单调递减，在（0，4）内，f'（x）>0，f（x）单调递增，所以f（x）在x=0处取得极小值，没有极大值，故A、B、C正确，D错误.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知函数f（x）=xex的极小值为 （　　） A.e B.-1 C.-e D.- √ 解析：因为f（x）=xex，所以f'（x）=（x+1）ex，令f'（x）=0得x=-1，令f'（x）>0得x>-1，令f'（x）<0得x<-1，所以函数f（x）=xex在（-1，+∞）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，所以f（x）=xex的极小值为f（-1）=-e-1=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知函数f（x）的导数f'（x）=a（x+1）（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 （　　） A.（-∞，-1） B.（0，+∞） C.（0，1） D.（-1，0） √ 解析：若a<-1，∵f'（x）=a（x+1）（x-a），∴f（x）在（-∞，a）上单调递减，在（a，-1）内单调递增，∴f（x）在x=a处取得极小值，与题意不符；若-1<a<0，则f（x）在（-1，a）内单调递增，在（a，+∞）上单调递减，从而在x=a处取得极大值.若a>0，则f（x）在（-1，a）内单调递减，在（a，+∞）上单调递增，与题意矛盾.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若函数y=ex-2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是 （　　） A. B. C. D.（0，1） √ 解析：由y=ex-2mx，得y'=ex-2m.∵函数y=ex-2mx有小于零的极值点，∴ex-2m=0有小于零的实根，即m=ex有小于零的实根，∵x<0，∴0<ex<，∴0<m<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是 （　　） A.∀x∈R，f（x）≥f（x0） B.-x0是f（-x）的极大值点 C.-x0是-f（x）的极小值点 D.-x0是-f（-x）的极小值点 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧区域而言的，故A不正确； f（-x）的图象相当于f（x）的图象关于y轴的对称图象，故-x0应是 f（-x）的极大值点，故B正确； -f（x）的图象相当于f（x）的图象关于x轴的对称图象，故x0应是 -f（x）的极小值点，跟-x0没有关系，故C不正确；-f（-x）的图象相当于f（x）的图象先关于y轴作对称，再关于x轴作对称得到的图象，故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是 （　　） A.（-∞，0） B. C.（0，1） D.（0，+∞） √ 解析：函数f（x）=x（ln x-ax），则f'（x）=ln x-ax+x=ln x-2ax+1，令f'（x）=ln x-2ax+1=0得ln x=2ax-1，函数f（x）=x（ln x-ax）有两个极值点，等价于f'（x）=ln x-2ax+1有两个零点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 等价于函数y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点.在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当a=时，直线y=2ax-1与y=ln x的图象相切，由图可知，当0<a<时，y=ln x与y=2ax-1的图象有两个交点，则实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（2024·新课标Ⅰ卷）[多选]设函数f（x）=（x-1）2（x-4），则 （　　） A.x=3是f（x）的极小值点 B.当0<x<1时，f（x）<f（x2） C.当1<x<2时，-4<f（2x-1）<0 D.当-1<x<0时，f（2-x）>f（x） √ √ √ 解析：因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）=2（x-1）（x-4）+（x-1）2=3（x-1）（x-3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）<0，当x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）>0，函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，3）内单调递减，在（3，+∞）上单调递增，故x=3是函数f（x）的极小值点，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当0<x<1时，x-x2=x（1-x）>0，所以1>x>x2>0，而由上可知，函数 f（x）在（0，1）内单调递增，所以f（x）>f（x2），故B错误；当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）内单调递减，所以f（1）>f（2x-1）>f（3），即-4<f（2x-1）<0，故C正确；当-1<x<0时，f（2-x）-f（x）=（1-x）2·（-2-x）-（x-1）2（x-4）=（x-1）2（2-2x）>0，所以f（2-x）>f（x），故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）已知函数f（x）=ax3+bx2+c，其导数y=f'（x）的图象如图所示，则函数的极小值是_________.  c 解析：依题意f'（x）=3ax2+2bx.由题图可知，当x<0时，f'（x）<0，当0<x<2时，f'（x）>0，故x=0时函数f（x）有极小值，极小值为f（0）=c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）（2025·全国Ⅱ卷）若x=2是函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，则f（0）=________.  -4 解析：由题意，得f'（x）=（2x-3）（x-a）+（x2-3x+2），∵x=2是函数f（x）=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，∴f'（2）=0，得a=2，∴f（x）=（x-1）（x-2）2，经检验知x=2是极值点，∴a=2符合题意.故f（0）=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）函数f（x）=ax3-6x的一个极值点为1，则f（x）的极大值是_______.  解析：f（x）=ax3-6x定义域为R，f'（x）=3ax2-6，由题意得，f'（1）=3a-6=0，解得a=2，故f'（x）=6x2-6.令f'（x）=0，解得x=±1，令 f'（x）>0，得x>1或x<-1，f（x）=2x3-6x单调递增，令f'（x）<0， 得-1<x<1，f（x）=2x3-6x单调递减，故f（x）=2x3-6x在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=-2+6=4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知f（x）=x3-x2+2x+1，x1，x2是f（x）的两个极值点，且 0<x1<1<x2<3，则实数a的取值范围为________.  解析：∵f'（x）=x2-ax+2，∴x1，x2是f'（x）=0的两个根， 由0<x1<1<x2<3，结合二次函数的性质， 得解得3<a<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）求下列函数的极值： （1）f（x）=ex-x；（5分） 解：函数定义域为R，f'（x）=ex-1.令f'（x）=0，解得x=0. 当x<0时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减； 当x>0时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增. 所以当x=0时，函数f（x）取得极小值，且极小值为f（0）=1，函数 f（x）无极大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）f（x）=x-ln（x+1）.（5分） 解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f'（x）=1-=. 令f'（x）=0，得x=0.当-1<x<0时，f'（x）<0，函数f（x）单调递减； 当x>0时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增.所以当x=0时，函数f（x）取得极小值，且极小值为f（0）=0，函数f（x）无极大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（15分）设函数f（x）=ex（ax2+bx-3），且满足f（）=0， f'（0）=-3. （1）求实数a+b的值；（6分） 解：f（x）=ex（ax2+bx-3），则f'（x）=ex[ax2+（b+2a）x+b-3]， 即解得 故实数a+b的值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求函数f（x）的极值.（9分） 解：由（1）得f（x）=ex（x2-3），函数定义域为R，f'（x）=ex（x2+2x-3），由f'（x）>0，解得x<-3或x>1；由f'（x）<0，解得-3<x<1.则f（x）在（-∞，-3）和（1，+∞）上单调递增，在（-3，1）内单调递减. 当x=-3时，f（x）有极大值f（-3）=； 当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-2e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知函数f（x）=（x2+ax+a）ex（a<2，x∈R）. （1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（6分） 解：f（x）=（x2+x+1）ex，f'（x）=（2x+1）ex+（x2+x+1）ex=（x2+3x+2）ex.当f'（x）>0时，解得x<-2或x>-1； 当f'（x）<0时，解得-2<x<-1. ∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）， 单调递减区间为（-2，-1）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由.（9分） 解：令f'（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex =[x2+（2+a）x+2a]ex =（x+a）（x+2）ex =0，解得x=-a或x=-2. ∵a<2，∴-a>-2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 x （-∞，-2） -2 （-2，-a） -a （-a，+∞） f'（x） + 0 - 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 列表如下. 由表可知f（x）极大值=f（-2）=（4-2a+a）e-2=3， 解得a=4-3e2<2. ∴存在实数a<2，使f（x）的极大值为3，此时a=4-3e2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $