6.1.4 第1课时 导数的四则运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则及其应用，通过“课前预知教材·自主落实基础”梳理公式，再以“课堂题点研究·迁移应用融通”进阶，构建从公式理解到切线、实际问题应用的学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，结合“微点助解”解析公式结构，题型涵盖切线斜率计算（例2）、净化费用瞬时变化率（例3），培养数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（精确表达导数意义），助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

6.1.4 求导法则及其应用 导数的四则运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 理解和、差、积、商的求导法则，能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数，进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 　　如果f（x），g（x）都可导，则 和（或差） 的导数 [f（x）±g（x）]'=________________ 积的导数 [f（x）g（x）]'=____________________________. 特别地，当g（x）=C（C为常数）时，[Cf（x）]' =______________ 商的导数 '=. 特别地，'=-（g（x）≠0） f'（x）±g'（x） f'（x）g（x）+f（x）g'（x） Cf'（x） |微|点|助|解| 1.公式推广 函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1（x），f2（x），…， fn（x）在x处可导，则[f1（x）±f2（x）±f3（x）±…±fn（x）]'= f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）. 2.结构特征 积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导+前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”. 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）'=ex. （　　） （2）函数f（x）=xex的导数f'（x）=ex（x+1）. （　　） （3）当g（x）≠0时，'=. （　　） 基础落实训练 × √ √ 2.设y=-2exsin x，则y'等于 （　　） A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex（sin x+cos x） √ 解析：∵y=-2exsin x，∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex（sin x+cos x）. 3.函数y=的导数是（　　） A.- B.-sin x C.- D.- √ 解析：y'='===-. 4.已知f（x）=ax3+3x2+2，若f'（-1）=4，则实数a=__________.  解析：∵f'（x）=3ax2+6x，∴f'（-1）=3a-6=4，∴a=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　利用导数四则运算法则求导数 [例1]　求下列函数的导数： （1）y=+； 解：y=+=2x-2+3x-3，y'=-4x-3-9x-4. （2）y=x3·10x； 解：y'=（x3）'·10x+x3·（10x）'=3x2·10x+x3·10xln 10. （3）y=cos x·ln x. 解：y'=（cos x）'·ln x+cos x·（ln x）'=-sin xln x+. 　　|思|维|建|模| 求函数导数的策略 （1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数. （2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算. 针对训练 1.若函数f（x）=在x=a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为_________.  解析： ∵f（x）=，∴f（a）=，又∵f'（x）='=， ∴f'（a）=.由题意知f（a）+f'（a）=0， ∴+=0，∴2a-1=0，∴a=. 2.求下列函数的导数： （1）y=x5+x3； 解：y'='='+'=x4+4x2. （2）y=3x+lg x； 解：y'=（3x+lg x）'=（3x）'+（lg x）'=3xln 3+. （3）y=3x2+xcos x； 解：y'=（3x2+xcos x）'=（3x2）'+（xcos x）'=6x+cos x-xsin x. （4）y=； 解：y'='===. （5）y=xtan x. 解：因为y=xtan x=， 所以y'='= ==. 题型（二）　导数四则运算法则在切线问题中的应用 [例2]　已知f（x）=ln x+x2. （1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程； 解：∵f（x）=ln x+x2，∴f'（x）=+x， 当x=1时，f'（1）=，f（1）=， ∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y-=（x-1），即10x-8y-9=0. （2）设P为曲线f（x）上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角α的取值范围. 解：由题意x>0，f（x）=ln x+x2， ∴f'（x）=+x≥2=1，当且仅当=x，即x=2时，等号成立， ∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1， ∴tan α≥1，又0≤α<π，∴≤α<，即倾斜角α的取值范围为. 　　|思|维|建|模| 解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系. （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确. （3）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点. 针对训练 3.（2024·全国甲卷）设函数f（x）=，则曲线y=f（x）在（0，1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. √ 解析：f'（x）=， 则f'（0）==3， 即该切线方程为y-1=3x，即y=3x+1.令x=0，则y=1，令y=0， 则x=-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S=×1×=. 4.点P是曲线f（x）=2x2-3ln x上任意一点，则点P到直线y=x-4的最短 距离为_________.  解析：f'（x）=4x-（x>0），令f'（x）=4x-=1， 解得x=1，又f（1）=2，可得与直线y=x-4平行且与曲线y=f（x）相切的直线的切点为（1，2），所以点P到直线y=x-4的最短距离为=. 题型（三）　导数四则运算法则在实际问题中的应用 [例3]　日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1 t水净化到纯净度为x%所需费用（单位：元）为c（x）=（80<x<100）. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%； 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数 c'（x）='= ==. 因为c'（90）==52.84， 所以净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/t. （2）98%. 解：因为c'（98）==1 321， 所以净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1 321元/t. 　　|思|维|建|模| 　　明确自变量及相应函数值的实际意义，是解释导数实际意义的前提，审题时要先在这方面下功夫. 针对训练 5.已知某产品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p=25-q. （1）求q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率； 解：收入R=qp=q=25q-q2，利润L=R-C=-（100+4q）=-q2+21q-100（0<q<200）.= ==20.5.所以q从1变到3时，利润L关于产量q的平均变化率为20.5. （2）求L'（2）并解释它的实际意义. 解：L'=-q+21，L'（2）=21-=20.5.L'（2）表示产量为2时， 产量每增加一个单位，利润增加20.5元. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]下列求导运算错误的是 （　　） A.'=1+ B.（log2x）'= C.（3x）'=3x D.（x2cos x）'=-2xsin x √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.一质点运动的位移方程为s=60t-gt2（g=10 m/s2），当t=5 s时，该质点的瞬时速度为（　　） A.20 m/s B.25 m/s C.10 m/s D.15 m/s √ 解析：因为s'=60-gt，所以当t=5 s时，s'=60-5g=10 m/s.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.曲线f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）在原点处的切线方程为 （　　） A.y=-6x B.y=-3x C.y=3x D.y=6x √ 解析：因为f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3），所以f'（x）=（x-1）（x-2）（x-3）+x·[（x-1）（x-2）（x-3）]'，所以f'（0）=（-1）×（-2）×（-3）+0=-6，所以切线方程为y=-6x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知曲线y=在点（0，a）处的切线方程为y=x+b，则a+b=（　　） A.2 B.e C.3 D.2e √ 解析：根据导数的运算公式y'==， 当x=0时，y'=2-a，∴2-a=1，即a=1.∵（0，1）在切线y=x+b上， 即b=1，∴a+b=2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知f（x）=ax2+ln x，且=6.若f（x）在（1，f（1））处的切线与直线bx+ay+1=0垂直，则a+b=（　　） A. B. C. D.0 √ 解析：依题意，=2× =2f'（1）=6，f'（1）=3，则-×3=-1，a=3b.又f（x）=ax2+ln x， f'（x）=2ax+，f'（1）=2a+1=3，a=1，所以b=，所以a+b=.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：===ex=e0=1，则=（　　） A. B. C.1 D.2 √ 解析：由题意得====，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.函数f（x）=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是 （　　） A.（-∞，-2] B.（-∞，2） C.（2，+∞） D.（0，+∞） √ 解析：函数f（x）=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线， 即f'（x）=2在（0，+∞）上有解.所以f'（x）=+a=2在（0，+∞）上有解，则a=2-.因为x>0，所以2-<2，所以a的取值范围是（-∞，2）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）已知函数f（x）=（x-98）（x-99），则f'（99）=________.  解析：由函数f（x）=（x-98）（x-99），可得f'（x）=2x-197， 所以f'（99）=2×99-197=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）已知函数f（x）的导函数是f'（x），且满足f（x）=f'cos x +2x，则f'=_______.  解析：∵f（x）=f'cos x+2x，∴f'（x）=-f'sin x+2， ∴f'=-f'sin+2，∴f'=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）（2025·全国Ⅰ卷）若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线，则a=_________.  4 解析：y'=ex+1，令y'=ex+1=2⇒x=0， 代入y=2x+5⇒切点为（0，5）， 再将（0，5）代入y=ex+x+a⇒a=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）（2024·新课标Ⅰ卷）若曲线y=ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a=________.  ln 2 解析：由y=ex+x得y'=ex+1，当x=0时，y'=e0+1=2，故曲线y=ex+x在（0，1）处的切线方程为y=2x+1.由y=ln（x+1）+a得y'=，设切线与曲线y=ln（x+1）+a相切的切点为（x0，ln（x0+1）+a），由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a- ln 2，根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m， 水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为 ________m/s.  解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r， =，即r=.因为水的体积为πr2h=v水流t=5πt， 即h=4，h'（t）=4×，所以当t=1时， h'（1）=.即水面上升的速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）求下列函数的导数： （1）y=-ln x；（2分） 解：y'=（-ln x）'=（）'-（ln x）'=-. （2）y=（x2+1）（x-1）；（2分） 解：y'=[（x2+1）（x-1）]'=（x3-x2+x-1）'=（x3）'-（x2）'+（x）' -（1）'=3x2-2x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）y=；（3分） 解：y'==. （4）y=.（3分） 解：y'= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）已知函数f（x）=ln x+ax2+x（a∈R），且f'（1）=4. （1）求a的值；（4分） 解：由f（x）=ln x+ax2+x，得f'（x）=+2ax+1，又f'（1）=4， 所以1+2a+1=4，解得a=1. （2）求函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程.（6分） 解：由a=1，得f（x）=ln x+x2+x，所以f（2）=ln 2+6，即切点为（2， ln 2+6），又切线的斜率为k=f'（2）=，所以函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln 2+6）=（x-2），即11x-2y+2ln 2-10=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导数，若f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”. 现已知f（x）=x3-3x2+2x-2. 请解答下列问题： （1）求函数f（x）的“拐点”A的坐标；（5分） 解：∵f'（x）=3x2-6x+2，f″（x）=6x-6，∴令f″（x）=6x-6=0， 得x=1.有f（1）=1-3+2-2=-2，∴“拐点”A为（1，-2）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求证：f（x）的图象关于“拐点”A对称.（10分） 解：证明：设P（x0，y0）是y=f（x）图象上任意一点，则y0=-3+ 2x0-2.P（x0，y0）关于“拐点”A（1，-2）的对称点为P'（2-x0，-4-y0）.把点P'坐标代入y=f（x）得左边=-4-y0=-+3-2x0-2，右边=（2-x0）3 -3（2-x0）2+2（2-x0）-2=-+3-2x0-2，∴左边=右边，∴点P'（2-x0， -4-y0）在y=f（x）的图象上.∴y=f（x）关于“拐点”A对称. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $