6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“瞬时变化率与导数”核心知识点，通过课前自主预习落实基础概念，课堂梯度进阶研究瞬时变化率计算、导数定义应用及实际意义，搭建从平均变化率到导数概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合具体函数（如y=x²、f(x)=-6/x）和实际问题（细菌数量、利润分析），通过思维建模总结解题步骤，培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言（符号表达、极限定义），帮助学生深化概念理解，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

6.1.2 导数及其几何意义 瞬时变化率与导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，进一步体会导数的内涵与思想. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 　　函数在某点处的导数 1.瞬时变化率 一般地，设函数y=f（x）在x0附近有定义，自变量在_______处的改变量为Δx，当________________ 时，若平均变化率= _________________ 无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率. x=x0 Δx无限接近于0 2.函数f（x）在x=x0处的导数 （1）函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，也称f（x）在_______处可导，并称k为 f（x）在x=x0处的导数，记作____________. （2）“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”（读作“趋向于”）表示为当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f'（x0）= ________________________. x0 f'（x0）=k 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在一点处的导数f'（x0）是一个常数. （　　） （2）函数y=f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x=x0处的函数值. （　　） （3）函数f（x）=0没有导函数. （　　） （4）=. （　　） 基础落实训练 √ √ × √ 2.某物体运动的位移随时间变化的函数是s=f（t），已知t0时刻该物体的瞬时速度为a，则的值为（　　） A.-2a B.2a C.a D. √ 解析：因为t0时刻该物体的瞬时速度为a， 所以=f'（t0）=a. 3.函数y=x2在x=1处的瞬时变化率为 （　　） A.2 B. C.- D.1 √ 解析：函数y=x2在x=1处的瞬时变化率为= （Δx+2）=2. 4.设函数f（x）在x=x0处可导，且满足=，则f'（x0）=（　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 √ 解析：f'（x0）==2 =2×=1. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　瞬时变化率 [例1]　已知函数y=f（x）=2x2+1. （1）求函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率； 解：∵Δy=f（x0+Δx）-f（x0）=2（x0+Δx）2+1-2-1=2Δx（2x0+Δx）， ∴函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为==4x0+2Δx. （2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率； 解：由（1）可知=4x0+2Δx，当x0=2，Δx=0.01时， =4×2+2×0.01=8.02， 即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. （3）求函数f（x）在x=2处的瞬时变化率. 解：Δy=f（2+Δx）-f（2）=2（2+Δx）2+1-（2×22+1） =2（Δx）2+8Δx.∴=2Δx+8. 故函数f（x）在x=2处的瞬时变化率为=（2Δx+8）=8. 　　|思|维|建|模| 求瞬时变化率的主要步骤 （1）计算函数值的改变量Δy=f（x2）-f（x1）. （2）计算自变量的改变量Δx=x2-x1. （3）得平均变化率=. （4）得瞬时变化率. 针对训练 1.已知函数f（x）=-. （1）函数f（x）在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少? 解：∵f（x）=-，∴f（1）=-6，f（1.5）=-4，f（1.1）=-， ∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为==4， 在区间[1，1.1]上的平均变化率为==. （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率是多少? 解：函数f（x）在x=1处的瞬时变化率为 = ===6. 题型（二）　导数定义的应用 [例2]　已知函数y=f（x）=求此函数在x=1和x=4处的导数. 解：当x=1时，f（x）=3x2+2，所以Δy=3（1+Δx）2+2-（3×12+2） =6Δx+3（Δx）2.所以==6+3Δx.所以f'（1）== （6+3Δx）=6.当x=4时，f（x）=29+3（x-3）2，所以Δy=29+ 3（4+Δx-3）2-[29+3（4-3）2]=6Δx+3（Δx）2.所以= =6+3Δx.所以f'（4）==（6+3Δx）=6. 　　|思|维|建|模| 求函数y=f（x）在x=x0处的导数的三个步骤 针对训练 2.已知y=f（x）=，且f'（m）=-，则m等于（　　） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 √ 解析：因为===， 所以f'（m）==-，所以-=-，m2=4，解得m=±2. 3.求函数y=x-在x=1处的导数. 解：∵Δy=（1+Δx）--=Δx+， ∴==1+， ∴==2.从而y'|x=1=2. 题型（三）　导数在实际问题中的意义 [例3]　已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f（t）=105+104t -103t2. （1）求f'（10）； 解：由函数f（t）=105+104t-103t2，当Δh≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10，10+Δh]（Δh>0）内，可得细菌数量关于时间的增量为 f（10+Δh）-f（10）=105+104（10+Δh）-103（10+Δh）2-（105+104× 10-103×102）=-104Δh-103（Δh）2， 则==-104-103Δh， 当Δh趋近于0，就得到f'（10）=（-104-103Δh）=-104=-10 000. （2）f'（10）的实际意义是什么? 解：f'（10）的实际意义是细菌数量在t=10时的瞬时变化率，它表明在t=10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少. 　　|思|维|建|模| 认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限. （2）函数y=f（x）在x=x0处的导函数f'（x0）反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 针对训练 4.某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为c（x）=-2x2+7 000x+600. （1）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率； 解：当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为 = =2 000（元/台）. （2）求c'（1 000）与c'（1 500），并说明它们的实际意义. 解：设x=1 000时产量的改变量为Δx1， 则== =-2Δx1+3 000. 令Δx1→0，可得c'（1 000）=3 000. 设x=1 500时产量的改变量为Δx2， 则===-2Δx2+1 000. 令Δx2→0，可得c'（1 500）=1 000.c'（1 000）的实际意义： 当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元； c'（1 500）的实际意义：当产量为1 500台时， 多生产1台旋切机可多获得1 000元.   课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.设函数y=f（x）在x0附近有定义，且有f（x0+Δx）-f（x0）=aΔx+ b（Δx）2（a，b为常数），则 （　　） A.f'（x）=a B.f'（x）=b C.f'（x0）=a D.f'（x0）=b √ 解析：∵==a+bΔx. ∴f'（x0）==a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.质点M按规律s（t）=2t2+3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t=2 s时的瞬时速度是 （　　） A.2 m/s B.6 m/s C.4 m/s D.11 m/s √ 解析：质点M在t=2 s时位移的平均变化率为==11+2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.若函数y=f（x）在x=x0处的导数为f'（x0），则等于（　　） A.-f'（x0） B.3f'（x0） C.-3f'（x0） D.-4f'（x0） √ 解析： =-4=-4f'（x0）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足=-1，则f'（0）等于（　　） A.-2 B.2 C.-1 D.1 √ 解析：∵f（x）的图象过原点，∴f（0）=0， ∴f'（0）===-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.[多选]某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数s（t）=t2+t+1表示，则 （　　） A.物体在t=1 s时的瞬时速度为0 m/s B.物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s C.瞬时速度为9 m/s的时刻是在t=4 s时 D.物体从0到1的平均速度为2 m/s √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：= =（3+Δt）=3，即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s，故A错误； ==（1+Δt）=1， 即物体在t=0 s时的瞬时速度为1 m/s，故B正确；设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，又=（2t0+1+Δt）=2t0+1=9， 所以t0=4，物体在t=4 s时的瞬时速度为9 m/s，故C正确； ==2（m/s），故D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.设函数y=f（x）的导数为y=f'（x），若f'（x0）=-2，则等于（　　） A.1 B.-1 C. D.- √ 解析：= =-f'（x0）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.（5分）设函数f（x）=ax+3，若f'（1）=3，则a=________.   解析：因为f'（1）===a.又因为f'（1）=3，所以a=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.（5分）已知函数y=f（x）=2x2+1在x=x0处的瞬时变化率为-8，则 f（x0）=________.   9 解析：由题知-8==（2Δx+4x0）=4x0，解得x0=-2， 所以f（x0）=f（-2）=2×（-2）2+1=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.（5分）设函数y=f（x）在x=x0处可导，且=a，则f'（x0）=________.  -a 解析：∵= =-3f'（x0）=a，∴f'（x0）=-a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x，y=0，x= t（t>0）围成的△OAB的面积为S（t），则S（t）在t=2时的瞬时变化率是_______.  2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题设知B（t，t），即AB=t，而OA=t， 所以S（t）=OA·AB=t2. 所以=2+Δt， 当Δt→0时，2+Δt→2，故S'（2）=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.（10分）求y=x2++5在点P处的导数. 解：∵Δy=（2+Δx）2++5- =4Δx+（Δx）2-，∴=4+Δx-， ∴当Δx→0时，→4- =，故f'（2）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.（10分）有一边长为10 cm的正方形铁板（此时铁板温度为0 ℃），加热后铁板会膨胀，已知铁板温度为t ℃（t>0）时，其边长膨胀为 10（1+at）cm，其中a为常数，求铁板面积对温度t的瞬时膨胀率. 解：设温度的增量为Δt，则铁板面积的增量为ΔS=100[1+a（t+Δt）]2-100（1+at）2=200（a+a2t）Δt+100a2（Δt）2，则=200（a+a2t）+100a2Δt，当Δt→0时，→200a（1+at），即S'（t）=200a（1+at）.故铁板面积对温度t的瞬时膨胀率为200a（1+at）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.（10分）设函数f（x）的定义域为所有非零实数，对任意的非零实数x，y均有f（xy）=f（x）+f（y），且f'（1） 存在，试讨论f'（x） 还在哪些点处存在?并求出f'（x）的表达式.（用f'（1）表示） 解：由f（xy）=f（x）+f（y），得f（y）=f（1）+f（y），则f（1）=0.所以对任意不为零的实数x，有f'（x）= === =·= .所以f'（x） 对所有非零实数x都存在，且f'（x）= . 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $