5.3.1 第3课时 等比数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等比数列的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 进一步理解等比数列，能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，掌握等差、等比数列的区别与联系. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　等比数列的实际应用 题型（二）　等比数列的函数特性 题型（三）等差、等比数列的综合问题 4 课时跟踪检测 题型（一）　等比数列的实际 应用 01 [例1]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N+）年后这辆车的价值. 解：从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1=13.5，a2=13.5（1-10%），a3=13.5×（1-10%）2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=13.5，公比q= 1-10%=0.9，∴an=a1·qn-1=13.5×（0.9）n-1.∴n年后车的价值为an+1=13.5×（0.9）n万元. （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱? 解：由（1）得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9（万元）， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 　　|思|维|建|模| 解等比数列应用题的步骤 （1）审题：解决数列应用题的关键是读懂题意； （2）建立数学模型：将实际问题转化为等比数列的问题； （3）解数学模型：注意隐含条件，数列中n的值是正整数； （4）还原：最后转化为实际问题作出回答. 针对训练 1.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗?若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元? 解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1=128，则a2=a1（1-x），a3=a1（1-x）2=128（1-x）2=32，解得x=50%.设an=8，即an=128（1-50%）n-1=8，解得n=5，即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 题型（二）　等比数列的函数 特性 02 [例2]　[多选]已知正项等比数列{an}的公比为q（q>0），前n项积为Tn，且满足a7>1，a7a8<1，则下列说法正确的是 （　　） A.0<q<1 B.q>1 C.T14<1<T13 D.存在最大值 √ √ √ 解析：由已知a7a8=a7a7q=q<1，又a7>1，q>0，所以0<a8<1，0<q<1，A正确，B错误；T13=（a1a13）（a2a12）（a3a11）·…·（a6a8）a7= ·a7=>1，T14=（a1a14）（a2a13）（a3a12）·…·（a6a9）（a7a8）=<1，所以T14<1<T13，C正确；因为0<q<1且a1>0，所以等比数列{an}是递减数列，于是a1>a2>…>a7>1>a8>a9>…，则Tn的最大值为T7，D正确. 　　|思|维|建|模| （1）具备“an=kan（k≠0）”形式，如an=2n-1，an=3×为等比数列. （2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，如a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，{an}递增；a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，{an}递减. 针对训练 2.已知等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，且log2a1+log2a2+…+log2a2 024<0，log2a1+log2a2+…+log2a2 025>0，则当a1a2·…·an最小时，n= （　　） A.1 012 B.1 013 C.2 022 D.2 023 √ 解析：由题意知log2a1+log2a2+…+log2a2 024<0，故log2（a1a2·…·a2 024）<0，则0<a1a2·…·a2 024<1，即0<<1，结合等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，可知0<a1 012a1 013<1，由log2a1+log2a2 +…+log2a2 025>0，得log2（a1a2·…·a2 025）>0，即得a1a2·…·a2 025>1，故>1，即a1 013>1，由此可得0<a1<a2<…<a1 012<1< a1 013<…，故当a1a2·…·an最小时，n=1 012. 题型（三）等差、等比数列的 综合问题 03 [例3]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+1，其中n∈N+. （1）求数列{an}的通项公式； 解：因为Sn+1=3Sn+1，故Sn=3Sn-1+1，故an+1=3an（n≥2）， 而{an}为等比数列，故其公比为3.又S2=3S1+1，故3a1+a1=3a1+1， 故a1=1，故an=1×3n-1=3n-1. （2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在不同三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 解：由题设可得dn==， 若数列{dn}中存在不同三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则=×. 因为m，k，p为等差数列， 所以（k+1）2=（m+1）×（p+1）， 即k2=mp，故=mp， 故m=p，即m=p=k，这与m，k，p不同矛盾， 故数列{dn}中不存在不同三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 　　|思|维|建|模| 　　解决等差、等比数列综合问题的关键是明确公差（公比）、首项，灵活应用公式求解. 针对训练 3.设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1+a2+a3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由已知得解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2可得a1=，a3=2q，由a1+a2+a3=7，可得+2+2q=7， 即2q2-5q+2=0，解得q=2或q=，由题意得q>1，∴q=2，∴a1=1. 故数列{an}的通项公式为an=2n-1. （2）令bn=log2a3n+1，n=1，2，3，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由于bn=log2a3n+1，由（1）得a3n+1=23n， ∴bn=log223n=3n. ∵bn+1-bn=3，∴{bn}是等差数列， ∴Tn=b1+b2+…+bn==. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.（2025·北京高考）已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=-2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10= （　　） A.-20 B.-18 C.16 D.18 √ 解析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），因为a3，a4，a6成等比数列，且a1=-2，所以=a3a6，即（-2+3d）2=（-2+2d）（-2+5d）， 解得d=2或d=0（舍去），所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知{an}是等差数列，且公差d≠0，若a=，b=，c=，则a，b，c（　　） A.是等比数列，非等差数列 B.是等差数列，非等比数列 C.既非等比数列，又非等差数列 D.既是等差数列，又是等比数列 解析：由{an}是等差数列，且公差d≠0，得a1，a3，a5是公差为2d的等差数列，故a，b，c成等比数列；若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列只能是常数列，而a，b，c不是常数列，故a，b，c不是等差数列. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为 （　　） A.105 kJ B.104 kJ C.103 kJ D.102 kJ √ 解析：设H1需提供的能量为a，由题意知，H2的能量为10%a，H3的能量为（10%）2a，即（10%）2a =10，解得a=103，所以要能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为103 kJ，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.[多选]已知等比数列{an}的公比q=-，等差数列{bn}的首项b1=9，若a7>b7且a8>b8，则以下结论正确的是（　　） A.a8>0 B.b8<0 C.a7>a8 D.b7>b8 √ √ 解析：因为等比数列{an}的公比q=-，则a7=a1，a8=-a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，A、C错误；显然a7和a8异号，又a7>b7且a8>b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1=9>0，于是等差数列{bn}的公差d<0，即数列{bn}递减，因此b7>b8，且b8<0，B、D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.从盛有1 L纯酒精的容器中倒出 L，然后用水填满；再倒出 L，又用水填满，…；连续进行n次，容器中的纯酒精少于0.001 L，则n的最小值为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 √ 解析：由题意得连续进行了n次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列{an}，则数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an= ·=，由题意可得<0.001=，因为= >=<，所以n≥7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1>0，公比q>0，T6<1<T7，则 （　　） A.<a4 B.q>1 C.当n=3时，Tn最小 D.当n=3时，Tn最大 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意知an>0，由T6<1<T7，得a1a2·…·a6<1<a1a2·…·a6a7， 所以<1<，得a3a4<1，a4>1，所以>a4，且a3<1，a4>1，所以q>1，故A错误，B正确.因为a3<1，a4>1，a1>0，q>1，所以数列{an}为递增数列，且当n≤3时，an≤a3<1，当n≥4时，an≥a4>1， 所以当n=3时，Tn最小，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]公比为q的等比数列{an}，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，满足a1>1，a2 022·a2 023>1，<0，则下列结论正确的是（　　） A.Tn的最大值为T2 022 B.a2 022·a2 024<1 C.Sn的最大值为S2 024 D.0<q<1 √ √ √ 解析：因为公比为q的等比数列{an}满足a1>1，a2 022·a2 023>1，<0，所以a2 022>1，0<a2 023<1，0<q<1，故当n=2 022时，Tn取得最大值，A、D正确；a2 022·a2 024=<1，B正确；因为数列{an}各项为正数，所以Sn没有最大值，C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=_________.  1 解析：设等差数列的公差为d，则a3=a1+2d，a5=a1+4d， ∴（a1+2d+3）2=（a1+1）（a1+4d+5）， 解得d=-1，∴q===1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）若数列a1，，…，，…，是首项为1，公比为-的等比数列，则a5=_______.  32 解析：由题意，得=（-）n-1（n≥2），所以=- =（-）2，=（-）3，=（-）4，将上面的四个式子两边分别相乘，得=（-）1+2+3+4=32.又a1=1，所以a5=32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4=4，a1+a2+a3=14，则满足an··>的最大正整数n的值为________.   解析：设数列{an}的公比为q（q>0），∵a2·a4=4=，且a3>0，∴a3=2.又a1+a2+a3=++2=14，∴=-3（舍去）或=2，即q=，a1=8.又an=a1=8×=，∴an··=>， 即<9，∵n∈N+，∴n的最大值为4. 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%.按此规律至少________年后每年投入的资金可达250万元以上（精确到1年）.（参考数据lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70） 9 解析：由题知，某制药公司今年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上一年增加20%，满足等比数列模型，令a1=50，q=1.2，所以an=50×1.2n-1，令an=50×1.2n-1>250，所以1.2n-1>5，所以n-1>log1.25=≈=8.75，所以n>9.75，又因为n为正整数，所以n=10.故至少9年后每年投入的资金可达250万元以上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知数列{an}，{bn}满足bn=log2an（n∈N+），其中{bn}是等差数列.若a10a2 013=2，则b1+b2+…+b2 022= ________.  1 011 解析：∵{bn}为等差数列，设公差为d，则bn+1=log2an+1，bn=log2an，bn+1-bn=log2=d，则=2d，故{an}为等比数列， ∴b1+b2 022=log2a1+log2a2 022=log2（a1a2 022）=log2（a10a2 013）=1，∴b1+b2+…+b2 022==1 011. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）2024年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. （1）求哪一年两林场木材的存量相等?（5分） 解：设经过n年两林场木材的存量相等，即16a（1+25%）n=25a（1-20%）n，解得n=1，故到2025年两林场木材的存量相等. （2）问两林场木材的总量到2029年能否翻一番?（5分） 解：令n=5，则16a+25a<2（16a+25a），故到2029年不能翻一番. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（15分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，S5=20. （1）求数列{an}的通项公式；（5分） 解：由题意设等差数列{an}的公差为d，由a1=2，S5=20， 得5a1+10d=20，解得d=1，故an=2+n-1=n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若等比数列{bn}的公比为q=，且满足a4+b4=9，求满足an<bn的所有正整数n的值.（10分） 解：因为等比数列{bn}的公比为q=，且满足a4+b4=9，而a4=5， 则b4=4，故b1===32，则bn=32×=26-n.又an<bn，则n+1<26-n， 当n=1，2，3时，n+1<26-n显然成立，由于n+1随着n的增大而增大，26-n随着n的增大而减小，当n≥4时，n+1≥5，26-n≤4，故当n≥4时，n+1<26-n无解，故满足an<bn的所有正整数n的值为1，2，3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知等比数列{an}的首项a1=16，公比q=，在{an}中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列{bn}. （1）求数列{bn}的通项公式；（6分） 解：由已知得数列{bn}的首项b1=16，b5=a2=16×=1， 设数列{bn}的公比为q1（q1>0），即===， ∴q1=，即bn=b1=16×=25-n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）记数列{bn}的前n项的乘积为Tn，试问：Tn是否有最大值?如果有，请求出此时n的值以及最大值；若没有，请说明理由.（9分） 解：Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·25-n=24+3+2+…+（5-n）===， 即当n=4或5时，Tn有最大值，最大值为=210=1 024. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $