5.2.1 第3课时 等差数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

等差数列的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 进一步理解等差数列，灵活应用等差数列的通项公式和性质解题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　等差数列项的设法与求解 题型（二）　由等差数列构造新数列 题型（三）等差数列的综合应用 4 课时跟踪检测 题型（一）等差数列项的设法 与求解 01 [例1]　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数. 解：法一　设这三个数首项为a1，公差为d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 法二　设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 　[变式拓展] 　本例条件变为：已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这四个数. 解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d， 则 又该数列是递增数列，所以d>0，所以a=±，d=，所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1. 　　|思|维|建|模| 　　利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算，其设元技巧为 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a-d，a+d，公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a-d，a，a+d，公差为d； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d. 针对训练 1.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式. 解：设等差数列的前三项分别为a-d，a，a+d，由题意， 得即 解得∵等差数列{an}是递增数列，∴d=4.∴等差数列的首项为3，公差为4.∴an=3+4（n-1）=4n-1. 题型（二）　由等差数列构造 新数列 02 [例2]　已知{an}为等差数列，且a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它们和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项? 解：设新数列为{bn}，则b1=a1=2，b5=a2=3，根据bn=b1+（n-1）d， 有b5=b1+4d，即3=2+4d，所以d=，所以bn=2+（n-1）×=. 又因为an=a1+（n-1）×1=n+1=，所以an=b4n-3，即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.当n=12时，4n-3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项. （2）新数列的第29项是原数列的第几项? 解：由（1）知an=b4n-3，令4n-3=29，得n=8， 即新数列的第29项是原数列的第8项. 　　|思|维|建|模| 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： （1）定义：an+1-an是否为常数； （2）通项公式是否为关于n的一次函数. 针对训练 2.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b97是数列{an}的第 （　　） A.32项 B.33项 C.34项 D.35项 √ 解析：设等差数列{an}的公差为d，等差数列{bn}的公差为d1，等差数列{an}各项为a1，a1+d，a1+2d，…，等差数列{bn}各项为a1，a1+d1，a1+2d1，a1+3d1，a1+4d1，…，显然有a1+d=a1+3d1⇒d=3d1⇒d1=d，b97=a1+96d1=a1+32d=a33，故选B. 3.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 （　　） A.15 B.16 C.17 D.18 √ 解析：易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an=12n-10，所以12n-10≤190，解得n≤，又n∈N+，所以n的最大值为16. 题型（三）等差数列的综合应用 03 [例3]　首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件： ①a3+a5+a7=93； ②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值. 解：由a3+a5+a7=93得a5=31，∴an=a5+（n-5）d>100，n>+5. ∵n的最小值是15，故14≤+5<15，∴6.9<d≤， ∵d为整数，∴d=7，∴a1=a5-4d=3. 　　|思|维|建|模| 解决等差数列综合问题的方法 （1）结合等差数列的性质或利用等差中项. （2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. （3）利用函数或不等式的有关方法解决. 针对训练 4.已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则tan（a4+a6）的值为 （　　） A.- B.- C.- D. √ 解析：因为{an}为等差数列，a1+a5+a9=3a5=π，所以a5=， 所以tan（a4+a6）=tan 2a5=tan =-. 5.在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7=12，a2+a10=7. （1）求通项公式an. 解：∵a2+a10=a5+a7=7，又∵a5a7=12，∴或 当时，an=-n+，不恒为正，舍去.∴∴an=n+. （2）设bn=an+t，且对一切n∈N+，恒有b2n=2bn，求t的值.对一切k，n∈N+，是否恒有bkn=kbn?请说明理由. 解：bn=an+t=n+t+，b2n=n+t+， ∴n+t+=n+2t+1，∴t=-，∴bn=n. ∵bkn=kn=kbn，∴恒有bkn=kbn. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知等差数列{an}递增且满足a1+ a8=6，则a6的取值范围是 （　　） A.（-∞，3） B.（3，6） C.（3，+∞） D.（6，+∞） √ 解析：因为{an}为等差数列，设公差为d，因为数列{an}递增，所以d>0，所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6，则2a6-6=3d>0，解得a6>3，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b2 025= （　　） A.4 044 B.4 046 C.4 048 D.4 050 √ 解析：设数列{bn}的公差为d1，由题意可知，b1=a1，b5=a2， b5-b1=a2-a1=8=4d1，故d1=2，故bn=2n，则b2 025=2 025×2=4 050. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1=Sn+2n+1，a1=2，则Sn= （　　） A.（n+1）·2n B.（n+1）·2n-1 C.n·2n-1 D.n·2n √ 解析：因为an+1=Sn+2n+1，则Sn+1-Sn=Sn+2n+1，整理得-=1.又a1=2， 则=1，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则=1+（n-1）×1=n，所以Sn=n·2n.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知{an}为等差数列，数列{bn}满足：a1+b1=2，anbn=2n2-n（n∈N+）， 且5a4=7a3，则bn= （　　） A. B.n C.n2 D. √ 解析：令n=1，anbn=2n2-n⇒a1b1=1，又a1+b1=2，则a1（2-a1）=1⇒（a1-1）2=0⇒a1=b1=1.设{an}公差为d，5a4=7a3⇒5a1+15d=7a1+14d⇒ d=2a1=2，则an=a1+（n-1）d=2n-1.故anbn=2n2-n⇒bn==n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在1和19之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当+取最小值时，n的值是（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析：设等差数列的公差为d，则a=1+d，b=19-d，从而a+b=20. 由题意知，d>0，故a>0，b>0，所以（a+b）=1+16 ++≥17+2=25，即+≥=， 当且仅当=，即b=4a时取“=”.又a=1+d，b=19-d， 解得d=3，所以19=1+（n+1）×3，所以n=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知数列{an}的首项a1=3，且满足an+1=an+2n-1（n∈N+），则{an}中最小的一项是（　　） A.a2 B.a3 C.a4 D.a5 √ 解析：由an+1=an+2n-1⇒-=1，所以数列是以=-3为首项，1为公差的等差数列，即=-3+（n-1）×1⇒an=（2n-3）（n-4），所以有a2=-2，a3=-3，显然当n≥4，n∈N+时，an≥0.因此{an}中最小的一项是a3.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=3n-2，bn=4n-3，n∈N+，将{an}，{bn}各项并在一起，相等的项即为一项，从小到大排列成一个新的数列{cn}，则c2 023= （　　） A.14 155 B.6 073 C.4 047 D.4 045 √ 解析：根据题意，得{an}：1，4，7，10，13，…；{bn}：1，5，9，13，17，….故{cn}：1，4，5，7，9，10，13，…，把{cn}中的项按6个一组划分，则第k组可表示为12（k-1）+1，12（k-1）+4，12（k-1）+5，12（k-1）+7，12（k-1）+9，12（k-1）+10（k∈N+），又2 023=337× 6+1，故c2 023是第338组的第一个数，则c2 023=12×337+1=4 045. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）已知等差数列{an}满足am-1+am+1--1=0，且m>1，则a1+ a2m-1=_________.  2 解析：因为数列{an}为等差数列，则am-1+am+1=2am， 则am-1+am+1--1=0可化为2am--1=0，解得am=1， 所以a1+a2m-1=2am=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）若三个数成等差数列，且它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为_______.  -21 解析：设这三个数为a-d，a，a+d， 则解得或 ∴这三个数为-1，3，7或7，3，-1，∴这三个数的积为-21. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）若a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为______.  1或2 解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c， ∴Δ=4b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0. ∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）已知函数f（x）在（-1，+∞）上具有单调性，且函数y= f（x-2）的图象关于x=1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则a1+a100等于______.  -2 解析：由题意函数y=f（x-2）的图象关于x=1对称， 则函数f（x）的图象关于x=-1对称，且在（-1，+∞）上具有单调性，因为f（a50）=f（a51），所以a50+a51=-2.因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1+a100=a50+a51=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，也成等差数列，则△ABC的形状为____________.  等边三角形 解析：由a，b，c成等差数列得a+c=2b，① 由成等差数列得+=2， ② 由②2-①得2=2b，即b2=ac.由①平方得a2+2ac+c2=4b2， 将b2=ac代入得a2+2ac+c2=4ac，即（a-c）2=0，得a=c.又a+c=2b，∴2a=2b，∴a=b，∴a=b=c. ∴△ABC 是等边三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；（4分） 解：设这三个数依次为a-d，a，a+d， 则解得 所以这三个数为4，3，2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.（6分） 解：设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d（公差为2d），依题意得2a=2且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2=-8，所以d2=1，所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）已知无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=-5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}. （1）求b1和b2；（4分） 解：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列.因为a1=3，d=-5，所以an=3+（n-1）×（-5）=8-5n. 数列{an}中序号能被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，所以b1=a3=-7，b2=a7=-27. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求{bn}的通项公式；（4分） 解：设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn=am， 则m=3+4（n-1）=4n-1，所以bn=am=a4n-1=8-5（4n-1）=13-20n， 即{bn}的通项公式为bn=13-20n（n∈N+）. （3）{bn}中的第506项是{an}中的第几项?（2分） 解：由（2）得m=4n-1=4×506-1=2 023， 即{bn}中的第506项是{an}中的第2 023项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）已知正项数列{an}满足a1=1，+=2，且a4-a2=. （1）求数列{}的通项公式；（4分） 解：由已知得-=-，所以数列{}是等差数列， 设其公差为d.由a4-a2=，得-=2. 所以2d=2，即d=1，所以=+（n-1）d=n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求满足不等式an+5+1<2an的正整数n的最小值.（6分） 解：由an>0，得an=，所以原不等式可化为+1<2， 两边平方可得n+6+2<4n，即2<3n-6， 所以4（n+5）<（3n-6）2，整理得（n-4）（9n-4）>0， 解得n>4或n<.所以正整数n的最小值为5. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $