5.1.2 数列中的递推-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

5.1.2 数列中的递推 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种. 2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 3.理解数列的前n项和，会由数列的前n项和公式求数列的通项公式. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻_______________的关系都可以用一个_____来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 两项或两项以上 公式 |微|点|助|解| （1）通项公式与递推公式的区别：①通项公式反映的是an与n的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式可直接求出an的值，而通过递推公式只能间接求出an的值. （2）利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一不可. 2.数列的前n项和 （1）数列的前n项和： 一般地，给定数列{an}，称Sn= _______________ 为数列{an}的前n项和. （2）数列的前n项和Sn与通项an的关系： an= __________________. a1+a2+a3+…+an |微|点|助|解| （1）对于由an=Sn-Sn-1（n≥2）求得的an的表达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1（n≥2）也适合n=1的情况， 数列的通项公式可用an=Sn-Sn-1表示. （2）对于由an=Sn-Sn-1（n≥2）求得的an的表达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1（n≥2）不适合n=1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an= 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）递推公式也是表示数列的一种方法. （　　） （2）所有数列都有递推公式. （　　） （3）仅由数列{an}的关系式an=an-1+2（n≥2，n∈N+）就能确定这个数列. （　　） 基础落实训练 √ × × 2.在数列{an}中，a1=-1，an+1=an-3，则a3等于（　　） A.-7 B.-4 C.-1 D.2 √ 解析：a2=a1-3=-1-3=-4，a3=a2-3=-4-3=-7. 3.数列{an}的前n项和Sn，若Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为 （　　） A.1 B.3 C.5 D.6 √ 解析：∵Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），且S2=3， ∴S1=0，S3=8， ∴a1=0，a2=3，a3=5，a1+a3=5. 4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2，则an=________.  -4n+2 解析：当n=1时，a1=S1=-2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-4n+2.显然n=1时符合，故an=-4n+2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　数列的递推公式及应用 [例1]　已知数列{an}中，a1=1，a2=2，以后各项由an=an-1+an-2（n≥3）给出. （1）写出此数列的前5项； 解：∵an=an-1+an-2（n≥3），且a1=1，a2=2，∴a3=a2+a1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8. 故数列{an}的前5项依次为a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8. （2）通过公式bn=（n≥1）构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项. 解：∵bn=，且a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8， ∴b1==，b2==，b3==，b4==. 故数列{bn}的前4项依次为b1=，b2=，b3=，b4=. 　　|思|维|建|模| 由递推关系写出数列的项的方法 （1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可； （2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1+1； （3）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an+1=. 针对训练 1.已知数列{an}的第1项a1=1，以后的各项由公式an+1=给出，试写出这个数列的前5项. 解：∵a1=1，an+1=，∴a2==，a3===， a4===，a5===.故该数列的前5项为1，. 题型（二）　由递推公式求数列的通项公式 方法1　累加法求通项公式 [例2]　在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln，则an=（　　） A.2+ln n B.2+（n-1）ln n C.2+nln n D.1+n+ln n √ 解析：法一：归纳法　由题意得数列的前5项分别为a1=2，a2=2+ln=2+ln 2，a3=（2+ln 2）+ln=2+ln 3， a4=（2+ln 3）+ln=2+ln 4，a5=（2+ln 4）+ln=2+ ln 5，…，由此猜想数列的一个通项公式为an=2+ln n.经检验符合题意. 法二：迭代法　由题意得an=an-1+ln=an-1+ln （n≥2）， 则an=an-1+ln=an-2+ln+ln=…=a1+ln+ ln+ln+…+ln=a1+ln=2+ln n（n≥2）. 又a1=2=2+ln 1，符合上式，所以an=2+ln n. 法三：累加法　由题意得an+1-an=ln=ln=ln（n+1）-ln n，因此，a1=2，a2-a1=ln 2，a3-a2=ln 3-ln 2，a4-a3=ln 4-ln 3， …， an-an-1=ln n-ln（n-1）（n≥2）， 以上各式两边分别相加， 得an=2+ln 2+（ln 3-ln 2）+（ln 4-ln 3）+…+[ln n-ln（n-1）]（n≥2）.所以an=2+ln n（n≥2）. 因为a1=2也适合上式，所以an=2+ln n. 　　|思|维|建|模| 累加法求数列通项公式 　　形如an+1-an=f（n）的递推公式，可以利用a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an（n≥2，n∈N+）求通项公式. 方法2　累乘法求通项公式 [例3]　设数列{an}中，a1=1，an=（n≥2），求通项公式. 解：∵a1=1，an=an-1（n≥2）， ∴=，an=···…···a1=···…···1=. 又a1=1也符合上式， ∴an=. 　|思|维|建|模| 累乘法求数列通项公式 形如=f（n）的递推公式，可以利用a1···…·=an（n≥2，n∈N+）求通项公式.以上方法叫做累乘法. 针对训练 2.已知在数列{an}中，a1=2，an+1=an，则a2 026的值为（　　） A. B. C. D. √ 解析：∵an+1=an，即=，∴an=···…···a1=···…···2=， ∴a2 026==. 3.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2，n∈N+，则an=__________.  解析：由题意得，an=an-1+2=an-2+2×2=…=a1+2×（n-1）=2n-1，n≥2，又a1=1适合上式，∴an=2n-1，n∈N+. 2n-1 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1-an=2n-1，n∈N+，求数列{an}的通项公式. 解：因为an+1-an=2n-1，n∈N+，所以当n>1，n∈N+时，有an-an-1= 2n-3，因此有an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1，即an=（2n-3）+（2n-5）+（2n-7）+…+1+1= +1=n2-2n+2，当n=1时，适合上式，所以an=n2-2n+2，n∈N+. 题型（三）　数列的前n项和公式及应用 [例4]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n.求a1及an. 解：因为Sn=2n2-30n，所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28， 当n≥2时，an=Sn-=2n2-30n-[2（n-1）2-30（n-1）]=4n-32. 验证当n=1时上式成立，所以an=4n-32，n∈N+. 　[变式拓展] 　将本例条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an. 解：因为Sn=2n2-30n+1，所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27， 当n≥2时，an=Sn-=2n2-30n+1-[2（n-1）2-30（n-1）+1]=4n-32. 当n=1时不符合上式.所以an= 　　|思|维|建|模| 已知Sn求an的3个步骤 （1）先利用a1=S1求出a1； （2）用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an=Sn-Sn-1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式； （3）注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 针对训练 5.[多选]已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则下列说法正确的 是 （　　） A.a1=3 B.an=2n（n≥2） C.an=2n D.an=2n（n≥2） √ √ 解析：因为Sn=2n+1-1，所以当n=1时，a1=S1=21+1-1=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（2n+1-1）-（2n-1）=2n.当n=1时，不符合上式， 故an= 6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-8n，第k项满足4<ak<7，则k=_________.  解析：a1=S1=-7，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-8n-（n-1）2+8（n-1）= 2n-9，由4<ak<7得4<2k-9<7，得<k<8，因为k为正整数，所以k=7. 7 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知数列{an}满足a1=2，an=1+（n≥2），则a3=（　　） A. B. C. D. √ 解析：因为a1=2，所以a2=1+=，a3=1+=1+=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2n2，则a5= （　　） A.16 B.18 C.20 D.25 √ 解析：依题意，a5=S5-S4=2×52-2×42=18.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=则a6=（　　） A.1 B.5 C.7 D.9 √ 解析：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn= 则a6=S6-S5=（5×6-4）-52=1.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知数列{an}中，a1=1，=，则数列{an}的通项公式是（　　） A.an=2n B.an= C.an= D.an= √ 解析：法一　由已知可知，a1=1，a2=，a3=，a4=，…，∴an=. 法二　an=··…···a1=·1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在数列{an}中，若a1=2，an=1-（n≥2），则a2 025=（　　） A.-1 B. C.2 D.1 √ 解析：由题意得a1=2，a2=1-=1-=，a3=1-=1-2=-1， a4=1-=1+1=2，…，故{an}为周期数列，周期为3， 故a2 025=a675×3=a3=-1.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=，则a10=（　　） A. B. C. D. √ 解析：∵an+1=，则==+n，∴-=1，-=2，…，-=9，以上各式相加可得，-=1+2+3+…+9=45， ∴a10=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，则李白在第5家店饮酒后所剩酒量是 （　　） A.37升 B.21升 C.26升 D.32升 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列{an}，则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5，即an+1=2an-5，∵a1=6×2-5=7，∴a2=2a1-5=2×7-5=9，a3=2a2-5=2×9-5=13，a4=2a3-5=2×13-5=21，a5=2a4-5=2×21-5=37.故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=k∈N+，则a1a2=__________.  10 解析：由题意知，当n为奇数时，an=2n；当n为偶数时，an=2n+1， 所以a1a2=（2×1）×（2×2+1）=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（5分）数列{an}的前n项和Sn=nan，a1=1，则an=__________.  解析：当n≥2时，有Sn=nan，Sn-1=（n-1）an-1，两式作差可得， Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1，整理可得an=an-1.又a1=1，所以an=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.（5分）在数列{an}中，a1=，an=n（an+1-an）（n∈N+）， 则a2 024=_______.  解析：因为an=n（an+1-an）（n∈N+），所以（n+1）an=nan+1， 所以=，所以是常数列，又==，所以a2 024=2 025. 2 025 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）若数列{an}对任意正整数n，满足a1a2·…·an=n2，则数列{an} 的通项公式an=__________________.  解析：当n=1时，a1=1；当n≥2时，由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1= （n-1）2，两式作商可得an=，又a1=12 ，不符合上式， 所以an= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=-1，Sn-an=0（n≥2，n∈N+），则a6=_______.  2 解析：因为a1=-1，Sn-an=0（n≥2，n∈N+），所以当n=2时， S2-a2=0，即a1+a2-a2=a1+a2=-1+a2=0，所以a2=2，当n≥3时， Sn-1-an-1=0，由可得an=-an-1， 所以a6=-a5=a4=-a3=a2=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（10分）已知数列{an}的前n项和Sn=-（n∈N+），求数列{an}的通项公式. 解：因为Sn=-（n∈N+），当n=1时，a1=S1=-=4， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-===4n， 因为a1=4也满足an=4n.综上，an=4n（n∈N+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）数列{an}满足a1=1，an+1+2anan+1-an=0. （1）写出数列的前5项；（5分） 解：由已知可得a1=1，a2=，a3=，a4=，a5=. （2）由（1）写出数列{an}的一个通项公式；（2分） 解：由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为an=. （3）实数是否为这个数列中的一项?若是，应为第几项?（3分） 解：令=，解得n=50，故是这个数列的第50项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2n+3. （1）求数列{an}的通项公式an；（6分） 解：Sn=2n+3中，令n=1得a1=2+3=5， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+3-2n-1-3=2n-1，其中21-1=1≠5， 故an= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的最大项.（9分） 解：当n=1时，b1==，当n≥2时，bn=>0， 则=·==，当n=2时，=>1， 当n≥3时，+1≤≤×<1，故<1，故n≥2时， {bn}的最大项为b3=，又b3>b1，故数列{bn}的最大项为b3=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $