5.1.1 第1课时 数列的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教B版）

第五章 数　列 数列基础 5.1 数列的概念 5.1.1 数列的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.理解数列的概念和表示方法；能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.会由通项公式写出数列的任一项，理解数列是一种特殊函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清（一）　数列的概念与分类 逐点清（二）　数列的通项 逐点清（三）　数列与函数的关系 4 课时跟踪检测 逐点清（一）数列的概念与分类 01 多维理解 数列 按照__________排列的一列数称为数列 项 数列中的__________都称为这个数列的项. 各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项，…… 项数 组成数列的数的_________称为数列的项数 数列按项 数分类 项数_________数列称为有穷数列，项数_________数列称为无穷数列.有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的_________ 一定次序 每一个数 个数 有限的 无限的 末项 |微|点|助|解| （1）判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按照一定次序排列的数. （2）如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. （3）同一个数在数列中可以重复出现. （4）判断有穷数列与无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项. 1.下列各项表示数列的是 （　　） A.a，b，c，…，x，y，z B.2 019，2 020，2 021，…，2 025 C.锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 D.a+b，a-b，ab，2a √ 微点练明 解析：数列必须由数组成，A、C、D中均不是数. 2.下列有关数列的说法正确的是 （　　） A.同一数列的任意两项均不可能相同 B.数列-2，0，2与数列2，0，-2是同一个数列 C.数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} D.数列中的每一项都与它的序号有关 √ 解析：常数列中任意两项都是相同的，所以A不正确；数列-2，0，2与2，0，-2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，所以C不正确；根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选D. 3.下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. （1）1，-1，1，-1，1，-1，…是无穷数列； 解：正确.（1）中项数无穷多，是无穷数列. （2）所有自然数能构成数列； 解：正确.如将所有自然数按从小到大的次序排列. （3）-3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列； 解：错误.当x，y代表数时为项数为8的数列； 当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按照一定的次序排列所组成. （4）在0~16之间的质数按从小到大的顺序构成的数列为1，2，3，5，7，11，13. 解：错误.1不是质数，构成的数列应是2，3，5，7，11，13. 逐点清（二）　数列的通项 02 1.数列的通项 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的________（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N+），称为数列的通项.此时，一般将整个数列简记为_______，这里的小写字母a也可以换成其他小写英文字母. 多维理解 第n项 {an} 2.数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用___________来表示，其中f（n）是关于n的_______________的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. an=f（n） 不含其他未知数 |微|点|助|解| （1）已知通项公式an=f（n），那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项. （2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an=（-1）n还可以写成an=（-1的形式，还可以写成an=（k∈N+），这些通项公式虽然形式不同，但都表示同一公式. （3）并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. 1.已知数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则该数列的前4项依次为（　　） A.1，0，1，0 B.0，1，0，1 C.，0，，0 D.2，0，2，0 √ 微点练明 解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0. 2.下列四个数中，是数列{n（n+1）}中的一项的是 （　　） A.380 B.392 C.321 D.232 √ 解析：n=19时，n（n+1）=380. √ 3.若一数列为1，37，314，321，…，则398是这个数列的 （　　） A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 解析：因为1=37×0，37=37×1，314=37×2，321=37×3，因此符合题意的一个通项公式为an=37（n-1）.由37（n-1）=398解得n=15，所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为______.  解析：由an=2 021-3n>0，解得n<=673+，因为n∈N+，所以正整数n的最大值为673. 673 逐点清（三） 数列与函数的关系 03 1.数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为_________的子集的函数，数列中的数就是自变量从_____到_____依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的_______. 多维理解 正整数集 小 大 解析式 2.数列按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列 常数数列 各项都_____的数列 摆动数列 从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 大于 小于 相等 大于 1.已知数列{an}满足an=3n+kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围 是 （　　） A.（-2，+∞） B.（-6，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，2） √ 微点练明 解析：要想{an}为递增数列，则an+1-an=3n+1+kn+k-3n-kn=2×3n+k>0恒成立，故k>-2×3n.又n=1时，-2×3n取得最大值，最大值为-6，故k>-6. 2.已知n∈N+，下列数列是递增数列的是 （　　） A.an= B.an=1-2n C.an=n2 D.an= √ 解析：对于A，an+1-an=-=-<0，故{an}为递减数列，故A错误.对于B，an+1-an=-2<0，故{an}为递减数列，故B错误. 对于C，an+1-an=2n+1>0，故{an}为递增数列，故C正确. 对于D，an+1-an=-=-<0，故{an}为递减数列，故D错误. 3.已知函数y=f（x）满足：对任意a1∈（0，1），由递推关系an+1= f（an）得到的数列{an}是递增的，则该函数的图象可以是 （　　） √ 解析：由题意可知，an+1=f（an）>an，又a1∈（0，1）， 故x∈（0，1）时，该函数的图象需在y=x的上方， 选项中只有C选项符合要求，故C正确. 4.已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4，则an的最小值为_______，此时n= _______.  -2 2或3 解析：因为an=n2-5n+4=-，所以当n=2或n=3时，an取得最小值，为a2=a3=-2. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列说法正确的是 （　　） A.数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7} B.数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列 C.数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 √ 解析：对A，{1，3，5，7}表示集合，不是数列；对B，两个数列中包含的数虽然相同，但排列顺序不同，不是相同的数列；对D，数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么 （　　） A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 √ √ 解析：分别令2n2-n的值为30，45，66，90，可知只有当2n2-n=45时，n=5或n=-（舍去）；当2n2-n=66时，n=6或n=-（舍去），故45，66是数列{an}的一项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若数列{an}满足an=3n，则数列{an}是 （　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 解析：∵an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0，∴an+1>an，即{an}是递增数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于（　　） A.70 B.28 C.20 D.8 √ 解析：由通项公式得a2=2×2-2=2，a3=3×3+1=10，所以a2a3=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知数列1，+1，…，+，…，则下列说法正确的是（　　） A.3+2是它的第3项 B.4+是它的第4项 C.3+2是它的第9项 D.4+是它的第16项 √ √ 解析：当n=9时，+=3+2，C正确，A错误；当n=16时，+=4+，D正确，B错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]如果数列{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为 （　　） A.an= B.an=2n-1 C.an=2n2-5n D.an=2n-1 √ √ √ 解析：对于A，a1=2，a2=1，故不是递增数列，A不符合； 对于B，an+1-an=2n+1-（2n-1）=2>0，故是递增数列，B符合； 对于C，an+1-an=2（n+1）2-5（n+1）-（2n2-5n）=4n-3>0，故为递增数列，C符合；对于D，an+1-an=-1-（2n-1）=2n>0，故为递增数列， D符合.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是 （　　） A.107 B.108 C.108 D.109 √ 解析：an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+，当n=7时，an最大且等于108. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为an=2n+m，根据甲同学得到的通项公式，下列结论正确的是 （　　） A.m=1 B.m=2 C.该数列为递增数列 D.a6=65 √ √ √ 解析：由a1=21+m=3，得m=1，故an=2n+1，故A正确，B错误； 由an+1-an=2n+1-2n=2n>0，得该数列为递增数列，故C正确； a6=26+1=65，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.[多选]下列可作为数列1，0，1，0，1，0，…的通项公式的是 （　　） A.an= B.an=sin2 C.an= D.an=|sin nπ| √ √ √ 解析：对于A，当n为奇数时，an===1，当n为偶数时，an==0，故A正确；对于B，当n为奇数时，an=sin2=sin2=1，k∈N+，当n为偶数时， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 an=sin2=sin2kπ=0，k∈N+，故B正确； 对于C，当n为奇数时，an===1，k∈N+， 当n为偶数时，an===0，k∈N+，故C正确； 对于D，an=|sin nπ|=0，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第10项为_________.  55 解析：1，1，2，3，5，8，13，…，则从第三项起，每一项均为前2项的数字之和，13+21=34，21+34=55，故该数列的第10项为55. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则a10=_______，若an=，则n=_______.  12 解析：∵an=，∴a10==. 由an==，得n2+2n-168=0，解得n=12或n=-14（舍去）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（5分）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，则该数列的第22项为_______.  7 解析：按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，n，可知1是1个，2是2个，3是3个，4是4个，5是5个，6是6个，7是7个，…，因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28， 所以该数列的第22项为7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（15分）在数列{an}中，an=n（n-8）-20，请回答下列问题： （1）这个数列共有几项为负?（5分） 解：由an=n（n-8）-20=n2-8n-20=（n+2）（n-10）<0，解得1≤n<10，n∈N+，所以数列{an}前9项为负数，即共有9项为负数. （2）这个数列从第几项开始递增?（5分） 解：因为an+1-an=（n+1）（n+1-8）-20-[n（n-8）-20]=2n-7， 当an+1-an=2n-7>0，n>，n∈N+，即从第4项开始数列{an}开始递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）这个数列中有无最小值?若有，求出最小值；若无，请说明理由.（5分） 解：an=n（n-8）-20=n2-8n-20=（n-4）2-36，根据二次函数的性质知，当n=4时，an取得最小值-36，即数列中有最小值，最小值为-36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）已知数列{an}的通项公式an=，n∈N+. （1）写出它的第10项；（2分） 解：a10===. （2）判断是不是该数列中的项；（7分） 解：令an==，当n为偶数时，=， 整理得8n2-33n-35=0，解得n=-或n=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为n∈N+且n为偶数，所以原方程无解； 当n为奇数时，=，整理得8n2+33n+31=0， 因为Δ=332-4×8×31=97，又n∈N+， 所以原方程无解. 综上所述，不是该数列中的项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）求an+1及a2n.（6分） 解：an+1==； a2n==. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $