4.3.1 第3课时 非线性回归-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦非线性回归，系统讲解幂函数、指数函数、对数函数三种回归模型，通过习题讲评式教学导入，衔接线性回归知识，以实例分析和变量转换搭建从线性到非线性的学习支架。 其亮点在于结合工厂产品质量、企业利润等实际问题，引导学生用数学眼光观察数据规律，通过对数转换等方法培养数学思维，思维建模环节总结转化步骤，助力学生用数学语言表达模型。学生能提升数据分析与建模能力，教师可获得系统题型及训练资源，提高教学效率。

非线性回归 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　幂函数回归模型 题型(二)　指数函数回归模型 题型(三)　对数函数回归模型 4 课时跟踪检测 题型(一)　幂函数回归模型 01 [例1]　某工厂生产一种不同规格的产品，根据统计分析，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间的关系可用回归模型y=cxb(b，c都为正常数)进行拟合.现随机抽取6件合格产品，其检测数据如下表： (1)检测标准指出，当产品质量与尺寸的比值在区间(0.302，0.388)内时为优等品.现从所抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件产品均为优等品的概率； 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸的比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 解：由题意得随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品，现从抽取的6件合格产品中再任选2件，选中的2件均为优等品的概率为=. (2)经计算， ln xi≈24.6， ln yi≈18.3， (ln xi)2≈101.4， (ln xi·ln yi)≈75.3，求y关于x的非线性回归方程. 附：对于样本数据(ui，vi)(i=1，2，…，n)，其回归直线=u+的斜率和截距的最小二乘估计分别为 解：对y=cxb两边取自然对数得ln y= ln c+bln x，令u=ln x，v=ln y，a=ln c，则=u+，由所给统计量及最小二乘估计公式有 =0.5，=-≈=1，由=ln 得=e，所以y关于x的回归方程为=ex0.5. |思|维|建|模| 幂函数型回归模型的处理方法 幂函数型y=axn(n为常数，a，x，y均取正值)，两边取自然对数ln y=ln(axn)， 即ln y=nln x+ln a，令原方程变为y'=nx'+ln a，然后按线性回归模型求出n，ln a. 针对训练 1.某电器企业统计了近10年的年利润额y(千万元)与投入的年广告费用x(十万元)的相关数据，散点图如图所示，对数据作出如下处理：令ui=ln xi，vi=ln yi，得到相关数据如表所示： 30.5 15 15 46.5 (1)从①y=bx+a，②y=m·xk(m>0，k>0)两个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的回归模型，判断哪个模型符合，不必说明理由； 解：由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归模型并不是直线型的，而是曲线型的，且y与x呈正相关. 所以选择回归模型y=m·xk更好. (2)根据(1)中选择的回归模型求出y与x的回归方程. 解：对y=m·xk两边取自然对数， 得ln y=ln m+kln x.因为v=ln y，u=ln x，所以=ln m+u. 由题表中数据得，=1.5，=1.5， 所以ln m=-=1.5-×1.5=1，所以m=e， 所以年广告费用x和年利润额y的回归方程为=e·. 题型(二)　指数函数回归模型 02 [例2]　下表为收集到的一组数据： (1)作出X与Y的散点图，并猜测X与Y之间的关系； X 21 23 25 27 29 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 解：作出散点图如图所示，从散点图可以看出X与Y不具有近似的线性关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线Y=c1的周围，其中c1，c2为待定的参数. (2)建立X与Y的回归模型； 解：对Y=c1两边取对数，得ln Y=ln c1+c2X，令Z=ln Y，则有变换后的样本点应分布在直线Z=bX+a(a=ln c1，b=c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立Y与X之间的非线性回归方程了，数据可以转化为 求得线性回归方程为Z=0.272X-3.848， ∴Y=e0.272X-3.848. X 21 23 25 27 29 32 35 Z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 (3)利用所得模型，预报X=40时Y的值. 解：当X=40时，Y=e0.272×40-3.848≈1 131. |思|维|建|模| 指数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y=ebx+a的图象，如图所示. (2)处理方法：两边取对数得ln y=ln ebx+a，即ln y=bx+a.令z=ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 针对训练 2.某小微企业对其产品研发的年投入金额x(单位：万元)与其年销售量y(单位：万件)的数据进行统计，整理后得到如下的数据统计表： (1)公司拟分别用①y=bx+a和②y=enx+m两种模型作为年销售量y关于年投入金额x的回归分析模型，根据上表数据，分别求出两种模型的回归方程； x 1 5 7 8 9 y 2 3 6 8 11 z=ln y 0.7 1.1 1.8 2.1 2.4 解：由题知，==6，==6，= =1.62，所以 =(1-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(8-6)2+(9-6)2=40， 所以模型①的回归直线方程为=1.05x-0.3. 由y=enx+m，两边取自然对数可得ln y=nx+m，即=x+，   所以模型②的回归方程为=e0.215x+0.33. (2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果，若模型①和②残差的平方和分别为9.9和4.2，请在①和②中选择拟合效果更好的模型，并估计当年投入金额为10万元时的年销售量. 解：因为9.9>4.2，即②的残差平方和较小，所以模型②的拟合效果更好. 所以当x=10时，=e0.215×10+0.33=e2.48≈11.94，即当年投入金额为10万元时的年销售量的估计值为11.94万件. 题型(三)　对数函数回归模型 03 [例3]　某企业生产一种热销产品，产品日产量为x(x≥1)吨，日销售额为y万元(每日生产的产品当日可销售完毕)，且产品价格随着产量变化而有所变化.经过一段时间的产销，随机收集了某5天的日产量xi(i=1，2，…，5)(单位：吨)和日销售额yi(i=1，2，…，5)(单位：万元)的统计数据，并对这5组数据做了初步处理，得到统计数据如下表： (xi-)2 (yi-)2 (ui-)2 (xi-)·(yi-) (ui-)·(yi-) 15 73 4.8 10 161.2 1.6 39 15.9 其中，ui=ln xi(i=1，2，…，5)，分别为数据xi，yi，ui(i=1，2，…，5)的平均数. (1)请从相关系数的角度，判断=x+与=ln x+哪一个模型更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系； 参考数据：≈40，≈16，≈25. 解：设模型=x+的相关系数为r1，模型=ln x+的相关系数为r2， 由于0<r1<r2，所以模型=ln x+拟合得更好，即模型=ln x+更适合刻画日销售额y关于日产量x的关系. (2)建立y关于x的回归方程(斜率的结果四舍五入保留整数). 解：由(1)知y关于x的回归方程为=ln x+. 　|思|维|建|模| 对数型函数回归模型的处理方法 (1)函数y=bln x+a的图象，如图所示. (2)处理方法：设x'=ln x，原方程可化为y=bx'+a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 针对训练 3.某新能源汽车公司对其产品研发投资额x(单位：百万元)与其月销售量y(单位：千辆)的数据进行统计，得到如下统计表和散点图. x 1 2 3 4 5 y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 (1)通过分析散点图的特征后，计划用y=ln(bx+a)作为月销售量y关于产品研发投资额x的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出y关于x的回归方程； y 0.69 1.61 1.79 2.08 2.20 ey(保留整数) 2 5 6 8 9 解：因为y=ln(bx+a)，令z=bx+a，所以z=ey. 由题可得=(1+2+3+4+5)=3，=(2+5+6+8+9)=6， =-=6-1.7×3=0.9， 所以=1.7x+0.9，所以回归方程为=ln(1.7x+0.9). (2)公司决策层预测当投资额为11百万元时，决定停止产品研发，转为投资产品促销.根据以往的经验，当投资11百万元进行产品促销后，月销售量ξ的分布列为 结合回归方程和ξ的分布列，试问公司的决策是否合理. ξ 3 4 5 P p2 p p+ 解：当x=11时，=ln(1.7×11+0.9)=ln 19.6=ln = ln 2+2ln 7-ln 5≈2.98. 因为p2+p+p+=1且0<p<1，所以p=， 所以E(X)=3×+4×+5×=>2.98， 所以公司的决策合理. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 2 1.某科技公司对2013年至2025年的生产成本y(万元)进行统计，根据统计数据作出如下散点图：由此散点图，判断最适合作为该公司的生产成本y与时间变量x(x的值依次为1，2，…，13)的经验回归方程类型的是 (　　) A.y=ax2+b(a>0)　　 B.y=ax+b(a>0) C.y=aln x+b(a<0)　　　 D.y=+b(a<0) √ 1 5 6 7 8 2 3 4 2.已知变量y关于x的回归方程为y=ekx-0.2，其一组数据如下表所示.若x=8，则预测y的值为 (　　) A.e10.2　　 B.e10 C.e9.8　　　 D.e9.5 x 2 3 4 5 6 y e2.5 e3.5 e5 e6.5 e7.5 √ 1 5 6 7 8 2 3 4 解析：由y=ekx-0.2，得ln y=kx-0.2，令z=ln y，即z=kx-0.2.因为==4，===5，将点(4，5)代入直线方程=x-0.2中，即5=4k-0.2，可得=1.3，所以回归方程为=e1.3x-0.2，若x=8，则y=e1.3×8-0.2=e10.2. 1 5 6 7 8 3 4 2 3.为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y=cekx(c>0)去拟合x与y的关系，设z=ln y，x与z的数据如表格所示，得到x与z的回归直线方程为=1.2x+，则c=(　　) A.-2　　 B.-1 C.e-2　　　 D.e-1 x 3 4 6 7 z 2 2.5 4.5 7 √ 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由已知可得，==5，==4，所以4=1.2×5+，解得=-2，所以=1.2x-2.由z=ln y，得ln y=1.2x-2，所以y=e1.2x-2=e-2·e1.2x，则c=e-2. 1 5 6 7 8 3 4 2 4.(5分)已知x，y之间的一组数据：若y与满足经验回归方程=+，则此曲线必过点___________.  x 1 4 9 16 y 1 2.98 5.01 7.01 (6.25，4) 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由已知=+，设t=，则=t+，由经验回归直线性质可得()在直线=t+上，又=×(1+2+3+4)=2.5，=×(1+2.98+5.01+7.01)=4，所以点(2.5，4)在直线=t+上，故点(6.25，4)在曲线=+上. 1 5 6 7 8 3 4 2 5.(5分)由样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，得到的回归方程为=x2+，已知如下数据： =12， yi=22， =27，则实数的值为______.  xi - 解析：令t=x2，则回归方程=t+必过样本中心点()，又==，所以=×+，解得=-. 1 5 6 7 8 3 4 2 6.(5分)预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等，经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(万元)得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程=. 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是_____万元.(结果用e表示)  x 1 2 3 4 y e4.2 e4.4 e4.6 e4.8 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由题设，令z=ln y=-a，则====，所以=-a，解得a=-4，则z=+4.所以将x=8代入回归直线方程，得z=，所以=万元. 1 5 6 7 8 3 4 2 7.(15分)已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=c·xb(b，c为大于0的常数).现随机从中抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 1 5 6 7 8 3 4 2 根据测得的数据作出如下处理：令vi=ln xi，ui=ln yi，得相关统计量的值如下表： (1)根据所给统计数据，求y关于x的回归方程；(8分) viui vi ui 75.3 24.6 18.3 101.4 1 5 6 7 8 3 4 2 解：由y=c·xb两边取对数得ln y=ln c·xb=bln x+ln c.所以=v+ln c. 由题表数据得 =0.5，=-=-0.5×=1，所以=0.5v+1，即ln y=0.5ln x+1，所以y关于x的回归方程为=e. 1 5 6 7 8 3 4 2 (2)若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差εn满足εn~N，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差εn在(-0.1，0.1)的概率不少于0.954?(7分) 附：若X~N(μ，σ2)，则P(|X-μ|<2σ)=0.954. 1 5 6 7 8 3 4 2 解：因为P(|X-μ|<2σ)=0.954，εn~N，所以P=0.954.要想使误差εn在(-0.1，0.1)的概率不少于0.954，则满足2≤0.1，解得n≥800，即至少需要抽取800件该产品，才能使误差εn在(-0.1，0.1)的概率不少于0.954. 1 5 6 7 8 3 4 2 8.(15分)某中学组织学生对某家奶茶店的营业情况进行调查统计，得到的数据如下： (1)设μi=ln xi，vi=.试建立y关于x的非线性回归方程=ln x+和=+n；(保留2位有效数字)(10分) 参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6，ln 7≈1.9，≈1.4，≈2.4，≈2.8，≈3.2， ≈3.5，≈3.7，≈57.6，≈67.7. 月份x 2 4 6 8 10 12 净利润y/万元 0.9 2.0 4.2 3.9 5.2 5.1 1 5 6 7 8 3 4 2 解：由题意得=×(ln 2+ln 4+ln 6+ln 8+ln 10+ln 12)=≈1.8， ==3.55， (μi-)(yi-)=(-1.1)×(-2.65)+(-0.4)× (-1.55)+0×0.65+0.3×0.35+0.5×1.65+0.7×1.55=5.55， (μi-)2= (-1.1)2+(-0.4)2+02+0.32+0.52+0.72=2.2， 1 5 6 7 8 3 4 2 所以模型=ln x+的方程为=2.5ln x-0.95.因为=≈2.55， (vi-)(yi-)=(-1.15)×(-2.65)+(-0.55)×(-1.55)+ (-0.15)×0.65+0.25×0.35+0.65×1.65+0.95×1.55=6.435， =(-1.15)2+(-0.55)2+(-0.15)2+0.252+0.652+0.952=3.035， 所以=≈2.1，=3.55-2.1×2.55≈-1.8， 所以模型=+的方程为y=2.1-1.8. 1 5 6 7 8 3 4 2 (2)从相关系数的角度确定哪一个模型的拟合效果更好，并据此预测次年2月(x=14)的净利润.(保留1位小数)(5分) 解：因为 =(-2.65)2+(-1.55)2+0.652+0.352+ 1.652+1.552≈15.1，所以r1==≈≈0.964， r2=≈≈≈0.951. 因为r1更接近1，所以模型y=2.5ln x-0.95的拟合效果更好， 则预测次年2月净利润为y=2.5ln 14-0.95≈5.6万元. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $