4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“相关关系与回归直线方程”，系统梳理相关关系的概念、散点图判断、线性相关分类及回归直线方程的构建与性质，通过“逐点理清”从变量关系分类切入，对比函数关系与相关关系，结合散点图直观分析，逐步过渡到回归直线方程的推导与应用，搭建从概念到方法的学习支架。 其亮点在于以“多维理解+微点练明”结合实例（如树龄与木材体积、记忆力与判断力），培养学生用数学眼光观察变量关系，用数学思维推理回归系数意义，用数学语言表达预测结果。分点突破与检测题结合，助力学生深化理解，教师可高效实施教学，提升学生数据分析与模型应用能力。

4.3　 统计模型 4.3.1　 一元线性回归模型 相关关系与回归直线方程 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.了解变量间的相关关系.　　　　　　　 2.能根据散点图判断两个变量是否具有相关关系. 3.了解线性回归思想，会求回归直线方程. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　相关关系 逐点清(二) 回归直线方程 逐点清(三) 回归直线方程的性质 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 相关关系 01 多维理解 1.变量之间的常见关系 函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的_______，那么这两个变量之间的关系叫作相关关系 不相关 两个变量间没有任何关系 随机性 2.散点图 (1)在讨论两个变量x和y之间的关系时，常把它们写成点(x，y)的形式，以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系，此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的_______. (2)一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i=1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图. 特征量 3.线性相关关系 线性 相关 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用_________来刻画，则称x与y线性相关 正相关 在线性相关中，如果一个变量增大，另一个变量大体上_______，则称这两个变量正相关 负相关 在线性相关中，如果一个变量增大，另一个变量大体上_____，则称这两个变量负相关 一次函数 也增大 减少 微点练明 1.下列两个量之间的关系是相关关系的是 (　　) A.匀速直线运动中时间与位移的关系 B.学生的成绩和身高 C.儿童的年龄与体重 D.物体的体积和质量 解析：A、D是函数关系；B不是相关关系；C是相关关系，故选C. √ 2.在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是 (　　) 解析：A中，两个变量x与y之间具有函数关系，不是相关关系，不符合题意；B中，两个变量x与y构成的点在一条直线附近呈带状分布，所以两个变量之间是线性相关关系，符合题意；C、D中，两个变量x与y构成的点不在一条直线附近呈带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意. √ 3.某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： (1)请作出这些数据的散点图； 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 解：以x轴表示树木的树龄，y轴表示木材的体积，可得相应的散点图如图所示. (2)你能由散点图发现木材的体积与树木的树龄近似呈什么关系吗? 解：由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树木的树龄呈线性关系. 逐点清(二) 回归直线方程 02 多维理解 回归直线方程与最小二乘法 (1)一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi， yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值=______，如果一次函数=x+能使残差平方和即(y1-)2+(y2-)2+…+(yn-)2= 取得最小值，则_________称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 因为是使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为___________. =x+ bxi+a 最小二乘法 (2)的计算方法 其中，称为__________，它实际上也就是回归直线方程的_____，指的是1，x2，x3，…，xn的平均数，指的是x1，y2，y3，…，yn的平均数. 回归系数 斜率 微点练明 1.某同学计算两个线性相关变量x与y的回归直线方程是=-3.2x+40，则相对应于点(11，5)的残差 (=yi-)为(　　) A.0.1　　 B.0.2 C.-0.1　　　 D.-0.2 √ 解析：因为=-3.2x+40，当x=11时，=-3.2×11+40=4.8，所以=5-4.8=0.2. 2.根据如下一组成对数据，得到回归直线方程=x+，则(　　) A.>0，<0　　 B.>0，>0 C.<0，>0　　　 D.<0，<0 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 √ 解析：∵==5.5，==0.25，∴ xiyi-6=-23.75， x2-6=17.5，∴=-≈-1.36，=0.25- (-1.36)×5.5=7.73. 3.哈三中高二数学备课组对学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表所示： (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程=x+； x 4 6 8 10 y 2 3 5 6 解：由表中数据可得=(4+6+8+10)=7，=(2+3+5+6)=4， xiyi-4　=4×2+6×3+8×5+10×6-4×7×4=14， -4=42+62+82+102-4×72=20， 所以=-=4-0.7×7=-0.9，所以y关于x的回归直线方程为=0.7x-0.9. (2)根据(1)中求出的回归直线方程，预测记忆力为9的学生的判断力. 解：当x=9时，=0.7×9-0.9=5.4，所以记忆力为9的学生的判断力约为5.4. 逐点清(三) 回归直线方程的性质 03 多维理解 (1)回归直线一定过点(). (2)一次函数=x+的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是>0.这说明：y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0. (3)回归系数的实际意义：当x增大一个单位时，增大个单位. |微|点|助|解| 　 回归直线性质的理解 (1)点()一定在回归直线上. (2)>0，说明两个变量正相关；<0，说明两个变量负相关. (3)回归系数的实际意义：当x增大一个单位时，增大个单位. 微点练明 1.已知下表所示数据的回归直线方程为=4x-4，则实数m的值为(　　) A.11　　 B.12 C.13　　　 D.14 x 2 3 4 5 6 y 3 7 m 18 21 解析：因为==4，所以=4×4-4=12，所以=12，解得m=11. √ 2.若回归直线方程为=3+1.2x，则当变量x增加一个单位时(　　) A.平均增加1.2个单位　　　　 B.平均增加3个单位 C.平均减少1.2个单位　　　　 D.平均减少3个单位 解析：由回归直线方程的性质知，当变量x增加一个单位时，=3+1.2(x+1)=3+1.2x+1.2，平均增加1.2个单位. √ 3.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x(单位：元)和销售量y(单位：百个)之间的四组数据如下表： 用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的回归直线方程为=-1.4x+ 17.5，那么表中实数a的值为(　　) A.4　　 B.4.7 C.4.6　　　 D.4.5 售价x/元 4 a 5.5 6 销售量y/百个 12 11 10 9 √ 解析：由题意，得====10.5.因为回归直线方程=-1.4x+17.5经过点()，所以代入得10.5=-1.4×+ 17.5，解得a=4.5. 4.产量x(单位：台)与单位产品成本y(单位：元/台)之间的回归直线方程为y=356-1.5x，这说明 (　　) A.产量每增加一台，单位产品成本增加356元 B.产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元 C.产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元 D.产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元 解析：由题意知，该方程是一个递减的函数模型，由回归直线方程的性质可得，产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.下列两个变量之间呈相关关系的是 (　　) A.角度与它的正弦值 B.一个考生的数学成绩与物理成绩 C.单产为常数时，土地面积与粮食总产量 D.面积为定值的长方形的长与宽 解析：选项A、C和D中均为函数关系，只有选项B中为相关关系. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.下列图形中，两个变量线性相关的是 (　　) 解析：根据题图可得A，B为连续曲线，变量间的关系是确定的，不是相关关系；C中散点分布在一条直线附近，可得两变量线性相关；D中散点分布在一个长方形区域，即两变量非线性相关. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i=1，2，3，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i=1，2，3，…，10)，得散点图图2，由这两个散点图可以判断 (　　) A.x与y正相关，u与v正相关 B.x与y正相关，u与v负相关 C.x与y负相关，u与v正相关 D.x与y负相关，u与v负相关 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；由题图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.[多选]对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图.下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的是 (　　) A.该同学的数学成绩总的趋势是 在逐步提高 B.该同学在这连续九次测试中的最高 分与最低分的差超过40分 C.该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系 D.该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关性，且为正相关 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确；该同学在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，B正确；该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关性，且为正相关，C不正确，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.实数x，y的取值如表所示： 从散点图分析y与x有较好的线性相关关系，并由最小二乘法求得回归直线方程为=x+，则下列说法一定正确的是(　　) A.5+=11 B.5+>11 C.5+<11 D.5+与11的大小关系不确定 x 3 4 5 6 7 y 4 9 10 14 18 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意可知==5，==11，因为回归直线=x+必过点()，所以5+=11. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.下表给出了5组数据(x，y)，为选出4组数据使得x与y的线性相关程度最大，且保留第1组数据(-5，-3)，则应去掉 (　　) A.第2组数据　　 B.第3组数据 C.第4组数据　　　 D.第5组数据 第i组 1 2 3 4 5 xi -5 -4 -3 -2 4 yi -3 -2 4 -1 6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：画出散点图如图所示，则应去掉第3组数据(-3，4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组成对数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归直线方程为=0.85x-85.71，则以下结论正确的是(　　) A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过点() C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm，则其体重必为58.79 kg √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为0.85>0，所以y与x具有正的线性相关关系，故A正确；回归直线过点()，故B正确；因为回归直线方程为=0.85x-85.71，所以身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，故C正确；当x=170时，=0.85×170-85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重必为58.79 kg，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程=x+，其中=0.76，=-.据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出为(　　) A.11.4万元　　 B.11.8万元 C.12.0万元　　　D.12.2万元 收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意可得=×(8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10，=×(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8，∴=8-0.76×10=0.4，∴回归直线方程为=0.76x+0.4.把x=15代入，可得家庭的年支出约为0.76×15+0.4=11.8万元.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下表： 设回归直线方程为y=x+，若=，则点()在直线x-45y-20=0的_____方.  零件个数 10 20 30 40 50 60 70 80 加工时间 62 68 75 81 89 95 102 108 右下 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意可得，=×(10+20+30+40+50+60+70+80)=45，=×(62+68+75+81+89+95+102+108)=85，则=-=85-×45=55， 故点()为，在直线x-45y-20=0的右下方. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)利用一组成对数据(1，3)，(2，5)，(4，6)，(5，8)进行线性回归分析所得回归直线的斜率为1.1，则当x=8时，预测y的值为____.  11 解析：由已知数据可知，==3，==5.5，设回归直线方程为=1.1x+，将(3，5.5)代入，得=2.2，∴当x=8时，=8×1.1+2.2=11. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为=6+0.4x.由此可以估计，若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差___分. 20 解析：令两人的总成绩分别为x1，x2，则对应的数学成绩估计为=6+0.4x1，=6+0.4x2，所以|-|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通为例，当天气变冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行，出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份). 日平均气温/℃ 4 2 -2 -5 -9 网上预约订单数/份 135 150 200 215 250 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)经数据分析，一天内平均气温x ℃与该出租车公司网约订单数y呈线性相关关系，试建立y关于x的回归直线方程(系数保留两位小数)，并预测日平均气温为-7 ℃时，该出租车公司的网约订单数；(结果保留整数)(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：由表中数据可得=×[4+2+(-2)+(-5)+(-9)]=-2，=×(135+150+200+215+250)=190， xiyi=4×135+2×150+(-2)×200+(-5)×215+(-9)×250=-2 885， =42+22+(-2)2+(-5)2+(-9)2=130， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 -8.954 5，=-=190-(-8.954 5)×(-2)≈172.09.所以y关于x的回归直线方程为y=-8.95x+172.09. 当x=-7时，y=-8.95×(-7)+172.09≈235， 故预测日平均气温为-7 ℃时，该出租车公司的网约订单数约为235份. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)天气预报未来5天有2天日平均气温不高于-9 ℃，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求至少有1天出租车网约订单数不低于250份的概率.(3分) 解：因为5天有2天日平均气温不高于-9 ℃，所以这2天的网约订单数均不低于250份，设事件A为“至少有1天出租车网约订单数不低于250份”，则P(A)==， 故至少有1天出租车网约订单数不低于250份的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)某小区鼓励小区居民全员运动，为此调查了居民的运动情况.从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如图所示. (1)求m的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(5分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：∵(0.005+0.012+0.030+0.035+m+0.003)×10=1，∴m=0.015. ∴=0.05×5+0.12×15+0.3×25+0.35×35+0.15×45+0.03×55=30.2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)小张是该小区的一位居民，他记录了自己7天的锻炼时长： ①根据数据求y关于x的回归直线方程；(5分) 序号x 1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长y /分钟 10 15 12 20 30 25 35 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：∵==4， ==21. (xi-)(yi-)=113. ∴==， =21-×4=. ∴y关于x的回归直线方程为=x+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ②若y-≥4(是(1)中的平均值)，则当天被称为“有效运动日”.估计小张第8天是否是“有效运动日”?(5分) 解：由①知，当x=8时，=×8+=， ∵-30.2>4， ∴估计小张第8天是“有效运动日”. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $