4.2.5 第2课时 正态分布的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦正态分布的应用，涵盖实际应用、与二项分布综合、与统计结合三大题型，通过高考真题导入，衔接二项分布、统计等知识，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于结合种植区亩收入、安全知识竞赛等实际情境，用数学眼光观察现实问题，通过正态曲线对称性转化、概率计算培养数学思维，以分布列、期望规范表达体现数学语言。习题讲评式教学搭配思维建模总结方法，助力学生提升综合应用能力，为教师提供系统教学资源。

正态分布的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　正态分布的实际应用 题型(二)　二项分布与正态分布的综合 题型(三)　正态分布与统计相结合 2 课时跟踪检测 题型(一)　正态分布的实际应用 01 [例1]　(2024·新课标Ⅰ卷)[多选]为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 √ √ 解析:依题可知X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12), 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误; P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2, 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误,故选BC. |思|维|建|模| 解答此类题目的关键在于把实际问题转化到正态总体数据落在[μ-σ,μ+σ]、[μ-2σ,μ+2σ]及[μ-3σ,μ+3σ]三类区间内的概率.在解答过程中,要多注意应用正态曲线的对称性来转化区间. 针对训练 1.在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分. (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率; 解:由ξ~N(100,100),知μ=100,σ=10. ∴P(80<ξ≤120)=P(100-20<ξ≤100+20)=0.954, 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954. (2)若这次考试共有2 000名考生参加,试估计这次考试及格(不小于90分)的人数. 解:P(90<ξ≤110)=P(100-10<ξ≤100+10)=0.683, ∴P(ξ>110)=×(1-0.683)≈0.158 5, ∴P(ξ≥90)=0.683+0.158 5≈0.841 5. ∴估计及格人数约为2 000×0.841 5≈1 683. 题型(二)　二项分布与正态分布的综合 02 [例2]　为迎接“安全教育日”,某市组织中学生进行了一次安全知识有奖竞赛,竞赛奖励规则如下:得分在[70,80)内的学生获三等奖,得分在[80,90)内的学生获二等奖,得分在[90,100]内的学生获一等奖,其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况,随机抽取100名学生的竞赛成绩,统计如下: 成绩/分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 6 12 18 24 18 12 10 (1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率; 解:从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩,样本点总数为,设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件A, 则事件A包含的样本点的个数为,因为每个样本点出现的可能性都相等,所以P(A)==,故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为. (2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(65,100),利用所得正态分布模型解决以下问题: ①若该市共有10 000名学生参加了竞赛,试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数(结果四舍五入到整数); ②若从所有参赛学生中(参赛学生数大于100 000)随机抽取4名学生进行访谈,设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y,求随机变量Y的分布列及数学期望. 参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈ 0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997. 解:①因为μ+2σ=85,所以P(X>85)≈=0.023,所以参赛学生中成绩超过85分的学生数约为 10 000×0.023=230. ②由μ=65,得P(X>65)=,即从所有参赛学生中随机抽取1名学生,该生竞赛成绩在65分以上的概率为, 所以随机变量Y服从二项分布B. 则P(Y=0)==, P(Y=1)==,P(Y=2)==, P(Y=3)==,P(Y=4)==, 所以随机变量Y的分布列为 E(Y)=0×+1×+2×+3×+4×=2. Y 0 1 2 3 4 P 针对训练 2.已知某精密设备制造企业生产某种零件,根据长期检测结果,得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布N(64,100),且质量指标值在[54,84]内的零件称为优等品. (1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01); 附:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤ μ+3σ)≈0.997. 解:因为产品质量指标值X~N(64,102),则μ=64,σ=10, 所以优等品的概率P(54≤X≤84)=P(54≤X≤64)+P(64≤X≤84)=P(μ-σ≤X≤μ)+P(μ≤X≤μ+2σ)≈×0.683+×0.954≈0.82, 所以该企业生产零件为优等品的概率约为0.82. (2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件,随机变量X表示抽取的5件中优等品的个数,求X的分布列、数学期望和方差. 解:由(1)知产品为优等品的概率为0.82,由题意知X~B(5,0.82), 随机变量X的取值为0,1,2,3,4,5, 故X的分布列为P(X=k)=(0.82)k(1-0.82)5-k(k=0,1,2,3,4,5),即 所以E(X)=5×0.82=4.1,D(X)=5×0.82×0.18=0.738. X 0 1 2 3 4 5 P 0.185 (0.82)1× (0.18)4 (0.82)2× (0.18)3 (0.82)3× (0.18)2 (0.82)4× (0.18)1 0.825 题型(三)　正态分布与统计相结合 03 [例3]　某工厂一台设备生产一种特定零件,工厂为了解该设备的生产情况,随机抽测了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标(单位:cm),经统计得到如图所示的频率分布直方图: (1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2(用每组的中点代表该组的均值); 解:由频率分布直方图,得=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1, s2=(0.8-1)2×0.1+(0.9-1)2×0.2+(1-1)2×0.35+(1.1-1)2×0.3+(1.2-1)2×0.05=0.011. ①为了监控该设备的生产过程,每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标,如果关键指标出现了(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为生产过程可能出现了异常,需停止生产并检查设备.下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标: 利用μ和σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备; 0.8 1.2 0.95 1.01 1.23 1.12 1.33 0.97 1.21 0.83 ②若设备状态正常,记X表示一个生产周期内抽测的10个零件关键指标在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件个数,求P(X≥1)及X的数学期望. 参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.997,≈0.105, ≈0.110,0.9979≈0.973, 0.99710≈0.970. 解: ①由(1)可知μ=1,σ=≈0.105, 所以μ-3σ=1-0.315=0.685,μ+3σ=1+0.315=1.315, 显然抽查中的零件指标1.33>1.315,故需停止生产并检查设备. ②抽测一个零件关键指标在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.997, 所以抽测一个零件关键指标在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为1-0.997= 0.003,故X~B(10,0.003), 所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.99710≈1-0.970=0.03, X的数学期望E(X)=10×0.003=0.03. 针对训练 3.某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件,一天中,甲、乙两条生产线分别生产320件和1 280件M型零件,为了解该企业M型零件的生产质量,现利用分层随机抽样,从一天中生产的M型零件中随机抽取40件,测量其尺寸(单位:mm),所得尺寸数据的统计结果如下表: (1)求这40件M型零件尺寸的平均数;   平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 解:由题设,p=40×=8,q=40×=32,所以==72. (2)求这40件M型零件尺寸的标准差s; 参考数据:①n个数x1,x2,x3,…,xn的方差为s2= (xi-)2= -; ②若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3; ③2(62+802)+8(42+702)-10×722=360. 解:由题设,甲的均值=80,方差=36,乙的均值=70,方差=16, 所以= (xi-80)2= -802,= (xj-70)2= -702, 而s2= (xk-72)2= -722, 即40(s2+722)= , 所以8(+802)= ,32(+702)= , 而 = + , 所以40(s2+722)=8(+802)+32(+702),可得s2=36⇒s=6. (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2),其中用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值.试估计:这一天生产的M型零件中,尺寸小于60 mm的零件是否低于40件? 解:由(1)(2)知零件服从N(72,36),则P(X<60)=P(X<μ-2σ)= ≈0.022 75, 这一天生产的M型零件中,尺寸小于60 mm的零件有1 600×0.022 75 =36.4<40,所以这一天生产的M型零件中,尺寸小于60 mm的零件低于40件. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 1.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X且X~N(800，502).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0，则p0的值约为(参考数据：若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997)(　　) A.0.972 5　　　　B.0.683 C.0.977　　　　D.0.954 解析：∵随机变量X服从正态分布N(800，502)，∴μ=800，σ=50，∴P(700≤X≤900)≈0.954.根据正态曲线的对称性可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=+P(700≤X≤900)≈0.977. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 2.某校高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N，若X 的值在(160，176)内的概率约为0.84，则n的值约为(参考数据：P(μ-σ≤X ≤μ+σ)=0.683；P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954；P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997) (　　) A.3　　 B.4 C.5　　　 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 解析：因为X~N，所以μ=172，σ=，因为P(160<X<176)=P(172-12<X<172+4)=0.84　①，而P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.683，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997，所以P(172-3σ<X<172+σ)=×(0.683+0.997)=0.84　②，由①②两式可知3σ=12且σ=4，解得σ=4，所以=4，解得n=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 3.比较两组测量尺度差异较大的数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10 000名学生参考，测试结果(单位：分)近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的84%分位数约为 (　　) 附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(|Z-μ|≤σ)≈0.683. A.82　　 B.78 C.74　　　 D.70 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：根据题意，得标准差为57.4×0.36=20.664，所以测试结果近似服从正态分布N(57.4，20.6642).又因为84%=0.5+，且P(|Z-μ|≤σ)≈0.683，所以全体学生成绩的84%分位数约为μ+σ=57.4+20.664≈78. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 4.[多选]甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，)，N(μ2，)，其正态曲线f(x)=，x∈R如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量 更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：由题图可知，甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，所以μ1=0.4，μ2=0.8，μ1<μ2，故A、C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象y的最大值为1.99，即×e0=1.99，所以σ2≠1.99，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 5.[多选]数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么当n比较大时，X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其密度函数为φμ，σ(x)= ，x∈R.任意正态分布X~N(μ，σ2)，可通过变换Z= 转化为标准正态分布Z~N(0，1).当Z~N(0，1)时，对任意实数x，记Φ(x)= P(Z<x)，则下列说法正确的是(　　) A.Φ(x)+Φ(-x)= B.当x>0时，P(-x≤Z<x)=2Φ(x)-1 C.随机变量X~N(μ，σ2)，当μ减小，σ增大时，概率P(|X-μ|<σ)保持不变 D.随机变量X~N(μ，σ2)，当μ，σ都增大时，概率P(|X-μ|<σ)增大 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：根据正态曲线的对称性可得Φ(-x)=P(Z<-x)=P(Z≥x)=1-P(Z<x) =1-Φ(x)，即Φ(x)+Φ(-x)=1，故A不正确；当x>0时，P(-x≤Z<x)=1-P(Z<-x)-P(Z≥x)=1-2P(Z≥x)=1-2[1-P(Z<x)]=2Φ(x)-1，故B正确；根据正态分布的“3σ原则”，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值，x=μ即为图象的对称轴，根据“3σ原则”可知X数值分布在(μ-σ，μ+σ)的概率是常数，故由P(|X-μ|<σ)=P(μ-σ<X<σ+μ)可知，C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 6.[多选]某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差(单位：mg)服从正态分布N(μ，σ2)，把质量差在(μ-σ，μ+σ)内的产品称为优等品，在(μ+σ，μ+2σ)内的产品称为一等品，优等品与一等品统称正品，其余的产品作为废品处理.根据大量的产品检测数据，得到产品质量差的样本数据统计如图，将样本平均数=70作为μ的近似值，将样本标准差s作为σ的估计值，已知质量差X~N(μ，100)，则下列说法正确的是(　　) 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈ 0.683，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954，P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 A.样本数据的中位数为71 B.若产品质量差为62 mg，则该产品为优等品 C.该企业生产的产品为正品的概率是0.818 5 D.从该企业生产的正品中随机抽取1 000件，约有834件优等品 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析： [46，56)的频率为0.01×10=0.1，[56，66)的频率为0.02×10=0.2，[66，76)的频率为0.045×10=0.45，且0.1+0.2<0.5，0.1+0.2+0.45>0.5，设样本数据的中位数为x，则x∈[66，76)，所以0.3+(x-66)×0.045=0.5，解得x=≈70.4，故A错误；由题意知μ≈=70，X~N(70，102)，优等品质量差在(μ-σ，μ+σ)，即(60，80)内，而62∈(60，80)，故B正确；一等品质量差在(μ+σ，μ+2σ)，即(80，90)内，则正品质量差在(60，80)和(80，90)内，即在(60，90)内，所以产品为正品的概率为P(60<X<90)=P(60<X<80)+P(80<X<90) ≈×(0.683+0.954)=0.818 5，故C正确；因为优等品质量差在(60，80)内，所以产品为优等品的概率为0.683，从正品中随机抽取1 000件，有1 000×≈ 834件优等品，故D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 7.[多选]4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布N(9，4)，则下列说法正确的是 (　　) (附：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954，P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997) A.该校学生每周平均阅读时间为9小时 B.该校学生每周阅读时间的标准差为4 C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3% D.若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3~5小时的人数约为215 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：因为E(X)=9，D(X)=4，所以平均数是9，标准差为2，A正确，B不正确；由P(7<X<11)=0.683，P(5<X<13)=0.954，P(3<X<15)= 0.997，结合正态曲线的对称性可得，该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占==0.15%，C不正确；每周阅读时间在3~5小时的人数占=0.021 5，0.021 5×10 000=215，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 8.(5分)在工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.002 5)，购买者要求直径为3.0±ε，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.6%之内，则ε至少为_____ .(若X~N(μ，σ2)，则P(|X-μ|≤2σ)=0.954)  0.1 解析：因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0，0.002 5)，所以μ=3.0，σ2=0.002 5，则σ=0.05，由P(|X-3.0|≤0.1)=0.954，得P(|X-3.0|>0.1)=1-0.954=0.046，则要使拒绝的概率控制在4.6%之内，则ε至少为0.1. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 9.(5分)已知随机变量ξ~N，且P(ξ>a)=P(ξ<b)，且n=a+b，则二项式展开式中含x6的项为______.  9x6 解析：因为随机变量ξ~N，且P(ξ>a)=P(ξ<b)，所以n=a+b=2×=9，则的展开式通项Tr+1=x9-r= .令9-=6，解得r=2，故二项式展开式中含x6的项为x6=9x6. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 10.(10分)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58. (1)计算样本平均数和样本方差s2；(4分) 解：由题意可得，=(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70， s2=[(82-70)2+(70-70)2+(58-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(82-70)2+(79-70)2+ (61-70)2+(58-70)2]=100， 所以样本平均数为70，样本方差为100. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2，该报社计划给得分在前50名作品的作者评奖，则评奖的分数线约为多少分?(6分) 参考数据：P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8，P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9. 解：因为得分X服从正态分布N(μ，σ2)，且μ==70，σ2=s2=100，则σ=10， 所以X~N(70，102).又P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8，即|X-70|<13，解得57<X<83， 所以P(57<X<83)≈0.8. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 又P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9，即|X-70|<16，解得54<X<86，所以P(54<X<86)≈0.9，所以前50名作品的作者评奖总共50篇，获奖率为0.1， 因为P(57<X<83)≈0.8，则1-P(57<X<83)≈0.2，所以P(X≤57)=P(X≥83)≈0.1， 即评奖的分数线约为83分. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 11.(15分)为了提高学生的法律意识，某校组织全校学生参与答题闯关活动，共两关.现随机抽取100人，对第一关答题情况进行调查. (1)假设分数Z近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本的平均数 (每组数据取区间的中点值)，σ2近似为样本方差s2≈212，若该校有 4 000名学生参与答题活动，试估计分数在(30，93)内的学生数；(8分) 分数 [0，20) [2040) [4060) [6080) [80，100] 人数 10 15 45 20 10 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解：样本的平均数 =10×0.1+30×0.15+50×0.45+70×0.2+90×0.1=51， 所以分数Z近似服从正态分布N(51，212)， 即μ=51，σ=21，可得μ-σ=30，μ+2σ=93， 所以P(μ-σ<Z<μ+2σ)=P(μ-σ<Z<μ+σ)+P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=×0.682 7 +×0.954 5=0.818 6， 所以分数在(30，93)内的学生数约为4 000×0.818 6≈3 274. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)学校规定：分数在[60，100]内的为闯关成功，并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分；只有第一关闯关成功才能闯第二关，第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分；对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中，每位同学第二关闯关成功的概率均为，同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人，记2人本次活动总分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.(7分) (参考数据：若随机变量Z~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7，P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5，P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3) 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 随机变量X的所有可能取值为10，15，20， P(X=10)==，P(X=15)=××=， P(X=20)=×=，所以X的分布列为 EX=10×+15×+20×=17.5. X 10 15 20 P 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $