4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差及标准差，涵盖概念、性质、常见分布（两点、二项分布）的方差计算，通过课前自主预习落实基础，衔接均值知识，以梯度进阶式学习支架构建从定义理解到实际应用的知识脉络。 其亮点是采用梯度进阶式教学，通过基础计算、分布应用（如二项分布方差例题）、实际问题（射击技术比较、公司招聘选择），培养数学思维（推理运算）和数学语言（数据描述）。结构化“预习-探究-检测”设计，学生能深化理解，教师可直接使用提升教学效率。

离散型随机变量的方差 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念与意义. 2.掌握方差的性质,能计算离散型随机变量的方差,并能解决一些简单的实际问题. 3.会求两点分布、二项分布、超几何分布的方差及标准差. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.方差 如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xk … xn P P1 p2 … pk … pn 因为X的均值为E(X),所以D(X)=_______________________________________ =_______________能够刻画X相对于均值的__________ (或__________),这称为离散型随机变量X的方差.离散型随机变量X的方差D(X)也可用______表示. [x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn 离散程度 波动大小 DX 2.标准差 一般地,称为离散型随机变量X的标准差,它也可以刻画一个离散型随机变量的__________ (或__________). 3.几种常见分布的方差 (1)两点分布的方差:D(X)= __________; (2)二项分布的方差:D(X)= __________. 4.离散型随机变量方差的性质 若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则D(Y)= __________ 离散程度 波动大小 p(1-p) np(1-p) a2D(X). 基础落实训练 1.若随机变量X的分布列如表,则X的方差D(X)是 (　　) X -1 0 1 P A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D. √ 解析:由题意,得E(X)=-1×+0×+1×=0, 所以D(X)=×(-1-0)2+×(0-0)2+×(1-0)2=. 2.若随机变量X满足D(X)=0.8,则D(2X-3)= (　　) A.0.8　　　　B.1.6　　　　C.3.2　　　　D.0.2 乙 解析:因为D(X)=0.8,所以D(2X-3)=22×D(X)=4×0.8=3.2. 3.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量ξ1,ξ2,已知E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2),则自动包装机_________的包装质量较好.  解析:均值仅体现了随机变量取值的平均水平,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值较集中.由题意,可得乙的包装质量较好. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　随机变量的方差与标准差 [例1]　已知X的分布列如下: X -1 0 1 P a (1)求X2的分布列; X2 0 1 P 解:由分布列的性质,知++a=1,故a=,从而X2的分布列为 (2)计算X的方差; 解:法一　由(1)知a=,∴X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-. 故X的方差D(X)=×+×+×=. 法二　由(1)知a=,∴X的均值E(X)=(-1)×+0×+1×=-, X2的均值E(X2)=0×+1×=, ∴X的方差D(X)=E(X2)-[E(X)]2=. (3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差. 解:∵Y=4X+3, ∴E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11. 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量X方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能取的全部值; (2)求X取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,由均值的定义求出E(X); (4)根据公式计算方差. 针对训练 1.已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及标准差; 解:∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16, ∴D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2× =384,∴=8. (2)设Y=2η-E(η),求D(Y). 解:∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536. 题型(二)　两点分布与二项分布的方差 [例2]　某厂一批产品的合格率是98%. (1)计算从中抽取一件产品为正品数的方差; 解:用ξ表示抽得的正品数,则ξ=0,1. ξ服从两点分布,且P(ξ=0)=0.02, P(ξ=1)=0.98, 所以D(ξ)=p(1-p)=0.98×(1-0.98)=0.019 6. (2)从中有放回地随机抽取10件产品,计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差. 解:用X表示抽得的正品数,则X~B(10,0.98), 所以D(X)=10×0.98×0.02=0.196, 标准差为≈0.44. 　　|思|维|建|模| 两点分布与二项分布方差的计算步骤 (1)判断:判断随机变量服从什么分布. (2)计算:直接代入相应的公式求解方差. 针对训练 2.某运动员投篮命中率p=0.8,则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为_________. 0.16 解析:依题意知,X服从两点分布,所以D(X)=0.8×(1-0.8)=0.16. 3.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)为3,标准差为. (1)求n和p的值,并写出ξ的分布列; ξ 0 1 2 3 4 5 6 P 解:由题意知,ξ服从二项分布,即ξ~B(n,p), P(ξ=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,…,n. 由E(ξ)=np=3,D(ξ)=np(1-p)=,得1-p=,从而n=6,p=. ∴ξ的分布列为 (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率. 解:记“需要补种沙柳”为事件A, 则P(A)=P(ξ≤3)=+++=, ∴需要补种沙柳的概率为. [例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ,η的分布列; 题型(三)　离散型随机变量方差的实际应用 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 解:由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ的分布列为 (2)比较甲、乙的射击技术. 解:由(1)得E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2, E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7. 所以D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+ (7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+ (8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. 由于E(ξ)>E(η),D(ξ)<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,所以甲比乙的射击技术好. 　　|思|维|建|模| 均值仅体现了随机变量取值的平均水平.如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的方差,方差大说明随机变量取值较分散,方差小说明取值比较集中.因此,在利用均值和方差的意义去分析解决问题时,两者都要分析. 针对训练 4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如表所示. 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1   乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位的概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)若一人去应聘甲公司的C职位,另一人去应聘乙公司的C职位,记这两人被录用的人数和为η,求η的分布列; η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 解:根据题意可知,随机变量η的可能取值有0,1,2, 则P(η=0)=0.8×0.8=0.64,P(η=1)=2×0.2×0.8=0.32, P(η=2)=0.2×0.2=0.04, 所以随机变量η的分布列为 (2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用,求小方月薪高于小芳月薪的概率; 解:小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49. (3)根据甲、乙两家公司的聘用信息,如果你是求职者,你会选择哪一家公司? 请说明理由. 解:入职甲公司,月薪的均值为E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6, 方差D(X)=0.4×(5-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(7-6)2+0.1×(8-6)2=1. 入职乙公司,月薪的均值为E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6, 方差D(Y)=0.4×(4-6)2+0.3×(6-6)2+0.2×(8-6)2+0.1×(10-6)2=4, 乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3+0.2)+0.1=0.4, 即E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),0.4<0.49, 即两家公司月薪的均值相同,但甲公司月薪的波动性小,乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大,故选甲公司. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.设随机变量X的方差D(X)=1,则D(2X+1)的值为 (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 解析:D(2X+1)=4D(X)=4×1=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.[多选]已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则 (　　) A.E(X)= B.D(X)= C.D(X)= D.E(X)= √ √ 解析:　∵E(X)=1×+2×+3×+4×=, ∴D(X)=×+×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ,则D(ξ)等于 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.5 解析:同时抛掷两枚均匀的硬币一次,两枚硬币同时出现反面的概率为P==, ∴ξ~B,∴D(ξ)=10××=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元)分别如下表: 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是 (　　) A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大 C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:甲收益的期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差D(X) =(-1-1.1)2×0.1+(-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29,乙收益的期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,方差D(Y)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2 ×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),则投资股票甲、乙的期望收益相等,投资股票甲比投资股票乙的风险高. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.小明参加某射击比赛,射中得1分,未射中扣1分,已知他每次能射中的概率为,记小明射击2次的得分为X,则D(X)=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:由题意可知,X的取值可能为-2,0,2,因为P(X=2)=×=,P(X=-2) =×=,P(X=0)=××=,所以E(X)=×2+(-2)×+×0=, 故D(X)=×+×+×=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知随机变量X~B(5,p)(0<p<1),若P(X=2)+P(X=3)=,且Y=2X+1,则D(Y)=(　　) A.　　　　B.　　　　C.5　　　　D.6 解析:因为P(X=2)+P(X=3)=p2(1-p)3+p3(1-p)2=,所以p2(1-p)2=,即p(1-p)=,解得p=,所以D(X)=5××=.又Y=2X+1, 所以D(Y)=22D(X)=4×=5. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若η=aX+b,E(η)=1, D(η)=11,则a+b的值是 (　　) A.1或2　　　B.0或2　　　C.2或3 　　　D.0或3 √ 解析:由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,E(X)=×0+×1+×2 +×3+×4=, D(X)=×+×+×+×+×=.由D(η)=a2D(X),得a2×=11,即a=±2.又E(η)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×+b,得b=-2,此时a+b=0;当a=-2时,由1=-2×+b,得b=4,此时a+b=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白色圆玻璃球向下降落的过程中,首先碰到最 A.2, B.2,1 C.3,1 D.3, 上面的钉子,碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球,记白色圆玻璃球落入格子的编号为X,则随机变量X的期望与方差分别为 (　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均为,则向左的次数服从二项分布B.因为P(X=1)=×=, P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,P(X=4)=×=, P(X=5)=×=,所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3, D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则a=_________,b=_________. X -1 0 1 2 P a b c 解析:由题意知解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知随机变量X,且D(10X)=,则X的标准差为_________. 解析:由题意可知D(10X)=, 即100D(X)=,所以D(X)=, 所以=,即X的标准差为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E(X)=, (1)求D(X)的值;(7分) 解:由题意可得解得 所以D(X)=×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若Y=3X-2,求的值.(3分) 解:因为Y=3X-2,所以D(Y)=9D(X)=5,所以=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)元旦晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球,这些球除颜色外完全相同,参与游戏的某位同学不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止. 规定摸到红球表演两个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球则不用表演节目. (1)求该同学摸球三次后停止摸球的概率;(4分) 解:设“该同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)==, 所以该同学摸球三次后停止摸球的概率为. 1 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)记X为该同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列和数学期望、方差. (6分) X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2× +(3-2)2×+(4-2)2×=. 5 解:由题意知,X的可能取值为0,1,2,3,4. 则P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=2)=+=,P(X=3)==,P(X=4)==. 所以随机变量X的分布列为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,现采用三局两胜的比赛制度,规定每一局比赛都没有平局(必须分出胜负),且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数. (1)求随机变量X的分布列和期望E(X);(7分) X 2 3 P 2p2-2p+1 2p-2p2 故E(X)=2×(2p2-2p+1)+3×(2p-2p2)=-2p2+2p+2. 解:由题意知随机变量X可能的取值为2,3,则P(X=2)=p2+(1-p)2=2p2-2p+1,P(X=3)=2p2(1-p)+2p(1-p)2=2p-2p2,故X的分布列为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若0<p<,设随机变量X的方差为D(X),求证:D(X)<.(8分) 令t=2p-2p2=-2+,因为0<p<<,故0<t<,此时4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2=4(1-t)+9t-(t+2)2=-t2+t.因为二次函数y=-t2+t关于t=对称, 又0<t<,当t=时,y=,所以-t2+t<,即D(X)<. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn -E(X)]2pi 解:证明:由(1)知,D(X)=Pi-[E(X)]2=4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2, $