4.2.3 第2课时 超几何分布-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦超几何分布，系统讲解定义、分布列及应用，通过课前自主落实基础（定义辨析、基础训练）与课堂题型研究（概念理解、概率计算、与二项分布综合），构建梯度进阶的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以实例（如产品抽样、学生组队）引导学生用数学眼光抽象模型，通过多选辨析题培养推理意识（数学思维），借助分布列构建与概率计算提升数学语言表达能力。梯度进阶式教学帮助学生逐步深化理解，教师可直接使用系统资源提升效率，学生则提升应用与逻辑思维。

超几何分布 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.通过实例,理解超几何分布及其特点. 2.掌握超几何分布列及其导出过程,并能进行简单的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 (1)定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(M<N),从所有物品中随机取出n件(n≤N),则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然数,其中s是M与n中的较小者,t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),而且P(X=k)=___________, k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参数为N,n,M的超几何分布. (2)记法:X~H(N,n,M). (3)分布列:如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示. X 0 1 … k … s P … … 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成. (　　) (2)超几何分布的模型是不放回抽样. (　　) (3)超几何分布的随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量. (　　) (4)超几何分布中随机变量的取值一定从0开始. (　　) (5)超几何分布中随机变量X的取值k的最大值是次品数M. (　　) √ √ √ × × 2.[多选]下列随机变量,服从超几何分布的是 (　　) A.在10件产品中有3件次品,一件一件地不放回地任意取出4件,记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台,记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有6个交通岗,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,其中男生人数记为X √ √ √ 解析:依据超几何分布定义可知,A、B、D中随机变量X服从超几何分布. 而C中显然不能看作一个不放回抽样问题,故随机变量X不服从超几何分布. 3.已知8名学生中有5名男生,从中选出4名代表,记选出的代表中男生人数为X,则P(X=3)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 解析:X=3表示选出的4个代表中有3个男生1个女生,则P(X=3)==. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　超几何分布的概念 [例1]　[多选]下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是 (　　) A.将一枚硬币连抛3次,正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部,选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1球且不放回,X是首次摸出黑球时的总次数 √ √ √ 解析:由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布,故选ACD. 　　|思|维|建|模| 判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 针对训练 1.[多选]下列随机变量中,服从超几何分布的是 (　　) A.抛掷三枚骰子,向上的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,试验中发芽种子的个数X C.盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球,任取3个球,不是红球的个数X D.某班级有男生25人,女生20人,选派4名学生参加学校组织的活动,其中女生的人数X √ √ 解析:A、B是n次独立重复试验问题,服从二项分布,不服从超几何分布,故A、B不符合题意;C、D符合超几何分布的特征,样本都可分为两类,随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数,服从超几何分布. 题型(二)　 利用超几何分布求概率 [例2]　某校高一、高二的学生组队参加辩论赛,高一推荐了3名男生、 2名女生,高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训,最终从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率; 解:高一、高二共推荐6名男生和6名女生, 高一没有学生入选代表队的概率为==,所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为1-=. (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列. X 1 2 3 P 解:根据题意知,X的所有可能取值为1,2,3. 则P(X=1)==,P(X=2)==, P(X=3)==, 所以X的分布列为 　　|思|维|建|模| (1)在产品抽样检验中,如果采用的是不放回抽样,那么抽到的次品数服从超几何分布. (2)如果随机变量X服从超几何分布,那么只需代入公式即可求得相应概率,关键是明确随机变量X的所有取值. 针对训练 2.老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求: (1)抽到他能背诵的课文数量的分布列; 解:设该同学抽到能背诵的课文篇数为X,X的可能取值为0,1,2,3, 则X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,用表格表示为 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率. 解:由(1)知他能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 题型(三)　超几何分布与二项分布的综合应用 [例3]　某批N件产品的次品率为1%,现在从中随机抽出2件进行检验,问: (1)当N=100,1 000,10 000时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到1件次品的概率各是多少?(精确到0.000 01) 解:当N=100时,如果放回抽取,则是二项分布,抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99=0.019 80; 如果不放回抽取,则是超几何分布,100件产品中次品数为1,正品数为99,从100件产品里抽出2件,恰有1件次品的概率为=0.020 00. 当N=1 000时,如果放回抽取,则是二项分布,抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99=0.019 80; 如果不放回抽取,则是超几何分布,1 000件产品中次品数为10,正品数为990,从1 000件产品里抽出2件,恰有1件次品的概率为≈0.019 82. 当N=10 000时,如果放回抽取,则是二项分布,抽到的2件产品中恰有1件次品的概率为×0.01×0.99=0.019 80; 如果不放回抽取,则是超几何分布,10 000件产品中次品数为100,正品数为9 900,从10 000件产品里抽出2件,恰有1件次品的概率为 ≈0.019 80. (2)根据(1),谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识. 解:对超几何分布与二项分布关系的认识: ①超几何分布是不放回抽取,二项分布是放回抽取;②超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量; ③当总体容量很大时,超几何分布近似于二项分布. 　　|思|维|建|模| 　　由独立重复试验得出二项分布,由古典概型得出超几何分布.这两个分布的关系:若采用有放回抽样,则随机变量服从二项分布;若采用不放回抽样,则随机变量服从超几何分布. 3.某学校为了提升学生学习数学的兴趣,举行了“趣味数学”闯关比赛,每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答,每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列; 针对训练 解:由题知X可取0,1,2,3,则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立,问:小明同学在5轮闯关比赛中,需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大? 解:参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,概率为p=+=, 记小明同学在5轮闯关比赛中闯关成功的次数为Y,则Y~B. 故P(Y=k)=··(k=0,1,…,5), 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 故小明同学在5轮闯关比赛中,需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个白球,这些球除颜色外完全相同.若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数,则X服从超几何分布,其参数为 (　　) A.N=9,M=4,n=4 B.N=9,M=5,n=5 C.N=13,M=4,n=4 D.N=14,M=5,n=5 解析:根据超几何分布的定义知N=9,M=4,n=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.设10件同类型的零件中有2件是不合格品,从其中任取3件,以X表示取出的3件中不合格品的件数,则P(X=1)= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:根据超几何分布的概率公式有P(X=1)===,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.已知10名同学中有a名女生,若从这10名同学中抽取2个人作为学生代表,恰抽取1名女生的概率为,则a=(　　) A.1　　　　B.2或8　　　　C.2　　　　D.8 解析:由题意知=,解得a=2或a=8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.某学习小组共12人,其中有5名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加竞赛,用ξ表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率等于的是(　　) A.P(ξ=1) B.P(ξ≤1) C.P(ξ≥1) D.P(ξ≤2) √ 解析:由题意可得,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, ∴P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.某学校有一个体育运动社团,该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人,篮球、足球都会的有2人,从该社团中任取2人,设X为选出的人中篮球、足球都会的人数,若P(X>0)=,则该社团的人数为(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.10 解析:设该社团共有n人,则P(X=0)==,∵P(X=0)=1-P(X>0)=, ∴=, 即(11n-18)(n-7)=0.又∵n∈N+,∴n=7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.[多选]袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球,编号为1,2,3,4,5,6, 4个白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论正确的是 (　　) A.恰有3个白球的概率为 B.取出的最大号码X服从超几何分布 C.设取出的黑球个数为Y,当Y=2时,概率最大 D.若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大的概率为 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:由题意可知恰有3个白球的概率为=,故A正确;若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大为取出4个白球,其概率为=,故D正确;因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象,不满足超几何分布的定义,所以X不服从超几何分布,故B错误;取出的黑球个数Y服从超几何分布,易知P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)==, P(Y=3)==,P(Y=4)==,显然当Y=2时,概率最大,故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,随机变量ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 P x1 x2 x3 则x1,x2,x3的值分别为________________. 0.1,0.6,0.3 解析:ξ的可能取值为0,1,2,则x1=P(ξ=0)==0.1, x2=P(ξ=1)==0.6,x3=P(ξ=2)==0.3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)袋中有除颜色外完全相同的4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量X,则P(X≤6) =_________. 解析:取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,黑球相应个数为0,1,2,3,其分值X=4,6,8,10.故P(X≤6)=P(X=4)+P(X=6)=+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定,该商家从中任取2件进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.则该商家拒收这批产品的概率是_________. 解析:依题意,这20件产品中有20-3=17件合格品,所以该商家接收这批产品的概率为P===,故商家拒收这批产品的概率为1-P=1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. (1)求ξ的分布列;(7分) 解:ξ可能取的值为0,1,2,服从超几何分布, 则P(ξ=k)=,k=0,1,2. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.(3分) 解:由(1)知,“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1) =P(ξ=0)+P(ξ=1)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中依次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;(6分) 解:从袋中一次随机抽取3个球,样本点总数n==20,取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为=6, 所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.(4分) X 0 1 2 3 P 解:由题意知X=0,1,2,3. 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==. 所以X的分布列为 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)为了适当疏导电价矛盾,保障电力供应,支持可再生能源发展,促进节能减排,某省推出了省内居民阶梯电价的计算标准:以一个年度为计费周期,月度滚动使用,第一阶梯:年用电量在2 160度以内(含2 160度),执行第一档电价0.565 3元/度;第二阶梯:年用电量在2 161度到4 200度内(含4 200度),超出2 160度的电量执行第二档电价0.615 3元/度;第三阶梯:年用电量在4 200度以上,超出4 200度的电量执行第三档电价0.865 3元/度.某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户,统计其同一年度的用电情况,列表如下: 用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量/度 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费;(7分) 解:因为第二档电价比第一档电价每度多0.05元,第三档电价比第一档电价每度多0.3元,编号为10的用户一年的用电量是4 600度, 所以该户该年应交电费为4 600×0.565 3+(4 200-2 160)×0.05+ (4 600-4 200)×0.3=2 822.38(元). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)现要在这10户中任意选取4户,对其用电情况进行进一步分析,求取到第二阶梯户数的分布列.(8分) 解:设取到第二阶梯的户数为X, 易知第二阶梯有4户,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, P(X=4)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $