3.1.1 第1课时 两个基本计数原理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

第三章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 两个基本计数原理 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　分类加法计数原理 逐点清(二)　分步乘法计数原理 逐点清(三)　两个原理的简单应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　分类加法计数原理 01 多维理解 完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m1种不同的方法, 第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_______________种不同的方法. m1+m2+…+mn |微|点|助|解| (1)完成这件事的若干种方法可以分成n类，每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”. (2)利用分类加法计数原理计数时的解题思路. 微点练明 1.解一道数学题有三种方法，有3个人只会用第一种方法解答，有4个人只会用第二种方法解答，有3个人只会用第三种方法解答，从这10个人中选一个人解答这道题目，则所有不同的选法有 (　　) A.20种 B.10种 C.21种 D.36种 √ 解析：根据分类加法计数原理可得，不同的选法共有3+4+3=10(种). 2.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段 网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点 A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时 传递，则单位时间内传递的最大信息量为 (　　) A.26 B.24 C.20 D.19 √ 解析：由题图可知，从A到B有4种不同的传递路线，各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3，4，6，6，由分类加法计数原理得，单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 3.从集合{3，5，7，9，11}任取两个数作为a，b，可以得到不同的焦点在x轴上的椭圆方程+=1的个数为(　　) A.25 B.20 C.10 D.16 √ 解析：焦点在x轴上的椭圆方程中，必有a>b，则a可取5，7，9，11，共4个可能，b可取3，5，7，9，共4个可能，若a=5，则b=3，1个椭圆；若a=7，则b=3，5，2个椭圆；若a=9，则b=3，5，7，3个椭圆；若a=11，则b=3，5，7，9，4个椭圆，所以共有1+2+3+4=10个椭圆. 4.某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史、物理模型化思维、英语经典阅读、《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙、丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有_____种.  解析：若乙选数学史：丙若选数学史，则丁有2种选法；丙若选物理模型化思维，则丁有3种选法；丙若选英语经典阅读，则丁有2种选法；丙若选《红楼梦》人物角色分析，则丁有3种选法，共10种，若乙选物理模型化思维，同理有10种.故共有20种. 20 逐点清(二)　分步乘法计数原理 02 多维理解 完成一件事,如果需要分成n个步骤,且:做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=_____________________种不同的方法. m1×m2×…×mn |微|点|助|解| (1)应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可. (2)利用分步乘法计数原理解题的一般思路 ①分步：将完成这件事的过程分成若干步； ②计数：求出每一步中的方法数； ③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果. 微点练明 1.[多选]下列结论正确的是 (　　) A.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C.在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同 √ √ 2.某小组有8名男生，6名女生，从中任选男生和女生各1名去参加座谈会，则不同的选法有 (　　) A.48种 B.24种 C.14种 D.12种 √ 解析：按照男生和女生分步完成，第一步：先选男生有8种方法；第二步：选女生有6种方法；完成这个事件的选法有8×6=48种. 3.已知x∈{2，3，7}，y∈{-3，-4，8}，则xy可表示不同的值的个数为 (　　) A.8 B.12 C.10 D.9 √ 解析：因为从集合{2，3，7}中任取一个值共有3种情况，从集合{-3，-4，8}中任取一个值共有3种情况，故xy可表示3×3=9个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，所以xy可表示不同的值有9个. 4.有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，则不同的报名方法有 (　　) A.81种 B.64种 C.24种 D.4种 √ 解析：根据题意可知，需分四步进行，每一步中每名同学都有数学、物理、化学三种科目可报，所以共有3×3×3×3=34=81种. 逐点清(三)　两个原理的简单应用 03 [典例]　口袋中装有8个白球和10个红球，每个球有不同编号，现从中取出2个球. (1)至少有一个白球的取法有多少种? 解：根据题意分2类完成任务： 第一类：白球、红球各一个，有8×10=80种， 第二类：均为白球，有×(8×7)=28种， 所以共有80+28=108种. (2)两球的颜色相同的取法有多少种? 解：根据题意分2类完成任务： 第一类：均为白球，有×(8×7)=28种， 第二类：均为红球，有×(10×9)=45种， 所以共有28+45=73种. |思|维|建|模| (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰. 针对训练 为举办校园文化节，某班推荐2名男生、3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数有多少? 解：依题意可分为两种情况，一种是参加乐器培训的是女生，则参加舞蹈和演唱培训的都是1名男生和1名女生，共有3×2×2=12种方案； 另一种是参加乐器培训的是男生，则参加舞蹈培训的有1名女生和1名男生或者是2名女生，剩下的2人参加演唱培训，共有2×(3+3)=12种方案， 根据分类加法计数原理知共有12+12=24种. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有 (　　) A.6种 B.10种 C.4种 D.60种 √ 15 解析：根据分类加法计数原理，得6+4=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.从甲地到乙地，若一天中有火车5班、汽车12班、飞机3班、轮船6班，则一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有不同走法的种数是 (　　) A.18 B.20 C.26 D.1 080 √ 15 解析：由题意，从甲地到乙地，一天中这些交通工具的每一班都能到达，根据分类加法计数原理知共有5+12+3+6=26种不同走法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.某商店共有A，B，C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情况共有 (　　) A.3种 B.7种 C.12种 D.24种 √ 15 解析：由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有2×2×3 =12(种). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.从1，2，3，…，8，9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数，若这些三位数能够被5整除，则这样的三位数的个数为 (　　) A.504 B.336 C.72 D.56 √ 15 解析：依题意可知，这些三位数的个位为5，所以这样的三位数有8×7=56个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有 (　　) A.64种 B.46种 C.24种 D.360种 √ 15 解析：由题意，每一位乘客都有4种选择，故乘客下车的可能方式有4×4×4×4×4×4=46种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有 (　　) A.6个 B.18个 C.24个 D.12个 √ 15 解析：先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，有3×2=6种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6=12个不重复的三位偶数，故选 D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为 (　　) A.5 B.7 C.8 D.12 15 解析：要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为2×1+2×3=8. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个 方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币， 则放置硬币的方法共有 (　　) A.6种 B.12种 C.18种 D.36种 √ 15                   解析：先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格(不能选与第一步同行的空格)不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格(不能选与第一、二步同行的空格)不放硬币，有1种方法.所以共有3×2×1=6种方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.集合M={1，-2，3}，N={-3，5，6，-4}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是 (　　) A.2 B.4 C.5 D.6 √ 15 解析：第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数.若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则有1×2=2个，若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标，则有2×2=4个，共2+4=6个，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (　　) A.60 B.48 C.36 D.24 √ 15 解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6=36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2=12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是______.  15 解析：从集合A的m个元素取1个元素，有m种方法，从集合B的n个元素取1个元素，有n种方法，根据分步乘法计数原理可知，两个集合中各取1个元素，一共有mn种. mn 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3， 4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么因为 焊接点脱落而导致电路不通的情况有____种.  15 解析：若脱落1个，则有(1)，(4)2种情况， 若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况， 若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况， 若脱落4个，则有(1，2，3，4)1种情况. 综上，共有2+6+4+1=13种情况. 13 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(5分)已知直线方程Ax+By=0，若从0，1，2，3，5，7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A，B的值，则Ax+By=0可表示______　　　　条不同的直线.  15 解析：当A=0时，可表示1条直线；当B=0时，可表示1条直线；当AB≠0时，A有5种选法，B有4种选法，可表示5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理，知共可表示1+1+20=22条不同的直线. 22 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连接它们，求它们的连接方式有多少种. 15 解：不妨设圆周上的点依次为A，B，C，D，E，F，G，H，要使得四条弦既无公共点又无交点，如图所示， 符合图①的连接方式有2种；符合图②的连接方式有4种；符合图③的连接方式有8种，共计2+4+8=14种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加.学校规定： (1)每位学生每天最多选择1项； (2)每位学生每项一周最多选择1次.学校提供的安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技 若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，求不同的选择方案共有多少种.(用数值表示) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由题知周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四. ①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为2种， 阅读在剩下的两天中选为2种，共有2×2=4种方案. ②若周二选编程，则体育在周一、周三或周四，故为3种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有3×2=6种方案. ③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为2种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有2×2=4种方案. 综上，共有4+6+4=14种方案. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $