11.4.2 第1课时 平面与平面垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面垂直”第1课时，核心内容涵盖二面角的定义、平面角三要素、面面垂直的定义及判定、性质定理。课前通过自主预习落实基础，微点助解强调关键概念，课堂以梯度题型（二面角求法、面面垂直判定与性质应用）构建知识支架，衔接前后知识。 其亮点是梯度进阶式教学，通过“数学眼光”抽象空间形式（如二面角平面角“棱上、面内、垂直”三要素），“数学思维”培养逻辑推理（如例2用定义法和判定定理证明面面垂直），“数学语言”规范符号与图形表达。实例丰富，如长方体中二面角求解、四面体中面面垂直证明，帮助学生构建空间几何体系，提升推理能力，教师可利用分层资源实施有效教学。

11.4.2 平面与平面垂直 平面与平面垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小. 2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.二面角 定义 从一条直线出发的_____________所组成的图形称为二面角 相关 概念 ①这条直线称为二面角的______； ②这两个半平面称为二面角的____ 画法 记法 二面角_______或________或_________或C-AB-D 两个半平面 棱 面 α-l-β α-AB-β C-l-D 续表 二面角 的平面 角 定义： 在二面角α-l-β的_______任取一点O，以O为______，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 度量：二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小. 平面角是_______的二面角称为直二面角. 二面角的平面角α的取值范围是_______________ 棱上 垂足 直角 0°≤α≤180° |微|点|助|解| 　 　　构成二面角的平面角的三要素 “棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直. 2.平面与平面垂直 (1)面面垂直的定义 定义 一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为______，则称这两个平面互相垂直，记作________ 画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直 90° α⊥β (2)平面与平面垂直的判定定理(简称为面面垂直的判定定理) 文字语言 符号语言 图形语言 作用 如果一个平面经过另外一个平面的一条_______，则这两个平面互相_______ ⇒α⊥β 证面面 垂直 垂线 垂直 (3)平面与平面垂直的性质定理(简称为面面垂直的性质定理) 文字 语言 如果两个平面互相垂直，那么在________________垂直于它们______的直线垂直于另一个平面 符号 语言 ⇒______________ 图形 语言 作用 ①面面垂直⇒________垂直；②作平面的垂线 一个平面内 AO⊥β 线面 交线 |微|点|助|解| 　 (1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直⇒面面垂直”.要证明平面与平面垂直，只需转化为证明直线与平面垂直，这充分说明了线面垂直与面面垂直的密切关系. (2)要判断两个平面的垂直关系，只需要固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直. (3)观察空间图形时，不能以平面的观点去看待，平面上画的两直线成锐角或钝角，在空间中可能是垂直的. (4)平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： ①两个平面垂直； ②有一条直线在其中一个平面内； ③这条直线垂直于两个平面的交线. (5)如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交(含垂直相交)或异面. 1.在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是 (　　) A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β B.AO⊥l，BO⊥l C.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β D.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β √ 基础落实训练 2.已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面 (　　) A.有一个　　　　　　　　 B.有两个 C.有无数个 D.不存在 √ 3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则 (　　) A.α∥γ B.α⊥γ C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能 √ 4.如图所示，在长方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是 (　　) A.平行 B.EF⊂平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 √ 5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于___________.  45° 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　二面角的求法 [例1]　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，求二面角D1-BC-D的余弦值. 解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB=3，BC=2，AA1=1，∴CD1=. ∵BC⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1， ∴BC⊥CD1. 又∵平面D1BC∩平面BCD=BC， ∴∠D1CD为二面角D1-BC-D所成的平面角. ∵cos∠D1CD===，∴二面角D1-BC-D的余弦值为. |思|维|建|模| 1.求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.　 2.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.　 针对训练 1.如图，在棱长都相等的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，∠DAB= ∠A'AD=∠A'AB=60°，则二面角A'-BD-A的余弦值为 (　　) A. B.- C. D.- √ 解析：在棱长都相等的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，∠DAB=∠A'AD=∠A'AB=60°，则四面体A'BDA为正四面体. 连接AC，AC∩BD=E，连接A'E，设四面体的棱长为2，则AE=A'E=，且AE⊥BD，A'E⊥BD， 则∠AEA'为二面角A'-BD-A的平面角. 在△AA'E中，cos∠AEA'==， 故二面角A'-BD-A的余弦值为.故选A. 2.如图，在直二面角E-AB-C中，四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AB=AF=4，AD=2，P，Q，G分别是AC，BC，AF的中点，求二面角G-PQ-A的正切值. 解：如图，延长QP，交AD于点K. 因为二面角E-AB-C是直二面角， EB⊥BA，BC⊥BA，所以EB⊥BC. 因为AG∥EB，所以AG⊥AB，AG⊥BC. 因为AB，BC⊂平面ABCD， AB∩BC=B， 所以AG⊥平面ABCD. 因为QK⊂平面ABCD，所以AG⊥QK. 又AD⊥QK，AG∩AD=A，AG，AD⊂平面GAK，所以QK⊥平面GAK. 从而GK⊥QK，故∠GKA是二面角G-PQ-A的平面角. 因为P，Q分别是AC，BC的中点，所以PQ∥AB.所以K为AD的中点. 在Rt△AKG中，AK=1，AG=2，所以tan∠GKA=2，即二面角G-PQ-A的正切值为2. 题型(二)　面面垂直的判定定理及其应用 [例2]　如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC=90°，∠BSA=∠CSA=60°，又SA=SB=SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. 证明：法一　利用定义证明 因为∠BSA=∠CSA=60°，SA=SB=SC， 所以△ASB和△ASC是等边三角形， 则有SA=SB=SC=AB=AC， 令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC， 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.在Rt△BSC中， 因为SB=SC=a，所以SD=a，BD==a. 在Rt△ABD中，AD=a， 在△ADS中，因为SD2+AD2=SA2， 所以∠ADS=90°，即二面角A-BC-S为直二面角， 故平面ABC⊥平面SBC. 法二　利用判定定理 因为SA=SB=SC，且∠BSA=∠CSA=60°， 所以SA=AB=AC， 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为直角三角形， 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC. 　[变式拓展] 　本例中，若SA=SB=SC=2，其他条件不变，如何求三棱锥S-ABC的体积呢? 解：由法一或法二可得SD⊥AD. 又因为SD⊥BC，AD∩BC=D，所以SD⊥平面ABC， 即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离. 因为S△ABC=×BC×AD=×2×=2，SD=， 所以VS-ABC=×S△ABC×SD=. 　|思|维|建|模|　证明面面垂直常用的方法 定义法 即说明两个半平面所成的二面角是直二面角 判定 定理法 在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直 性质法 两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面 针对训练 3.如图，在圆锥PO中，已知PO=，☉O的直径AB=2，C是 上一点(异于A，B)，D为AC的中点.求证：平面POD⊥平面PAC. 解：连接BC(图略)， 因为AB是☉O的直径，C是上一点，所以AC⊥BC. 因为D为AC的中点，O是AB的中点，所以OD∥BC，所以AC⊥OD. 因为在圆锥PO中，PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以PO⊥AC. 因为OD∩PO=O，所以AC⊥平面POD. 因为AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC. 题型(三)　面面垂直的性质定理及其应用 [例3]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明：如图，在平面PAB内， 作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC， 且平面PAB∩平面PBC=PB， AD⊂平面PAB，∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD=A，PA⊂平面PAB，AD⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. |思|维|建|模| 　　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直. (2)直线必须在其中一个平面内. (3)直线必须垂直于它们的交线. 针对训练 4.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB=1，PA=AD=PD=2，E为PD的中点. (1)求证：平面PCD⊥平面ACE； 证明：由PA=AD=PD，E为PD的中点，可得AE⊥PD.因为CD⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，而AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE. 又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，则AE⊥平面PCD. 又AE⊂平面ACE，所以平面PCD⊥平面ACE. (2)求点B到平面ACE的距离. 解：如图，连接BD，与AC交于点O，则O为BD的中点， 所以点D到平面ACE的距离即为点B到平面ACE的距离. 由平面PCD⊥平面ACE，过D作DM⊥CE，垂足为M， 则DM⊥平面ACE，则DM为点D到平面ACE的距离. 由CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD. 又CD=DE=1，所以DM=CE=， 即点B到平面ACE的距离为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是 (　　) A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β=m，n⊂α C.m∥n，n⊥β，m⊂α D.m∥n，m⊥α，n⊥β √ 解析：∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，得α⊥β. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如图所示，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，AD=DB，则 (　　) A.PD⊂平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC √ 解析：因为PA=PB，AD=DB，所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA=AC，则二面角P-BC-A的大小为 (　　) A.60° B.30° C.45° D.15° √ 解析：由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC， 又PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC， ∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中，由PA=AC得∠PCA=45°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知直线m，n与平面α，β，γ，则能使α⊥β成立的一个充分条件是 (　　) A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=m，n⊥m，n⊂β C.m⊥n，m⊂α，n⊂β D.m∥α，m⊥β √ 解析：平面间的垂直关系，不具有传递性，故A错误；α∩β=m，n⊥m，n⊂β，但α与β可能垂直，也可能不垂直，无法判断垂直关系，故B错误；m⊥n，m⊂α，n⊂β，同样的α与β可能垂直，也可能不垂直，依然无法判断空间中的位置关系，故C错误；若m∥α，则必在α中存在直线l∥m，因为m⊥β，则l⊥β，故α⊥β，故D正确.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是 (　　) A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAD⊥平面PDC C.AB⊥PD D.平面PAD⊥平面PBC √ √ √ 解析：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，故C正确；又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，故A正确；同理可证平面PAD⊥平面PDC，故B正确；若平面PAD⊥平面PBC，已知平面PAD⊥平面ABCD，且平面PBC∩平面ABCD=BC，∴BC⊥平面PAD，又∵AD⊂平面PAD，则BC⊥AD，与已知BC∥AD矛盾，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则 (　　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，对于选项A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，又AC⊥BD，所以EF⊥BD，又易知DD1⊥EF，BD∩DD1=D，从而EF⊥平面BDD1，又EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故选项A正确；对于选项B，因为平面A1BD∩平面BDD1=BD，所以由选项A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故选项B错误；对于选项C，由题意知直线AA1与直线B1E必相交，故平面B1EF与平面A1AC不平行，故选项C错误；对于选项D，连接AB1，B1C，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面A1C1D与平面B1EF不平行，故选项D错误.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是 (　　) A.平面CBP⊥平面BB1P B.DC1⊥PC C.三棱锥C1-D1PC的体积为定值 D.∠APD1的取值范围是 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：A项，连接PB1，∵CB⊥平面BB1P，∴平面CBP⊥平面BB1P，正确；B项，连接DC1，CD1，由DC1⊥对角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，因此正确；C项，连接CD1，C1P，三棱锥C1-D1PC的体积=三棱锥P-C1D1C的体积，底面积为定值，高BC为定值，因此体积为定值，正确；D项，连接AD1，取点P为A1B的中点时，易知AP=，AD1=，PD1==，可得AP2+P=A，∴∠APD1=，因此不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：___________________. (用序号表示)  ①②⇒③(或①③⇒②) 解析：由l∥β可在平面β内作l'∥l，又l⊥α， ∴l'⊥α，∵l'⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为___________.  解析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°. 60° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_______________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析：易知BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段AN的长为________，线段MN的长为__________.   　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为平面ABCD⊥平面DCEF， 平面ABCD∩平面DCEF=CD，AD⊂平面ABCD， AD⊥CD，所以AD⊥平面DCEF. 因为DF⊂平面DCEF，所以AD⊥DF. 所以在△ADN中，∠ADN=90°. 因此AN==.再取CD的中点G， 连接MG，NG，因为ABCD，DCEF为正方形， 且边长为2，所以MG⊥CD，MG=2，NG=，MG∥AD. 所以MG⊥平面DCEF. 又NG⊂平面DCEF，所以MG⊥NG.所以MN==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC=AD，求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小. 解：因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD， 所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD=C， 所以BD⊥平面ACD. 因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.在Rt△ACD中，AC=AD，所以∠ADC=30°.故平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点. 求证：(1)BG⊥平面PAD；(6分) 证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD，又BG⊂平面ABCD， ∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG=G，AD⊂平面PAD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)AD⊥PB.(4分) 证明：由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD， BG∩PG=G，BG⊂平面PBG，PG⊂平面PBG， ∴AD⊥平面PBG，又PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点.求证： (1)平面AB1F1∥平面C1BF；(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明：如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABC-A1B1C1中， A1C1􀰿AC，BB1􀰿CC1. ∵F，F1分别是AC，A1C1的中点， ∴C1F1􀰿 AF，FF1 􀰿CC1 􀰿BB1， ∴四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. ∵B1F1⊄平面C1BF，BF⊂平面C1BF， ∴B1F1∥平面C1BF. 同理AF1∥平面C1BF，又B1F1∩AF1=F1， ∴平面AB1F1∥平面C1BF. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.(8分) 证明：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1， 又B1F1⊂平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1. ∵在正三角形A1B1C1中，F1为A1C1的中点， ∴B1F1⊥A1C1，又A1C1∩AA1=A1， ∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1， ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $