11.3.2 直线与平面平行-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线与平面平行的判定定理和性质定理，通过“课前预知教材·自主落实基础”引导学生预习定理内容，“课堂题点研究·迁移应用融通”展开例题讲解与变式训练，构建从基础到应用的梯度学习支架。 其亮点在于以“微点助解”细化定理条件培养严谨数学思维，通过例1及变式从空间图形中抽象线线、线面关系发展数学眼光，“思维建模”总结解题步骤规范数学语言表达。学生能逐步掌握知识，教师可借助系统资源提升教学效率。

11.3.2 直线与平面平行 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握直线与平面平行的判定定理，并会应用线面平行的判定定理证明线面平行. 2.掌握直线与平面平行的性质定理，并会应用线面平行的性质定理证明线线平行. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外的一条直线与_____________________，那么这条直线与这个平面平行 符号语言 图形语言 平面内的一条直线平行 |微|点|助|解| 　 1.判定定理的理解 (1)直线与平面平行的判定定理可简记为“线线平行，则线面平行”，此定理充分体现了等价转化思想，将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题. (2)直线与平面平行的判定定理包含三个条件：①直线l在平面α外，即l⊄α；②直线m在平面α内，即m⊂α；③两直线l，m平行，即l∥m.三个条件缺一不可. 2.常用结论 (1)一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面可能平行也可能在平面内. (2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线与平面平行或直线在平面内. (3)如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面. 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 如果一条直线与一个平面______，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的______平行 符号语言 l∥α，l⊂β，_________⇒l∥m 图形语言 平行 交线 α∩β=m |微|点|助|解| 　 (1)直线与平面平行的性质定理可简记为“线面平行，则线线平行”. (2)性质定理中有三个条件，即l∥α，l⊂β，α∩β=m，这三个条件缺一不可. (3)直线与平面平行的性质定理可以作为证明直线与直线平行的依据. (4)定理揭示了当a∥α时，作直线a的平行线的方法，即过a作一平面与已知平面相交，交线b一定与a平行. 1.能保证直线a与平面α平行的条件是 (　　) A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b √ 基础落实训练 解析：由线面平行的判定定理可知，D正确. 2.下列命题正确的是 (　　) A.如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 √ 解析：不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；直线也可能在平面内，故D错误. 3.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是 (　　) A.b∥α　　　　　　 B.b与α相交 C.b⊂α D.b∥α或b与α相交 √ 解析：由题意得b∥α和b与α相交都有可能. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　直线与平面平行的判定定理及其应用 [例1]　如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且=. 求证：MN∥平面SBC . 证明：连接AN并延长交BC于点P， 连接SP，因为AD∥BC，所以=， 又因为=，所以=，所以MN∥SP， 又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC， 所以MN∥平面SBC. 　[变式拓展] 　本例中，若M，N分别是SA，BD的中点，试证明：MN∥平面SBC. 证明：如图，连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N.在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，又因为SC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，所以MN∥平面SBC. |思|维|建|模| 1.应用判定定理解题的关键点 利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线，常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、空间平行线的传递性等. 2.应用判定定理证明线面平行的步骤 针对训练 1.如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 证明：如图所示，作PM∥AB交BE于M， 作QN∥AB交BC于N，连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB， ∴AE=BD.又AP=DQ，∴PE=QB.又PM∥AB∥QN， ∴===.∴=. ∴PM∥QN且PM=QN，即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE， ∴PQ∥平面BCE. 题型(二)　直线与平面平行的性质定理及其应用 [例2]　如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 证明：因为AB∥平面MNPQ， 平面ABC∩平面MNPQ=MN，且AB⊂平面ABC， 所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN. 同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 　[变式拓展] 1.若本例条件不变，求证：=. 证明：由例2知PQ∥AB，∴=. 又QM∥DC，∴=.∴=. 2.若本例中添加条件：AB⊥CD，AB=10，CD=8， 且BP∶PD=1∶1，求四边形MNPQ的面积. 解：由例2知，四边形MNPQ是平行四边形， ∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM. ∴四边形MNPQ是矩形. 又BP∶PD=1∶1， ∴PQ=5，QM=4. ∴四边形MNPQ的面积为5×4=20. |思|维|建|模| 　　线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤： (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面； (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面； (3)确定交线； (4)由性质定理得出线线平行的结论. 针对训练 2.如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F. 求证：四边形BCFE是梯形. 证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD. 又∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD=EF，∴BC∥EF. 又∵AD=BC，AD≠EF，∴BC≠EF. ∴四边形BCFE是梯形. 题型(三)　与线面平行有关的计算问题 [例3]　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且=λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值. 解：如图，连接AC交BE于点G，连接FG，则平面SAC∩平面BEF=FG. ∵SA∥平面BEF，SA⊂平面SAC，平面SAC∩平面EFB=FG，∴SA∥FG.∴=.∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC. ∴==.∴==，即SF=SC，∴λ=. |思|维|建|模| 　　对于与平行有关的计算问题，解题的关键是利用线面平行的判定和性质实现平面几何与立体几何的转化，再依据平行关系确定线段的比例关系，然后解决平面图形的计算问题. 针对训练 3.如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AB=4，CD=6，则MN等于 (　　) A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 √ 解析：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABDC，平面ABDC∩平面α=MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线. 故MN=(AB+CD)=5.故选B. 4.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点，若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，求的值. 解：由于AD∥平面PEF，AD⊂平面ACD，平面ACD∩平面PEF=FG， 根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，点G为CD，PE的交点， 所以G是三角形PBC的重心.所以==. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在空间中，直线l∥平面α，则“直线l1∥l”是“l1∥α”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：在空间中，由直线l∥平面α，直线l1∥l，可得直线l1∥α或l1⊂α，所以充分性不成立；反之由直线l∥平面α，l1∥α，则l1∥l或l与l1相交或l与l1异面，所以必要性不成立.故“直线l1∥l”是“l1∥α”的既不充分也不必要条件.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面 (　　) A.有且只有一个 　　B.有无数多个 C.有且只有一个或不存在 　　D.不存在 √ 解析：取直线a上任一点A，则点A和直线b确定一个平面记为β，在β内过A点作直线c∥b，由a∩c=A，则直线a，c确定唯一的平面记为α，∵c∥b，c⊂α，b⊄α，∴b∥α，故满足题意的平面有且仅有一个.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.能保证直线a与平面α平行的条件是 (　　) A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC=BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b √ 解析：若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α故A错误；若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α，故B错误；若b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC=BD，则a∥α或a⊂α或a与α相交，故C错误；D项是线面平行的判定定理不可缺少的三个条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，则下列结论正确的是 (　　) A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PBA D.OM∥平面PBC √ 解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点.在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，故OM∥PD.又PD⊂平面PDC，OM⊄平面PDC，所以OM∥平面PCD.因为点M在PB上，所以OM与平面PBA，平面PBC均相交. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法不正确的为 (　　) A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β D.若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若m∥α，n⊂α，可得m与n可能平行或异面，所以A不正确； 若m∥α，n∥α，可得m与n可能平行、相交或异面，所以B不正确； 若α∥β，m∥α，当m⊄β时，可得m∥β，或者m⊂β，所以C正确； 若m∥n，m⊂α，根据线面平行的判定定理，可得n∥α或n⊂α，所以D正确.故选A、B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若直线a∥平面α，Aα，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC=4，CF=5，AF=3，则EF的值为 (　　) A.3　　　　　　　 B. C. D. √ 解析：∵BC∥α，且平面ABC∩α=EF，∴EF∥BC，∴=，即=.∴EF=.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，下列结论正确的是 (　　) A.AD∥EG B.AC∥平面EFG C.BD∥平面EFG D.AD，FG是一对相交直线 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点E∉平面ADC，由异面直线的定义可知AD，EG是异面直线，A错误；对于B，AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B正确；对于C，BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C正确；对于D，点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点F∉平面ADC，由异面直线的定义可知AD，FG是异面直线，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_____________.  解析：由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF+FB+BC1+C1E=4+6. 4+6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=___________.  解析：∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC=PQ，MN⊂平面PMNQ，∴MN∥PQ，易知DP=DQ=， 故PQ==DP=. a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D1为A1C1上的点.若BC1∥平面AB1D1，则的值为___________.  解析：如图，取D1为线段A1C1的中点， 此时=1.连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形， 所以点O为A1B的中点.在△A1BC1中， 点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1. 又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1， 所以BC1∥平面AB1D1.所以=1时，BC1∥平面AB1D1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：_____________时，SC∥平面EBD.  E是SA的中点 解析：如图，连接AC，与BD交于点O，则O为线段AC，BD的中点，连接OE.因为SC∥平面EBD，SC⊂平面SAC，平面SAC∩平面EBD=OE，所以SC∥OE.又O为AC的中点，所以E为SA的中点，故当E为SA的中点时，SC∥平面EBD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点，M是AD上一点，且AM=2MD，设点N是平面ABED内一点，且MN∥平面FGH，请写出一个点N的位置，并证明. 解：(答案不唯一)点N可以是线段BE上靠近点E的三等分点. 证明：如图，连接MN.∵AM=2MD，BN=2NE， ∴AB∥MN.又∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB.∴MN∥GH. 又GH⊂平面FGH，MN⊄平面FGH，∴MN∥平面FGH. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，点P在棱AA1上，且AP=1，若EF∥平面PBD，求EF的长. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：因为长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为4的正方形，所以AD=1，AA1=4. 如图所示，连接AC与BD交于点O，连接PO，在棱AA1上取PQ=AP=1，连接QC，A1C1，AC，则OP∥CQ，且OP=QC.因为EF∥平面PBD，且EF⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面PBD=OP，所以EF∥OP.所以EF∥CQ.又因为QE∥CF，所以四边形QEFC是平行四边形. 所以EF=QC=2OP.在直角△PAO中，AP=1，AO=AC=， 所以OP==.所以EF=2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：若MB∥平面AEF，如图过F，B，M作平面FBMN交AE于N， 连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C， BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C=MN，所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF=FN， 所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN=BF=1. 而EC∥FB，EC=2FB=2， 所以MN∥EC，MN=EC=1， 故MN是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $