10.1.2 复数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面概念、复数与点及向量的对应关系、共轭复数和复数的模，通过课前自主落实基础衔接复数概念，为后续复数运算学习搭建支架。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合“思维建模”总结解题步骤，如复数与复平面内点的关系通过解不等式组培养逻辑思维，融入高考真题提升应用能力。既助学生深化理解，又为教师提供系统教学资源，发展数学思维与表达能力。

10.1.2 复数的几何意义 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 2.理解共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为_________.在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为______；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为_____. 2.共轭复数 一般地，如果两个复数的实部______，而虚部______________，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示，因此，当z=a+bi(a，b∈R)时，有=_______. 复平面 实轴 虚轴 相等 互为相反数 a-bi 3.复数的几何意义 Z(a,b) |微|点|助|解| 　 (1)理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 ①复数的实质是有序实数对. ②复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi).也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. ③当a=0，b≠0时，a+bi=0+bi=bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b) (b≠0)都表示纯虚数. ④复数z=a+bi中的z，书写时应小写；复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时应大写. (2)如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a，b∈R)的点，则 ①当a>0，b>0时，点Z位于第一象限； 当a<0，b>0时，点Z位于第二象限； 当a<0，b<0时，点Z位于第三象限； 当a>0，b<0时，点Z位于第四象限. ②当a=0时，点Z在虚轴上； 当b=0时，点Z在实轴上. 4.复数的模 一般地，向量=(a，b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|=____________.当b=0时，|z|==|a|.一般地，两个共轭复数的模相等，即________. 1.若=(0，-3)，则对应的复数为(　　) A.0 B.-3 C.-3i D.3 √ 基础落实训练 解析：由复数的几何意义可知对应的复数为-3i.故选C. 2.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上，则 (　　) A.a≠2或a≠1 B.a≠2或a≠-1 C.a=2或a=0 D.a=0 √ 解析：由题意知a2-2a=0，解得a=0或a=2.故选C. √ 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i，则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 解析：由z=-1-i，得|z|==. 4.若复数z=-2+i，则复数z的共轭复数 等于(　　) A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 解析：因为复数z=-2+i，所以复数z的共轭复数=-2-i. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　复数与复平面内点的关系 [例1]　实数a取什么值时，复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点： (1)位于第二象限； 解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点为Z(a2+a-2，a2-3a+2). 由点Z位于第二象限得解得-2<a<1.故满足条件的实数a的取值范围为(-2，1). (2)位于实轴上方； 解：由点Z位于实轴上方得a2-3a+2>0， 解得a>2或a<1，故满足条件的实数a的取值范围为(-∞，1)∪(2，+∞). (3)位于直线y=x上. 解：由点Z位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2，解得a=1.故满足条件的实数a的值为1. |思|维|建|模| 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.　 [提醒]　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示. 针对训练 1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 　　B.第二象限 C.第三象限 　　D.第四象限 √ 解析：z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1，-2)，它位于第三象限. √ 2.在复平面内，若表示复数z=m2-1+i的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，-1) 　　B.(1，+∞) C.(-∞，-1)∪(1，+∞) 　　D.(-1，1) 解析：因为表示复数z=m2-1+i的点在第四象限，所以解得m<-1.故选A. 题型(二)　复数与复平面内向量的关系 [例2]　(1)在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 (　　) A.4+80i B.8+2i C.2+4i D.4+i √ 解析：两个复数对应的点分别为A(6，5)，B(-2，3)，则C(2，4).故其对应的复数为2+4i. (2)向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则+对应的复数是(　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i √ 解析：由复数的几何意义，可得=(5，-4)，=(-5，4)，所以+=(5，-4)+(-5，4)=(0，0)，所以+对应的复数为0. |思|维|建|模| 复数与向量的对应和转化 (1)对应：复数z与向量是一一对应关系. (2)转化：复数的有关问题转化为向量问题求解. 针对训练 3.在复平面内，把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i √ 解析：复数对应的点为(3，-)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，-2)，所得向量对应的复数为-2i.故选B. √ 4.已知O是原点，向量对应的复数分别为2-3i，-3+2i，那么向量对应的复数是(　　) A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i 解析：由复数的几何意义，得=(2，-3)，=(-3，2)，=-=(2，-3)-(-3，2)=(5，-5)，所以对应的复数是5-5i. 题型(三)　复数的模 [例3]　(1)设(1+i)x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|= (　　) A.1　　　 B. C.　　　 D.2 √ 解析：因为(1+i)x=x+xi=1+yi，所以x=y=1，|x+yi|=|1+i|==，故选B. (2)复数z满足关系式2|z|2-7|z|+3=0，则复数在复平面内对应点的轨迹是 (　　) A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 √ 解析：由2|z|2-7|z|+3=0，解得|z|=或|z|=3.当|z|=时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆.当|z|=3时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为3的圆. |思|维|建|模| (1)复数z=a+bi模的计算：|z|= . (2)复数模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离. (3)转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.　 针对训练 5.已知z1=5+3i，z2=5+4i，下列选项正确的是 (　　) A.z1>z2 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2| √ 解析：|z1|=|5+3i|==，|z2|=|5+4i|==. 因为<，所以|z1|<|z2|. 6.设z∈C，则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 (　　) A.5π B.9π C.16π D.25π 解析：满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为5的圆，则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环，如图中阴影部分区域所示，在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C. √ 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若z是实数，则z= B.若z=，则z是实数 C.若=-z，则z是纯虚数 D.若z是纯虚数，则=-z √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.在复平面内，若复数-1-ai对应的点的坐标为(-1，2)，则实数a= (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 解析：复数-1-ai对应的点的坐标为(-1，-a)，由题干得到-a=2⇒a=-2，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：由已知可得，=-3-2i，故 对应的点为(-3，-2)，位于第三象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5+3i，与关于y轴对称，则点B对应的复数是(　　) A.5-3i B.-5-3i C.5+3i D.-5+3i √ 解析：设向量对应的复数为a+bi(a，b∈R)，对应复平面的坐标为(a，b).因为向量对应的复数为5+3i，所以对应复平面的坐标为(5，3).因为与关于y轴对称，所以a=-5，b=3.即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是-5+3i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)已知复数z=1+i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是 (　　) A.复数z的虚部为i B.|z|= C.复数z的共轭复数=1-i D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 √ √ √ 解析：因为复数z=1+i，所以其虚部为1，故A错误；|z|==，故B正确；复数z的共轭复数=1-i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1，1)，显然位于第一象限，故D正确.故选B、C、D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知复平面内A，B，C三点所对应的复数为-2-i，1+i，2i，若ABCD为平行四边形，则||=(　　) A.13 B. C.17 D. √ 解析：A，B，C三点对应的复数分别是-2-i，1+i，2i，则复平面内A，B，C三点对应点的坐标为A(-2，-1)，B(1，1)，C(0，2).设复平面内点D的坐标为D(x，y)，则=(3，2)，=(-x，2-y)，又ABCD是复平面内的平行四边形，则=，则解得则D(-3，0)， 则=(-4，-1)，||==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(多选)已知复数z=a+bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a+b=1，下列命题正确的是 (　　) A.z不可能为纯虚数 B.若z的共轭复数为 ，且z=，则z是实数 C.若z=|z|，则z是实数 D.|z|可以等于 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：当a=0时，b=1，此时z=i，为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为 ，且z=，则a+bi=a-bi，所以b=0，B正确；由|z|是实数，且z=|z|知，z是实数，C正确；由|z|=得a2+b2=.又a+b=1，即b=1-a，因此8a2-8a+3=0，Δ=64-4×8×3=-32<0，所以方程无实数解，即|z|不可以等于.D错误.故选B、C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数，则a=_________，|z|=_________.  2 1 解析：∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数，∴ 解得a=1.∴z=2i.∴|z|=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2，则z=____________________.(写出一个即可)  -1+i(答案不唯一) 解析：设z=a+bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a<0，b>0.又因为|z|=2，所以a2+b2=4.显然当a=-1，b=时，符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是-2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为_____.  解析：∵向量对应的复数是-2+i，∴A(-2，1).又点A关于实轴的对称点为点B，∴B(-2，-1).∴向量对应的复数为-2-i，该复数的模为|-2-i|==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与，已知z1=+i，⊥，且||=||，则复数z2=________________.  解析：由题意得=(，1)，设=(x，y)， 由⊥得·=x+y=0，由||=||得x2+y2=4， 联立解得或即=(1，-)或=(-1，)， 所以z2=1-i或z2=-1+i. 1-i或-1+i 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A. (1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；(4分) 解：由解得-3<m<-2或1<m<2.故实数m的取值范围为(-3，-2)∪(1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求|z|的最小值及此时实数m的值.(6分) 解：|z|2=+， 令m2+m-2=t，∵t=-，∴t∈， 则|z|2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8，所以当t=2，即m=时， |z|有最小值2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1=sin2θ+i，z2=-cos2θ+icos 2θ，其中θ∈(0，π).设对应的复数是z. (1)求复数z；(6分) 解：因为点A，B对应的复数分别是 z1=sin2θ+i，z2=-cos2θ+icos 2θ， 所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(-cos2θ，cos 2θ). 所以=(-cos2θ，cos 2θ)-(sin2θ，1)=(-cos2θ-sin2θ，cos 2θ-1) =(-1，-2sin2θ)，所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若复数z对应的点P在直线y=x上，求θ的值.(4分) 解：由(1)知点P的坐标是(-1，-2sin2θ)，代入y=x， 得-2sin2θ=-，即sin2θ=，所以sin θ=±.又因为θ∈(0，π)， 所以sin θ=，所以θ=或. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $